11
coba cek sendiri. Demikian pula pada contoh 2.4,
x H
dan
x T
keduanya merupakan anti derivatif dari x
2 sin
. Ternyata
2 1
+ =
x H
x T
coba cek sendiri.
Jika dua fungsi atau lebih merupakan anti derivatif dari
x f
, maka fungsi-fungsi itu hanya berbeda konstanta. Pernyataan ini dirumuskan
dalam teorema berikut.
Bukti Teorema 2.3: Misalkan
x G
x F
x H
− =
.
x G
x F
x H
− =
x f
x f
− =
= x
H
Dengan demikian
. c
x H
=
Jadi,
c x
G x
F =
−
.
. c
x G
x F
+ =
Jika
x F
adalah fungsi sehingga
] [
x f
x F
dx d
=
, maka fungsi dengan bentuk
c x
F +
disebut anti derevatif dari
x f
dan ditulis dengan
Simbol
∫
dibaca “integral” dan
x f
disebut “integran”.
Pernyataan 1 dibaca “integral tak tentu dari
fx
sama dengan
x F
ditambah c. Kata “tak tentu” menunjukkan bahwa hasilnya tak tentu banyak fungsi yang mungkin, c disebut konstanta pengintegralan.Untuk
menyederhanakan penulisan, seringkali dx “dimasukkan” pada integran.
Contoh,
∫
dx .
1 ditulis dengan
∫
dx dan
∫
dx x
2
1
ditulis dengan
∫
2
x dx
. Dengan memperhatikam Contoh 2.1 sampai Contoh 2.4, kita dapat
menulis:
∫
+ =
c x
xdx
2
2 4
∫
+ =
c x
xdx sin
cos
∫
+ =
− c
x dx
x x
1 1
∫
+ =
c x
dx x
4 3
4
2.3. TEOREMA . Jika
x F
dan
x G
anti derivatif dari
x f
, maka
c x
F x
G +
=
untuk suatu konstanta c.
∫ +
= c
x F
dx x
f
12
∫
+ =
c x
dx x
ln 2
1 2
1
∫
+ =
c x
dx x
2 1
ln 2
1 2
1
∫
+ −
= c
x dx
x 2
cos 2
1 2
sin
∫
+ −
= c
x dx
x
2
cos 2
sin Formula pengintegralan “dasar” diberikan pada tabel berikut ini.
Tabel 2.1 No Derivatif
Anti Derivatif 1
1 ]
[ =
x dx
d
∫
+ =
c x
dx 2
1 ]
[ln =
x x
x dx
d
∫
+ =
c x
x dx
ln
3 1
, ]
1 [
1
− ≠
= +
+
n x
n x
dx d
n n
∫
+ +
=
+
c x
n dx
x
n n
1
1 1
4
x x
dx d
cos ]
[sin =
∫
+ =
c x
dx x
sin cos
5
x x
dx d
sin ]
cos [
= −
∫
+ −
= c
x dx
x cos
sin 6
x x
e e
dx d
= ]
[
∫
+ =
c e
dx e
x x
7
x tgx
dx d
2
cos 1
] [
=
∫
+ =
c tgx
dx x
2
cos 1
8
x ctgx
dx d
2
sin 1
] [
= −
∫
+ −
= c
ctgx dx
x
2
sin 1
Kita ingat kembali bahwa
∫
dx x
f berarti anti derivatif dari
. x
f
Dengan kata lain,
∫
dx x
f adalah fungsi yang derivatifnya adalah
. x
f
Dengan demikian kita memperoleh hasil Hasil di atas sangat membantu kita dalam membuktikan teorema berikut
ini.
∫
= x
f dx
x f
dx d
2.4. TEOREMA .
a Jika c adalah konstanta, maka
∫ ∫
= .
. dx
x f
c dx
x f
c b
∫ ∫
∫
+ =
+ dx
x g
dx x
f dx
x g
x f
] [
13
Bukti Teorema 2.4:
a
[ dx
d
c
∫ ∫
= ].
[ ]
dx x
f dx
d c
dx x
f
=
. x
f c
.
Karena derivatifdari
∫
= .
x f
c dx
x f
c , itu sama artinya dengan
∫ ∫
= .
. dx
x f
c dx
x f
c b
∫ ∫
∫ ∫
+ =
+ ]
[ ]
[ ]
[ dx
x g
dx d
dx x
f dx
d dx
x g
dx x
f dx
d
=
. x
g x
f +
Jadi,
∫ ∫
∫
+ =
+ dx
x g
dx x
f dx
x g
x f
] [
.
Contoh 2.5
∫ ∫
+ +
= +
dx x
x x
dx x
x 6
9 3
4 3
2 2
2
=
∫ ∫
∫
+ +
dx x
dx x
dx x
4 3
2
6 9
=
∫ ∫
∫
+ +
dx x
dx x
dx x
4 3
2
6 9
=
c x
x x
+ +
+
5 4
3
5 1
2 3
3
Contoh 2.6
dx x
x x
x x
1 sin
2 3
1
3
∫
+ +
+ =
∫ ∫
∫ ∫
−
+ +
+ dx
x dx
x dx
x dx
x
2 3
3
sin 2
1 3
1
= c
x x
x x
+ −
+ −
1 2
4 1
cos 2
ln 3
1
4
Contoh 2.7
dx x
x ]
5 1
2 1
3 [
2 2
− +
+ −
−
∫
=
∫ ∫
∫
− +
+ −
− dx
x dx
x dx
5 1
2 1
3
2 2
= 3 −
c x
arctgx x
+ −
+ 5
2 arcsin
.
Kita perhatikan bahwa
. 1
1 ]
1 1
[
1
x f
x f
n n
c x
f n
dx d
n n
+ +
= +
+
+
= .
x f
x f
n
Dengan demikian,
∫
+ +
=
+
c x
f n
dx x
f x
f
n n
1
1 1
.
.
14
Mengingat
dx x
f x
df =
, maka dapat dirumuskan Dengan metode yang sama seperti di atas analog, dapat dikembangkan
formula yang lebih umum dari tabel 1.1 menjadi tabel 2.2 berikut. Tabel 2.2
No Anti Derivatif 1
∫
+ =
c x
f dfx
2
∫
+ =
c x
f x
f x
df ln
3
∫
+ +
=
+
c x
f n
x df
x f
n n
1
1 1
4
∫
+ =
c x
f x
df x
f sin
cos 5
∫
+ −
= c
x f
x df
x f
cos sin
6
∫
+ =
c e
x df
e
x f
x f
7
∫
+ =
c x
tgf x
f x
df cos
2
8
∫
+ −
= c
x ctgf
dx x
f x
df sin
2
Contoh 2.8
∫
+ dx
x x
5 3
2
7 =
∫
+ +
7 7
3 1
3 5
3
x d
x
=
c x
+ +
6 3
7 6
1 .
3 1
=
c x
+ +
6 3
7 18
1
.
Contoh 2.9
∫
+ dx
tgx x
2 1
=
∫ ∫
+ dx
x x
x dx
cos sin
2 1
=
∫
− x
x d
x cos
cos ln
2 1
=
c x
x +
− cos
ln ln
2 1
= c
x x
+ cos
ln .
Contoh 2.10
1 ;
1 1
1
− ±
+ +
=
∫
+
n c
x f
n x
df x
f
n n
Ingat:
dx x
x d
2 3
3 7
= +
Ingat:
xdx x
d sin
cos −
=
Ingat: dx
x x
d 1
ln =
15
∫
dx x
x ln
1
=
∫
x x
d ln
ln
=
c x
+ ln
ln
.
Contoh 2.11
∫
+ −
5 2
2
x x
dx
=
∫
+ −
4 1
2
x dx
=
4 1
∫
+ −
1 2
1
2
x dx
=
4 1
.2.
∫
+ −
−
1 2
1 2
1
2
x x
d
=
C x
tg arc
+ −
2 1
. 2
1
.
Contoh 2.12
∫ ∫
− =
dx x
dx x
2 cos
1 2
1 sin
2
∫
− =
dx x
2 cos
1 2
1
∫ ∫
− =
dx x
dx 2
cos 2
1 2
1
∫ ∫
− =
2 2
cos 2
1 .
2 1
2 1
x d
x dx
=
C x
x +
− 2
sin 4
1 2
1
.
Contoh 2.13
∫ ∫
+ =
dx x
dx x
2 cos
1 2
1 cos
2
∫ ∫
+ =
dx x
dx x
2 cos
1 2
1 cos
2
∫ ∫
+ =
dx x
dx 2
cos 2
1 2
1
∫ ∫
+ =
2 2
cos 2
1 .
2 1
2 1
x d
x dx
∫ ∫
+ =
2 2
cos 4
1 2
1 x
d x
dx
16 C
x x
+ +
= 2
sin 4
1 2
1
Contoh 2.14
∫ ∫
= 3
3 1
3 3
x d
e dx
e
x x
c e
x
+ =
3
3 1
. Latihan1
Tentukan Integral tak tentu berikut ini 1.
∫
− +
− dx
x x
x 4
7 2
3
2 5
2.
dx x
x x
7 5
3 2
4 3
∫
+ −
4.
dx x
x x
x x
∫
− +
+ 7
6 4
4 5
5.
∫
− −
+ dx
x x
x x
4 5
. 3
4 3
2 2
5
INTEGRAL PARSIAL
Teknik lain sebagai salah satu alternatif yang mungkin dapat dilakukan untuk menentukan integral tak tentu adalah dengan
pengintegralan parsial. Teknik ini didasarkan pada turunan hasil kali dua fungsi.
Misalkan
maka x
g v
dan x
f u
, =
=
[ ]
. .
.
, ,
x f
x g
x g
x f
x g
x f
dx d
+ =
. Dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan di atas dan
menggunakan Teorema 1.4 kita peroleh
∫ ∫
+ =
dx x
f x
g dx
x g
x f
x g
x f
. .
.
, ,
Atau
∫ ∫
− =
dx x
f x
g x
g x
f dx
x g
x f
. .
.
, ,
. Karena
dx x
g dv
,
= dan
dx x
f du
,
= , persamaan terakhir dapat ditulis
sebagai berikut. Persamaan di atas sering kita sebut dengan Rumus Integral Parsial
bagian demi bagian.
∫ ∫
− =
du v
v u
dv u
.
17
Contoh 3.1
Tentukan
∫
dx x
x cos
Penyelesaian: Kita akan memisalkan
dx x
x cos
sebagai
dv u
. Salah satu caranya adalah dengan memisalkan
x u
=
dan
dx x
dv cos
=
. Dengan pemisalan itu kita peroleh
dx du
= dan
c x
dx x
v +
= =
∫
sin cos
. Dengan rumus integral parsial kita peroleh,
∫ ∫
− +
= dx
x c
x x
dx x
x sin
sin .
cos
C x
x x
+ +
= cos
sin .
. Pemisalan u dan dv dipilih sehingga integral yang muncul lebih sederhana
dan dapat diselesaikan. Pemilihan yang keliru tidak akan membantu dalam menyelesaikan integral bahkan justru dapat memunculkan integral
yang lebih rumit. Jika untuk soal di atas kita melakukan pemisalan
x u
cos =
dan xdx
dv =
, maka kita peroleh xdx
du sin
− =
dan 2
2
x v
= .
Dengan menggunakan rumus integral parsial, maka diperoleh,
∫ ∫
− −
= sin
2 2
cos cos
2 2
dx x
x x
x dx
x x
. Dengan melakukan pemisalan tersebut justru memunculkan integral yang
lebih rumit. Contoh 3.2
Tentukan
∫
dx x
ln
Penyelesaian: Misalkan
x u
ln =
dan dx
dv =
, maka
dx x
du 1
=
dan
x v
=
. Dengan menggunakan rumus integral parsial kita peroleh,
∫ ∫
− =
dx x
x x
x dx
x 1
. ln
ln
∫
− =
dx x
x ln
C x
x x
+ −
= ln
.
Latihan 2 Hitung integral berikut ini
1.
∫
xdx 3
ln 2.
∫
+ dx
x x
1 3.
∫
dx x
x cos
ln sin
18
4.
∫
dx e
x
x 2
5.
∫
dx x
x cos
2
TEOREMA DASAR KALKULUS
Contoh:
Hitung
∫
−
3 1
2
2 dx
x x
Jawab:Karena x
x x
f 2
2
− =
kontinu pada [1,3] dan
2 3
3 1
x x
x F
− =
anti
turunan dari f, maka
∫
−
3 1
2
2 dx
x x
=
− 2
3 3
1 3
1 x
x
=
3 2
. Kita boleh mengambil
c x
x x
F +
− =
2 3
3 1
, hal ini tidak akan berpengaruh pada hasil akhir.
Contoh:
Hitung
∫
π
sin dx x
Jawab: Karena
x x
f sin
=
kontinu pada [0, π
] dan anti turunan dari f adalah
x x
F cos
− =
, maka
∫
x
dx x
sin
=
[ ]
x cos
−
π = 2..
Contoh:
Hitung
∫
+
1 4
1 dx
x x
Jawab:
Karena
4
1 x
x x
f +
=
kontinu pada
[0,1] dan
∫ ∫
+ =
+ =
+ c
x arctg
x x
d dx
x x
2 2
2 2
4
2 1
1 2
1 1
, maka
∫
+
1 4
1 dx
x x
=
8 2
2 1
1
π
=
x arctg
.
Teorema Dasar Kalkulus
Misalkan fungsi f kontinu pada [a, b] dan misalkan F sebarang anti turunan dari f, maka
∫
− =
b a
a F
b F
dx x
f
19
MENENTUKAN LUAS DAERAH BIDANG
Salah satu penggunaan integral tentu adalah untuk menentukan luas daerah bidang. Tentu tidak semua daerah bidang dapat ditentukan
luasnya dengan mudah. Pada bagian ini kita akan membahas cara menentukan luas daerah bidang yang dibatasi oleh beberapa kurva yang
diketahui atau dapat ditentukan persamaannya.
Luas daerah yang dibatasi
x f
y =
, garis
a x
=
, garis
b x
=
dan sumbu X;
b x
untuk x
f ≤
≤ ≥
.
Contoh 1 Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva
1
2
+ =
x y
, sumbu-X, garis 1
− =
x dan
2 =
x .
Jawab:
∫ ∫
− −
+ =
=
2 1
2 1
2
1 dx
x dx
y L
=
+
−
x x
3
3 1
2 1
= 6
3 18
1 3
1 2
3 8
= =
− −
−
+
.
Contoh 2
X Y
b a
y=f
∫
=
b a
dx x
f L
20
Tentukan luas daerah di atas sumbu-X yang dibatasi oleh grafik x
y =
dan garis
6 +
− =
x y
.
Jawab: Grafik
x y
= dan
6 +
− =
x y
berpotongan di
= x
4. Garis
6 +
− =
x y
memotong sumbu-X di 6
= x
.
∫ ∫
+ −
+ =
4 6
4
6 dx
x dx
x L
=
+
2 3
3 2
4
x
+ −
x x
6 2
1
2
6 4
=
3 22
2 3
16 =
+
.
Jika f bernilai negatif pada suatu sub interval [a,b], maka luas daerah D adalah
∫
=
b a
dx x
f L
Contoh 3 Tentukan luas daerah yang diarsir berikut ini.
Jawab: Daerah yang akan kita cari luasnya sebagian ada di atas sumbu-X
dansebagian ada di bawah sumbu-X. Dengan demikian luasnya adalah
21
∫ ∫
−
− −
− +
− −
− =
1 1
2 1
2 3
2 3
3 3
3 3
dx x
x x
dx x
x x
L , atau dapat pula ditulis,
∫ ∫
−
− −
− −
− −
− =
1 1
2 1
2 3
2 3
3 3
3 3
dx x
x x
dx x
x x
L =
2 1
2 3
4 1
1 2
3 4
3 2
4 3
2 4
+ −
− −
+ −
−
−
x x
x x
x x
x x
= 4- 4
23 4
7 =
− .
Luas daerah yang dibatasi
y f
x =
, garis
a y
=
, garis
b y
=
dan sumbu Y.
∫
=
b a
dy y
f L
Contoh 4 Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik
2
x y
= , garis
4 =
y
dan sumbu Y.
Jawab:
2
x y
=
y x
= ⇔
3 16
3 2
4 4
= =
=
∫
y y
dy y
L
Contoh 5 Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik
3
x y
= , garis
1 −
= y
, garis
8 =
y
dan sumbu Y.
Jawab:
2
x y
= 4
x y
=
8
-
22 =
+ −
=
∫ ∫
− 1
8 3
3
dy y
dy y
L 3
2 12
2 .
8 .
4 3
4 3
4 3
4 3
8 3
1 3
= +
− −
=
+
−
−
y y
y y
.
Luas daerah yang dibatasi
x f
y =
,
x g
y =
,garis
a x
=
, garis b
x =
dan sumbu Y.
Contoh 6 Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik
x y
sin =
,
x y
cos =
, sumbu Y dan garis
π
= x
. Jawab:
Kedua grafik berpotongan di titik
2
2 1
, 4
1 π
.
∫ ∫
− +
− =
π π
π 4
1
4 1
cos sin
sin cos
dx x
x dx
x x
L
=
[ ] [
]
x x
x x
sin cos
4 1
cos sin
4 1
− −
+ +
π π
π
= 2
2 2
1 1
2 =
+ +
− .
Contoh 7
Tentukan luas daerah yang dibatasi grafik
1 3
2 −
= y
x
,
y x
=
dan sumbu X.
Jawab:
, 1
3 2
≥ =
− y
y y
⇔ y
y y
4 9
1 2
2
= +
− ⇔
1 4
1 4
2
= +
− y
y
dx x
g x
f L
b a
∫
− =
23 ⇔
4 1
. 4
= −
− y
y
Dari persamaan
y x
=
berarti ≥
x , sehingga dari
1 3
2 −
= y
x
diperoleh syarat
1 ≥
y
. Dengan demikian y yang memenuhi persamaan
4 1
. 4
= −
− y
y
adalah
4 =
y
yang dicapai untuk 2
= x
.
∫ −
− =
− −
=
4 2
1 3
1 3
2 4
1 3
2 y
y y
dy y
y L
3 2
2 3
1 9
. 3
1 8
. 3
2 =
+ −
= L
. Latihan 3
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut ini dengan membuat sketsa grafik kurva yang diketahui persamaannya terlebih
dahulu dan mengarsir daerah yang dimaksud. 1.
2
2
+ =
x y
,
x y
− =
, 2
− =
x dan
2 =
x .
2. 3
2
2
− +
= x
x y
, sumbu X 3.
2
2 x
y −
= dan
x y
=
VOLUME BENDA PUTAR
Jika suatu daerah bidang datar diputar mengelilingi sebuah garis
lurus, maka akan terbentuk suatu benda putar. Garis tetap itu kita sebut sumbu putar. Sebuah contoh jika daerah segitiga ABC diputar
mengelilingi sisi AC maka akan terbentuk kerucut lihat gambar.
Jika daerah lingkaran diputar dengan sumbu garis m maka akan terbentuk torus seperti ban.
C B
A
m
24
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva
x f
y =
, sumbu-X, garis
a x
=
dan garis b
x =
diputar mengelilingi sumbu-X adalah:
Contoh 1 Tentukan volume benda putar V yang terbentuk jika daerah yang dibatasi
oleh kurva
x y
= , sumbu X dan garis
4 =
x diputar mengelilingi sumbu
X. Jawab:
V =
∫ ∫
=
4 2
4
xdx dx
x
π π
=
π π
8 2
2 1
4
=
x
. Contoh 2
Tentukan volume benda putar V yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva
3
x y
= , sumbu Y dan garis
3 =
y
diputar mengelilingi sumbu Y.
Jawab:
V =
∫ ∫
=
3 03
3 2
2 3
3
dy y
dy y
π π
=
5 9
9 3
5
3 3
5 3
π π
=
y
.
Contoh 3 Tentukan volume benda putar V jika daerah yang dibatasi oleh parabola
2
x y
= dan
x y
8
2
= diputar mengelilingi sumbu X.
Jawab:
[ ]
dx x
x V
4 2
8 −
=
∫
π =
5 48
5 5
2 2
8
2
π π
= −
x x
.
∫
=
b a
dx y
V
2
π
25
Latihan 4 Tentuan volume daerah benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini dengan terlebih dahulu membuat sketsa daerah yang dimaksud.
1.
1
2
+ =
x y
; sumbu Y; sumbu X dan garis 2
= x
diputar terhadap sumbu X.
2. x
x y
4
2
+ −
= ; sumbu X dan garis
3 =
x , diputar terhadap sumbu X.
3.
2
4 x
y −
= ; sumbu U dan sumbu X, diputar terhadap:
a. Sumbu X b. Sumbu Y
4.
2
4 1
x y
=
;
4 =
= y
dan x
, diputar terhadap sumbu X 5.
2 ;
3
= =
= y
dan x
x y
, diputar terhadap sumbu X
26
H. APROKSIMASI
