Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Page | 73
2. Carilah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
a. 10 ≥ 5x + 4 8
b. 2 -3 – 3x ≥ -7
c. 3 ≤ 2x + 3 7
d. -7 3x -1 ≤ 5
e. 2x – 3 ≤ 4x + 5 x + 47
f. x -3 ≤ -x – 1 1 – 2x
5. Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu:
a.
2
c
bx ax
b.
2
c
bx ax
c.
2
c
bx ax
d.
2
c
bx ax
dengan a, b, c bilangan real dan
.
a
Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat i
Jadikan ruas kanan = 0 pembuat nol ii
Jadikan kofisien variabel berpangkat dua bernilai positif. iii
Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linear iv
Tetapkan nilai-nilai nolnya misal x
1
= nilai nol terkecil dan x
2
= nilai nol terbesar, yaitu x
1
x
2
v Lihat tanda ketidaksamaannya
Jika
2
c
bx ax
Hp = {x|x ≤ x
1
atau x ≥ x
2
} Jika
2
c
bx ax
Hp = {x|x
1
x x
2
}. Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
dalam variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan:
a Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus
4 3
2
x
x x
f
grafiknya berbentuk parabbola dengan persamaan
4 3
2
x
x y
. Sketsa grafik parabola
4 3
2
x
x y
diperlihatkan pada gambar berikut:
Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Page | 74
1 Parabola di atas sumbu x y 0 dalam selang x -1 atau x 4.
Jadi
4 3
2
x
x
dalam selang x -1 atau x 4. 2
Parabola tepat pada sumbu x y = 0 untuk nilai x = -1 atau x = 4. Jadi
4 3
2
x
x
untuk nilai x = -1 atau x = 4. 3
Parabola di bawah sumbu x y 0 dalam selang – 1 x 4. Jadi
4 3
2
x
x
dalam selang – 1 x 4. Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat
4 3
2
x
x x
f
atau parabola
4 3
2
x
x y
dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
berikut. a.
Pertidaksamaan kuadrat
4 3
2
x
x
. Himpunan penyelesaiannya adalah:
} ,
4 1
| {
R x
x x
HP
b. Pertidaksamaan kuadrat
4 3
2
x
x
. Himpunan penyelesaiannya adalah:
} ,
4 1
| {
R x
x x
HP
c. Pertidaksamaan kuadrat
4 3
2
x
x
. Himpunan penyelesaiannya adalah:
} ,
4 1
| {
R x
x atau
x x
HP
d. Pertidaksamaan kuadrat
4 3
2
x
x
. Himpunan penyelesaiannya adalah:
} ,
4 1
| {
R x
x atau
x x
HP
Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat
2
c bx
ax x
f
dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
2
c
bx ax
;
2
c
bx ax
;
2
c
bx ax
;
2
c
bx ax
Contoh 31: Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat
, 1
2
2
x
x x
f
carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut. a.
1 2
2
x
x
b.
1 2
2
x
x
c.
1 2
2
x
x
d.
1 2
2
x
x
Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Page | 75
Penyelesaian: Sketsa grafik fungsi kuadrat
, 1
2
2
x
x x
f
atau parabola
, 1
2
2
x
x y
diperlihatkan pada gambar berikut:
a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
1 2
2
x
x
adalah Himpunan kosong ditulis
b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
1 2
2
x
x
adalah
} 1
| {
x x
HP
c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
1 2
2
x
x
adalah
} 1
| {
x
dan R
x x
HP
d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
1 2
2
x
x
adalah
} ,
1 1
| {
R x
x atau
x x
HP
dapat juga ditulis
} |
{ R
x x
HP
b Dengan garis bilangan
Sebagai contoh kita akan menyelesaikan pertidaksamaan
4 3
2
x
x
Langkah 1 Carilah nilai-nilai nol jika ada dari bagian ruas kiri pertidaksamaan
4 3
2
x
x 4
1
x
x 1
x
atau
4
x
Langkah 2 Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis
bilangan Langkah 3
Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.
Misalnya:
2
x
maka nilai dari
6 4
2 3
2 4
3
2 2
x x
sehingga tanda dalam interval x -1 + atau 0
x
maka nilai dari
4 4
3 4
3
2 2
x
x
sehingga tanda dalam interval -1 x 4 - atau 0
5
x
maka nilai dari
6 4
5 3
5 4
3
2 2
x x
sehingga tanda dalam interval x 4 + atau 0
Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Page | 76
atau Nilai x
1
x 4
x
4 1
x x
x -1 -
- +
-1 x 4 +
- -
x 4 +
+ +
Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan
4 3
2
x
x
adalah x -1 atau x 4. Jadi himpunan
penyelesainnya adalah
1 |
{
x x
HP
atau x 4}
Uji Kompetensi 12
Kerjakan soal-soal berikut.
1. Dengan menggunakan sketsa grafik. Tentukan nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan kuadrat berikut ini. a.
36x
2
≤ 25 f.
4x
2
– 12x ≥ 0 b.
x
2
4 g.
2x
2
12 – 2x c.
16x
2
9 h.
x
2
+ 2x ≤ 35 d.
49x
2
≥ 81 i.
2x + 1x – 5 ≥ 5 e.
x – 3x + 5 0 j.
2x
2
+ 2x -7 2.
Dengan menggunakan metode garis bilangan. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
a. x
2
– x – 60 ≤ 0 f.
12x
2
+ 28x ≥ 5 k.
3x
2
+ 2x + 2 2x
2
+ x + 4 b.
x
2
+ 4x – 12 0 g.
3x + 28 ≥ x
2
l. x + 1
2
– 5x + 1 + 6 ≤ 0 c.
x
2
+ 7x – 18 0 h.
7x – 10 ≤ x
2
m.
15 2
1 8
2 1
2
y
y
d. 3x
2
+ 4x + 4 ≥ 0 i.
2x
2
5x – 3 e.
x
2
+ 4x + 4 0 j.
1 – x ≥ 2x
2
3. Tinggi h meter suatu benda setelah bergerak t detik ditentukan oleh
persamaan h = 30t – 5t
2
. Tentukan interval t agar diperoleh h ≥ 20
6. Pertidaksamaan Rasional
