Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Page | 76
atau Nilai x
1
x 4
x
4 1
x x
x -1 -
- +
-1 x 4 +
- -
x 4 +
+ +
Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan
4 3
2
x
x
adalah x -1 atau x 4. Jadi himpunan
penyelesainnya adalah
1 |
{
x x
HP
atau x 4}
Uji Kompetensi 12
Kerjakan soal-soal berikut.
1. Dengan menggunakan sketsa grafik. Tentukan nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan kuadrat berikut ini. a.
36x
2
≤ 25 f.
4x
2
– 12x ≥ 0 b.
x
2
4 g.
2x
2
12 – 2x c.
16x
2
9 h.
x
2
+ 2x ≤ 35 d.
49x
2
≥ 81 i.
2x + 1x – 5 ≥ 5 e.
x – 3x + 5 0 j.
2x
2
+ 2x -7 2.
Dengan menggunakan metode garis bilangan. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
a. x
2
– x – 60 ≤ 0 f.
12x
2
+ 28x ≥ 5 k.
3x
2
+ 2x + 2 2x
2
+ x + 4 b.
x
2
+ 4x – 12 0 g.
3x + 28 ≥ x
2
l. x + 1
2
– 5x + 1 + 6 ≤ 0 c.
x
2
+ 7x – 18 0 h.
7x – 10 ≤ x
2
m.
15 2
1 8
2 1
2
y
y
d. 3x
2
+ 4x + 4 ≥ 0 i.
2x
2
5x – 3 e.
x
2
+ 4x + 4 0 j.
1 – x ≥ 2x
2
3. Tinggi h meter suatu benda setelah bergerak t detik ditentukan oleh
persamaan h = 30t – 5t
2
. Tentukan interval t agar diperoleh h ≥ 20
6. Pertidaksamaan Rasional
Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut. i.
1 1
x
ii.
2 1
x x
iii.
1 3
2
x x
iv.
2 4
2 2
x x
x
Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut
pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional. Pertidaksamaan dalam variabel x adalah pertidaksamaan dalam bentuk
pecahan yang penyebutnya mengandung variabel x.
Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Page | 77
Kita akan membahas dua macam pertidaksmaan rasional, yaitu pertidaksamaan rasional bentuk linear dan pertidaksamaan rasional bentuk
kuadrat. Bentuk umum pertidaksamaan rasional
a. Bentuk linear
d
cx b
ax
,
d
cx b
ax
,
d
cx b
ax
dan
d
cx b
ax
dengan a, b, c dan d
R b.
Bentuk kuadrat
2 2
r
qx px
c bx
ax
,
2 2
r
qx px
c bx
ax
,
2 2
r
qx px
c bx
ax
dan
2 2
r
qx px
c bx
ax
dengan a, b, c, p, dan q
R Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional.
i Pindahkan semua bilangan ke ruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
ii Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan
iii Tetapkan nilai nol untuk pembilang dan penyebut.
iv Harus diingat bahwa penyebut pecahan tidak boleh nol
v Perhatikan tanda koefisien pangkat tertinggi pembilang dan
penyebut harus sama. Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut
dari suatu pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan atau pertidaksamaan rasional.
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh,
penyelesaian pertidaksamaan rasional
Contoh 32:
1. Selesaikan pertidaksamaan
3 1
x x
Penyelesaian Langkah 1
Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0 x = -1. Nilai nol pada bagian penyebut: x – 3 = 0 x = 3.
Langkah 2 Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada
diagram garis bilangan.
Langkah 3 Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3.
Misal x = -2 maka nilai dari
4 1
4 1
3 1
x x
sehingga tanda dalam interval x -1 + atau 0.
Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Page | 78
x = 0, maka nilai dari
3 1
3 1
3 1
x x
sehingga tanda dalam interval - 1x3 - atau 0.
x = 4, maka nilai dari
5 3
4 1
4 3
1 3
1
x
x
sehingga tanda dalam interval –x 3 + atau 0.
atau Nilai x
1
x 3
x
3 1
x x
x -1 -
- +
-1 x 3 +
- -
x 3 +
+ +
Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan gambar sbb.
Maka penyelesaian dari pertidaksamaan
3 1
x x
adalah -1 x 3 dan himpunan penyelesaiannya adalah
} 3
1 |
{
x
x HP
Contoh 33:
2. Tentukan penyelesaian dari
2
2
x
x x
Penyelesaian :
Harga nol pembilang Harga nol penyebut
2
x x
2
x 1
x x
2
x
1
2 1
x
x
Jadi penyelesaiannya adalah - 2 x 0
atau x 1
Contoh 34:
3. Tentukan penyelesaian dari
6 3
4
2 2
x
x x
x
Penyelesaian:
Harga nol pada pembilang Harga nol pada penyebut
3 4
2
x
x 6
2
x
x 1
3
x
x 2
3
x
x 3
x
atau
1
x 3
x
atau x =2
Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Page | 79
Jadi himpunan penyelesaian dari
6 3
4
2 2
x
x x
x
adalah
3 |
{
x x
HP
atau
2 1
x
atau x 3}
Uji Kompetensi 13
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut.
a.
1 3
x
f.
2 4
3
x
x
b.
3 3
2
x
g.
1 3
5 2
x
x
c.
1 2
3
x
x
h.
x x
x x
x 3
3 4
d.
2 5
x x
i.
1 8
x x
x
e.
x x
x
2
3
j.
4 3
2 1
x
x x
x
2. Tentukan himpunanpenyelesaian pertidaksamaan berikut.
a.
5 4
3 2
x
x x
x
f.
9 4
2 2
x
x
b.
9
2 2
x x
g.
5 3
6 5
2 2
x
x x
x
c.
6 1
3
2
x
x
h.
5 4
3 3
2
2 2
x x
x x
d.
3 8
2
2
x x
x
i.
6 2
4 3
5 2
2 2
x
x x
x
e.
5 28
3
2
x x
x
j.
2 1
6 5
2
x
x x
x
7. Pertidaksamaan Bentuk Akar