Tujuan Uraian Materi Bentuk Pangkat

C. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

1. Tujuan

Setelah mempelajari materi ini diharapkan peserta dapat: 1. Memahami konsep fungsi dan operasi 2. Melakukan manipulasi aljabar untuk menyederhanakan bentuk akar dan pangkat 3. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linier 4. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

2. Uraian Materi Bentuk Pangkat

Bilangan berpangkat pada mulanya digunakan dalam Matematika sebagai suatu cara ringkas untuk menuliskan perkalian yang berulang-ulang. Pada perkembangan selanjutnya, bilangan berpagkat dikembangkan untuk bilangan berpangkat bilangan bulat negatif, bilangan rasional bahkan irasional. Untuk lebih memperjelas pemahaman tentang hal di atas, marilah kita pelajari uraian berikut ini. Definisi 1: Jika n adalah bilangan Asli dan a ∈ R; . . . faktor n sebanyak a a a a a n × × × × = Contoh 1: 8 2 2 2 2 3 = × × = 5 3 3 3 3 3 3 243 − = − × − × − × − × − = − . Pengertian k a sebagai perkalian a sebanyak k faktor tidak dapat diterapkan untuk bilangan bulat k yang negatif atau nol. Oleh karena itu untuk pangkat bilangan bulat negatif didefinisikan tersendiri. Definisi 2: Jika n adalah bilangan Asli, dan a ∈ R; n a n a 1 = − Untuk . 1 , = ≠ a a Contoh 2: 1 . 16 1 2 2 2 2 1 2 1 2 4 4 = × × × = = − . 64 1 4 4 4 1 4 1 4 3 3 − = − × − × − = − = − − SIFAT-SIFAT PERPANGKATAN Jika a dan b adalah bilangan real dan m, n adalah bilangan Asli, maka berlaku: 1 n m a n a m a + = × 2 ≠ − = a untuk n m a n a m a 3 n m a n m a × = 4 m b m a m b a × = × 5 ≠       = b untuk m b m a m b a Bukti: 1 a a a a a a a a n a m a × × × × × × × × × = × . . . . . . = a a a a a a a a × × × × × × × × × . . . . . . = n m a + . 2 Untuk m=n 1 = = m m n m a a a a 1 = = − a a n m karena a tidak nol Jadi untuk m=n, n m n m a a a − = . Untuk mn n m n m a a a a a a a a a a a a a a a − = × × × = × × × × × × × × × = . . . . . . . . . Untuk mn coba sendiri 3 Coba sendiri 4 . . . b a b a b a b a b a m × × × × × × × × = × sebanyak m-faktor sebanyak n-faktor sebanyak m+n-faktor m-n faktor m - faktor n - faktor m - faktor m - faktor m - faktor 2 = . . . . . b b b b a a a × × × × × × × × = m m b a × . 5 Coba sendiri Contoh 3: a 3 3 × 3 4 = 3 7 b 5 3 8 7 7 7 = c 6 3 2 4 4 = d 3 3 3 5 3 5 3 × = × e 4 4 4 4 9 4 9 =       Sifat-sifat perpangkatan di atas juga berlaku untuk pangkat bilangan real. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut. Jika a dan b adalah bilangan real positif dan x, y adalah bilangan real, maka berlaku: 1 y x y x a a a + = . 2 ≠ = − a untuk a a a n m n m 3 y x y x a a . = 4 x x x b a b a . . = 5 ; x x y a a b b b   = ≠     Contoh 4: a 5 3 5 2 5 5 2 5 2 2 2 . 2 = = + b 2 1 3 2 1 3 4 4 × = = 3 2 1 4 × = 3 2 1 4         = 3 2 . c 3 7 3 1 2 3 3 . 3 = 3 d 3 2 4 2 3 4 2 2 5 . 5 3 . 3 5 . 3 5 . 3 = − − 5 6 5 3 = . Contoh 5: Jika x=4 dan y= 9 1 , hitung 2 1 2 3 2 1 2 . . . − − −         y x y x Jawab: 2 1 2 3 2 1 2 . . . − − −         y x y x =       − − 2 2 3 1 . y x y x = 1 2 1 . − y x = 9 1 4 2 1 = y x = 18. Contoh 6: Sederhanakan berikut ini. a y x y x . . 3 1 2 − − b 3 2 2 2 1         − b a c 2 1 2 2 1 2 . . −       n m n m Jawab: a y x y x . . 3 1 2 − − = 1 1 3 2 . − − − − y x = 2 5 . − y x = 2 5 y x b 3 2 2 2 1         − b a = 3 4 3 1 − b a = 3 4 3 1 .b a c 2 1 2 2 1 2 . . −       n m n m = 2 1 2 2 1 2 . . . − − n m n m = 1 2 1 1 2 1 . . . − − − n m n m 4 = 2 2 1 n n = − . Contoh 7: Sederhanakan 3 2 3 1 − − − +       − + − b a a b b a b a Jawab: 3 2 3 1 − − − +       − + − b a a b b a b a = 3 2 2 3 . . b a a b b a b a + − + − − − − 3 2 2 3 . . . b a b a b a b a + + − − = − − . 1 b a b a + − = − b a b a − + = . Contoh 8: Sederhanakan 6 7 5 1 1 . 1 1 . 1 1 − −       + −       −       + p p p p Jawab: 6 7 5 1 1 . 1 1 . 1 1 − −       + −       −       + p p p p 6 6 7 5 1 . 1 . 1 . 1 p p p p + − − + = − − 6 7 6 5 1 . 1 − + − − + = p p 1 . 1 p p − + = 2 1 p − = . Contoh 9: Nyatakan 1 2 2 1 2 3 − − − − + − y x y x dalam bentuk yang tidak memuat pangkat negatif. Jawab: 1 2 2 1 2 3 − − − − + − y x y x = y x x y xy x y y x y x 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 3 + − = + −       +       − = 2 2 2 2 2 . 3 x y y x xy x y 2 . 3 2 2 x y y x y x + − = . 5

3. Bentuk Akar