Definisi: Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan real taknol skalar, maka hasil kali kv
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama seperti arah v jika k 0. dan berlawanan arah v jika k 0.
Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.
Sifat-Sifat Perkalian Vektor dengan Skalar a. ||m v|| = |m| ||v||
b. m -v = -m v c. m v = v m
d. m +n v = m v + n v e. mu + v = m u + m v
c. Besar panjang vektormodu-lus vektor.
Misalkan R adalah sebuah titik pada bidang dengan koordinat x, y dan r, maka r dapat disajikan dalam bentuk vektor kolom sebagai r =
x y
. Panjang atau besar dari ruas garis berarah
OR uuur
dilambangkan dengan Dari gambar di samping, didapat hubungan:
OR
2
= OA
2
+ OB
2
OR
2
= x
2
+ y
2
OR =
2 2
x y
Dengan demikian, panjang
OR uuur
adalah: ||OR|| =
2 2
x + y
Jadi, besar atau panjang vektor r =
x y
dapat ditentukan dengan rumus:
||r|| =
2 2
x y
Misalkan titik R mempunyai koordinat x, y, z dan
OR uuur
mewakili vektor r, maka vektor r dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom sebagai r =
x y
z
. Panjang atau besar ruas garis berarah
OR uuur
ditulis sebagai ||
OR uuur
|| atau OR. Berdasarkan gambar di samping diperoleh
hubungan: OR
2
= OD
2
+ DR
2
...................... 1 Sedangkan
OD
2
= OA
2
+ OB
2
OD
2
= x
2
+ y
2
dan DR
2
= z
2
Substitusi OD
2
dan DR
2
ke persamaan 1 diperoleh
OR
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
Dengan demikian ||
OR uuur
|| = OR =
2 2
2
x y
z
X
x y
r Rx,y
B
A C
R O
X D
Y
r
Z
Jadi, besar atau panjang vektor r =
x y
z
dapat ditentukan dengan rumus
||r|| =
2 2
2
x + y + z
Rumus Jarak Misalkan dua titik di R-3, yaitu titik P dengan koordinat x
1
,y
1
,z
1
dan titik Q dengan koordinat x
2
,y
2
,z
2
. Ruas garis berarah
PQ uuur
mewakili suatu vektor dengan komponen- komponen x
2
– x
1
, y
2
– y
1
, dan z
2
– z
1
. Oleh karena itu, panjang ruas garis berarah
PQ uuur
dapat ditentukan dengan rumus berikut. ||
PQ uuur
|| =
2 2
2 2
1 2
1 2
1
x - x + y - y + z - z
Vektor Satuan Dalam bentuk vektor kolom, vektor-vektor satuan di R-2 dapat dinyatakan sebagai berikut.
ˆi
=
1
dan
ˆj
=
1
Untuk satuan vektor a yang bukan vektor nol, kita dapat menentukan vektor satuan dari vektor a. Vektor satuan dari a dilambangkan dengan
ˆe
, dibaca: e topi searah dengan vektor
a dan panjangnya sama dengan satu satuan. Jika, vektor a =
x y
, maka vektor satuan dari a ditentukan dengan rumus:
ˆe
=
a a
=
2 2
x 1
y x
y
Dengan sifat yang sama untuk vektor-vektor di R-3, vektor satuan dari vektor ax,y,z ditentukan dengan rumus:
ˆe
=
a a
=
2 2
2
x 1
y x
y z
z
Rumus Pembagian Ruang Garis di R-3 Bentuk Vektor dan Bentuk Koordinat Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian
Misalkan titik C terletak pada ruas garis AB, sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka AC : CB = m : n atau AC : AB = m : m + n lihat gambar di
bawah ini
• •
•
A B
C n
m
Tanda-tanda positif atau negatifnya m dan n ditentukan dengan kesepakatan sebagai berikut.
1 Jika C terletak di dalam ruas garis AB sehingga
uuur uuur
AC dan CB
searah, maka, m dan n bertanda sama m dan n keduanya positif atau keduanya negatif.
2 Jika C terletak di luar ruas garis AB tetapi pada perpanjangan ruas garis AB, maka
uuur uuur
AC dan CB
berlawanan arah. Dalam hal demikian, m dan n berlawanan tanda m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif.
Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik C pada ruas garis AB dengan
perbandingan m : n atau AC : CB = m : n. Jika vektor posisi titik C adalah c, maka vektor c ditentukan dengan rumus
c =
m n
m n
b a
Rumus ini juga berlaku untuk titik C yang terletak pada perpanjangan garis AB.
Contoh: Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b. Pada ruas garis AB, tandailah
titik C sehingga AC : CB = 1 : 3, tentukan vektor posisi titik C, Jawab :
Misalkan vektor posisi titik C adalah c, maka c =
1 3
1 3
1 3 4
b a
b a
Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat. Diketahui koordinat titik A
1 1
1
x ,y ,z
, B
2 2
2
x ,y ,z
, dan Cx,y,z, Jika titik C membagi ruas garis AB dengan
perbandingan m : n atau AC : CB = m : n, maka vektor posisi titik C dapat ditentukan
dengan rumus pembagian ruas garis di R-3 dalam bentuk vektor sebagai
c =
m n
m n
b a
Cx,y,z m
Bx
2
,y
2
,z
2
c b
n
Ax
1
,y
1
,z
1
O
a
Berdasarkan kesamaan vektor yang terakhir ini diperoleh hubungan berikut.
2 1
2 1
2 1
mx nx
my ny
mz nz
x ; y
; z m n
m n m n
Persamaan di atas adalah rumus pembagian ruas garis di R-3 yang dinyatakan dalam bentuk koordinat.
C. Metode Pembelajaran
