36
Tabel Frekuensi Masa pakai , dalam hari, bola lampu merah ”MATT”
Masa pakai hari Banyak bola lampu
300 - 399 400 - 499
500 - 599 600 - 699
700 - 799 800 - 899
900 - 999 1000 - 1099
1100 - 1199 14
46 58
76 68
62 48
22 6
Total 400 2. Diketahui diameter 60 bola besi untuk roda sepeda dalam
milimeter yang dihasilkan oleh suatu perusahaan adalah seperti berikut ini.
7,38 7,29 7,43 7,40 7,36 7,41 7,35 7,31 7,26 7,37
7,28 7,37 7,36 7,35 7,24 7,33 7,42 7,36 7,39 7,35 7,45 7,36 7,42 7,40 7,28 7,38 7,25 7,33 7,34 7,32
7,33 7,30 7,32 7,30 7,39 7,34 7,38 7,39 7,27 7.35 7,35 7,32 7,35 7,27 7,34 7,32 7,36 7,41 7,36 7,44
7,32 7,37 7,31 7,46 7,35 7,35 7,29 7,34 7,30 7,40 Dengan menggunakan data di atas tentukan berikut ini.
a. Tabel frekuensi b. Histogram
c. Poligon frekuensi d. Distribusi frekuensi kumulatif
e. Ogive.
3. Dari suatu penelitian terhadap 30 orang responden diperoleh data
berat badan kg berikut ini: 49 53 59 56 66 55 30 62 55 80
50 48 65 50 60 54 78 60 39 53 65 38 48 68 62 64 70 65 42 41
Dengan menggunakan data di atas tentukan berikut ini. a. Tabel frekuensi
b. Histogram c. Poligon frekuensi
d. Distribusi frekuensi kumulatif e. Ogive.
37
3.2.3. UKURAN PEMUSATAN DATA
Dalam Statistika terdapat tiga ukuran pemusatan data yang sering dipakai, yaitu mean, median dan modus. Pada bagian awal kita akan
berbicara tentang konsep mean, median dan modus untuk data tunggal. Kemudian pembahasan dilanjukan pada suatu cara mencari
mean, median dan modus untuk data berkelompok. Data Tunggal
MEAN
Misalkan dari sebuah sampel berukuran n diperoleh data sebagai berikut : x
1
, x
2
, x
3
, … , x
n
. Maka mean rataan x disimbolkan dengan x
7 didefinisikan sbb :
x
7 =
8 9
∑ x
; 9
;8
. 1 Misalnya dari sebelas orang pemain sepak bola diperoleh data tentang
tinggi badan dalam cm mereka sebagai berikut : 170, 167, 165, 167, 170, 168, 169, 182, 180, 165, 170
Dalam hal ini n = 11 dan ∑ x
= =
= 1873, sehingga x
7 = 1873 = 170,27 .
Jadi mean tinggi badan mereka adalah 170,27 cm. Misalkan dari n buah data x yang dikumpulkan dari sebuah
samplel, hanya terdapat k ≤
n buah data yang berbeda. Misalkan data- data x yang berbeda tersebut adalah x
1
, x
2
, … , x
k
. Jika untuk setiap i, 1
≤ i
≤ k, data x
i
muncul dengan frekuensi f
i
, maka ∑
= +
=
= , dan
Jumlah nilai G = H
= +
=
G
=
Sehingga mean x adalah IJ =
∑ K
;
I
; L
;M8
∑ K
; L
;M8
. 2
Sebagai contoh, dari data tentang tinggi badan pemain sepak bola diatas terlihat bahwa data 165, 167, 168, 169, 170, 180, 182, secara
berturut-turut muncul dengan frekuensi 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, sehingga diperoleh mean,
G̅ =
54 O 50 O 5P O 56 O - 0 O P O P OOOO-OO
=
P0-
= 170,27
38
MEDIAN Median sekelompok data adalah data yang letaknya paling tengah
setelah data tersebut diurutkan. Jika banyaknya data genap, maka ada dua data yang paling tengah, sehingga dalam hal ini mediannya adalah
mean dua data yang paling tengah tersebut. Misalnya dari contoh diatas setelah data diurutkan diperoleh :
165, 165, 167, 167, 168, 169, 170, 170, 170, 180, 182. Dari data di atas, tampak bahwa data yang paling tengah adalah 169.
Jadi median tinggi badan pemain sepak bola tersebut adalah 169 cm. Akan tetapi, jika kita perhatikan delapan pemain terpendek saja,
setelah diurutkan , diperoleh data sebagai berikut: 165, 165, 167, 167, 168, 169, 170, 170
Dalam hal ini terdapat dua data yang letaknya paling tengah yaitu 167 dan 168, sehingga median tinggi badan dari delapan pemain sepak
bola terpendek adalah
50O5P
= 167,5 cm.
MODUS
Misalkan diberikan sekelompok data dengan syarat semua data
tidak muncul dengan frekuensi yang sama. Maka modus mode dari sekelompok data tersebut adalah data yang paling sering muncul.
Misalkan dari data tentang tinggi badan pemain sepak bola yang disebutkan diatas, diperoleh modus adalah 170, karena data ini muncul
dengan frekuensi terbesar yaitu 3 kali dan data yang lain muncul dengan frekuensi kurang dari tiga.
Modus sekelompok data tidak harus tunggal. Sebagai contoh, data berikut mempunyai dua modus bimodus yaitu 5 dan 6, masing-
masing muncul dengan frekuensi empat.
4, 5, 6, 3, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 7, 6
Data Berkelompok MEAN
Jika data disajikan dalam tabel frekuensi data berkelompok, maka seluruh data yang terletak pada satu kelas interval dapat diwakili oleh
satu nilai tertentu, biasanya titik tengah interval. Misalkan titik tengah kelas interval ke-i dinyatakan dengan x
i
dan frekuensi yang bersesuaian dengan kelas interval ke-i dilambangkan dengan f
i
. Selanjutnya,
39
Formula 2 dapat digunakan untuk menghitung mean data berkelompok. Metode ini dikenal dengan ‘metode cepat’.
Contoh 3.1: Diberikan tabel frekuensi berat badan 100 orang sperti berikut ini:
Berat kg Titik tengah x
i
Frekuensi f
i
f
i
x
i
60 – 62 61
5 305
63 – 65 64
18 1152
66 – 68 67
42 2814
69 – 71 70
27 1890
72 – 74 73
8 584
N = Σ
f
i
= 100 Σ
f
i
x
i
= 6745 IJ =
∑ K
;
I
; L
;8
∑ K
; L
;8
= QRST
8UU = QR, ST LV Jika A adalah nilai dugaan dari mean x A sembarang bilangan
yang sering disebut dengan rata – rata sementara dan simpangan titik tengah interval ke-i dari A dinyatakan dengan d
i
, maka d
i
= x
i
– A. Jika semua kelas interval mempunyai panjang yang sama, katakan c, maka
d
i
= x
i
– A = c u
i
dengan u
i
adalah bilangan bulat. Mean x dapat dihitung dengan formula berikut:
G̅ = + X
∑ Y
Z
[
Z \
ZM]
∑ Y
Z \
ZM]
_ 3 Perhatikan bahwa
X
∑ Y
Z
[
Z \
ZM]
∑ Y
Z \
ZM]
adalah mean dari u atau `7. Sehingga 3 ekuivalen dengan
G̅ = + _ `7 . Terlihat bahwa, untuk memperoleh mean x, variabel x dinyatakan
dikode dalam variabel u dengan rumus tranformasi x = A + cu. Sehingga mencari mean x dengan menggunakan Formula 3 dikenal
dengan’ Metode Koding.’ Contoh 3.2:
Dengan data seperti pada contoh sebelumnya yaitu mengenai data berat badan 100 orang. Misalkan dugaan mean adalah A = 67. Karena
panjang klas interval c = 3, maka penghitungan mean dengan menggunakan formula 3 adalah sbb .
Titik tengah x
i
u
i
Frekuensi f
i
f
i
u
i
61 -2
5 -10
64 -1
18 -18
67 42
70 1
27 27
40
73 2
8 16
N = Σ
f
i
= 100 Σ
f
i
u
i
= 15 G̅ = + X
∑ Y
Z
[
Z \
ZM]
∑ Y
Z \
ZM]
_ = 67 + a
4
b 3 = 67,45 2c.
MEDIAN
Untuk menghitung median dari data yang disajikan dalam tabel frekuensi dapat digunakan formula berikut ini.
d e = +
f
g h
∑ Y
]
Y
ijkZlm
n _ , 4 dimana
L
1
= batas bawah kelas dari kelas median kelas yang memuat median
N = banyaknya data frekuensi total Σ
f
1
= jumlah frekuensi dari kelas-kelas di bawah kelas median f
median
= frekuensi dari keals median c = ukuran dari interval kelas median
Contoh 3.3: Misalkan diberikan data frekuensi dari panjang daun seperti berikut
ini:
Ukuran panjang
mm frekuensi
118 – 126 3
127 – 135 5
136 – 144 9
145 – 153 12
154 – 162 5
163 – 171 4
172 – 180 2
Dari tabel diatas, diketahui bahwa frekuensi total dari data adalah 40 sehingga kelas median adalah kelas yang memuat data ke 20. Jumlah
frekuensi dari 3 kelas awal adalah 3 + 5 + 9 = 17, sedangkan jumlah frekuensi dari 4 kelas awal adalah 3 + 5 + 9 + 12 =29, oleh karena itu
kelas mediannya adalah kelas keempat yaitu kelas 145 – 153.
L
1
= batas bawah kelas dari kelas median = 144,5 N = banyaknya data frekuensi total = 40
Σ f
1
= jumlah frekuensi dari kelas-kelas di bawah kelas median yaitu 3 + 5 + 9 = 17
41
f
median
= frekuensi dari keals median = 12 c = ukuran dari interval kelas median = 9 .
Sehingga, d e =
+ f
g h
∑ Y
]
Y
ijkZlm
n _ = 144,5 +f
op h
n 9 = 146,8 qq
MODUS Untuk menghitung modus dari data yang disajikan dalam tabel
frekuensi dapat digunakan formula berikut ini.
r `s = +
a
∆
]
∆
]
O
∆
h
b _ dengan L
1
= batas bawah kelas dari kelas modus ∆
= selisih antara frekuensi dari kelas modus dan frekuensi dari kelas tepat sebelum kelas modus
∆ = selisih antara frekuensi dari kelas modus dan frekuensi
dari kelas tepat sesudah kelas modus c = ukuran dari interval kelas median
Contoh 3.4 Dari contoh data frekuensi panjang daun pada contoh 3.3 diperoleh
L
1
= batas bawah kelas dari kelas modus = 144,5 ∆
= selisih antara frekuensi dari kelas modus dan frekuensi dari kelas tepat sebelum kelas modus = 12 – 9 = 3
∆ = selisih antara frekuensi dari kelas modus dan frekuensi
dari kelas tepat sesudah kelas modus = 12 – 5 = 7 c = ukuran dari interval kelas median = 9
sehingga r `s =
+ a
∆
]
∆
]
O
∆
h
b _ = 144,5 +a
- -O0
b 9 = 147,2 qq
TUGAS 3: 1. Tentukan mean , modus, median dari data tunggal berikut ini :
a. 20, 24, 30, 26, 30 b. 4, 6, 6, 8, 8, 10
3.2.4. UKURAN KEBERAGAMAN DAN PENYIMPANGAN DATA VARIANS
Misalkan dari sebuah sampel berukuran n diperoleh data x sebagai berikut x
1
, x
2
, x
3
, … , x
n
. Varians x, disimbolkan dengan s
x2
, didefinisikan sebagai berikut s
t
=
∑ t
Z
t̅
h m
ZM]
42
Misalkan dari n buah data x yang dikumpulkan dari sebuah sample, hanya terdapat k
≤ n buah data yang berbeda. Misalkan data-
data x yang berbeda tersebut adalah x
1
, x
2
, … , x
k
. Jika untuk setiap i, 1
≤ i
≤ k, data x
i
muncul dengan frekuensi f
i
, maka s
t
=
∑ Y= t
Z
t̅
h \
ZM]
∑ Y
Z \
ZM]
Contoh 4.1.
Diberikan data berikut : 6, 8, 4, 6, 7, 5 Maka mean dari data tersebut adalah 6, sehingga varians dari data
tersebut adalah s
t
=
∑ t
Z
t̅
h m
ZM]
=
55
h
O P5
h
O u5
h
O 55
h
O 05
h
O 45
h
5
=
4
= 2
Contoh 4.2. Diberikan data berikut : 6, 8, 6, 8, 7,7,7
Maka mean dari data tersebut adalah 7, sehingga varians dari data tersebut adalah
s
t
=
∑ Y= t
Z
t̅
h \
ZM]
∑ Y
Z \
ZM]
=
50
h
O - 00
h
O P0
h
O-O
=
u 5
= 0,67 CATATAN : Varians dari sekolompok data mencerminkan variasi atau
keberagaman data tersebut. Makin kecil nilai S
2
maka data dalam kelompok tersebut semakin tidak beragam semakin homogin, bahkan
kalau S
2
=0, maka semua data dalam kelompok bernilai sama homogin sempurna. Sebaliknya, makin besar nilai S
2
maka data dalam kelompok semakin beragam.
SIMPANGAN BAKU Misalkan dari sebuah sampel berukuran n diperoleh data x sebagai
berikut x
1
, x
2
, x
3
, … , x
n
. Simpangan baku x, disimbolkan dengan s
x
, didefinisikan sebagai berikut
t
= v ∑
G
=
− G̅
=
− 1 Misalkan dari n buah data x yang dikumpulkan dari sebuah
samplel, hanya terdapat k ≤
n buah data yang berbeda. Misalkan data- data x yang berbeda tersebut adalah x
1
, x
2
, … , x
k
. Jika untuk setiap i, 1
≤ i
≤ k, data x
i
muncul dengan frekuensi f
i
, maka
43
t
= w
∑ Y= t
Z
t̅
h \
ZM]
∑ Y
Z \
ZM]
Contoh 4.3:
Simpangan baku dari data pada contoh 4.1 adalah s = √2
Simpangan baku dari data pada contoh 4.2 adalah s = √0,67
TUGAS 4 1. Tentukan varians dan simpangan baku dari data – data berikut .
a. 4, 5, 8, 5, 6, 3, 8 b. 2, 2, 2, 3, 4, ,4 5, 5, 5
F. KALKULUS
