Alokasi Waktu : 8 jam pelajaran 4 pertemuan.
A. Tujuan Pembelajaran
a. Peserta didik dapat menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.
b. Peserta didik dapat menggunakan integral tertentu untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.
c. Peserta didik dapat menggunakan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat.
B. Materi Ajar
Penggunaan integral:
. Penggunaan Integral Tertentu, untuk menghitung Luas Daerah. Luas daerah antara kurva dengan sumbu X atau sumbu Y
y
y y = fx
x=a x=b x
0 x=a x=b x y =fx
a b y y
1
= fx y y=
sin x y
2
= gx 0 a b x 0 a b x
c d
Keterangan: a Luas daerah di atas sumbu x
b Luas daerah di bawah sumbu x c Luas daerah dibatasi oleh dua kurva
d Luas daerah dibatasi oleh y = sinx
Dari gambar diatas luas daerah yang diarsir : L
A =
b a
x f
dx
L
B
=
a b
b a
dx x
f dx
x f
L
C =
dx y
y
b a
2 1
L
D =
b a
xdx sin
Contoh soal :
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh: 1. y =2x - 2, untuk 0
2
x
2. y
1=
x
2
dan y
2
= 2x +3 3. y = cos x, untuk
2 3
2
x
Penyelesaian: 1. y =2x - 2
Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x- 2 y= 2x-2
y L = L
1
+ L
2
0 1 2 x -1
-2 L
1
=
2 1
2 2
dx x
2 1
2
2x x
2
2
-1
2
-2.2 – 2.1= 4-1-4-2=3-2=1 L
2
=
1
2 2
dx x
1 1
. 2
1 2
2 1
2
x
x
Jadi luas L=1+
1
= 2 satuan luas 2. y
1
= x
2
dan y
2
= 2x + 3 Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva . y
1
= x
2
dan y
2
= 2x + 3 y=2x+3
y 9 y=x
2
menentukan batas-batasnya y
1 -
y
2 = 0
jadi diperoleh x
2
- 2x-3=0 x
1
= -1 dan x
2
= 3 x +1x – 3 =0 -1 sebagai batas bawah dan
3 sebagai batas atas. -1 0 3
L =
3 1
2
3 2
x x
dx =
3 1
3 2
3 1
3
x x
x
=
1 .
3 1
1 .
3 1
3 .
3 1
3 .
3 3
3 2
3 2
=
3
1 3
1 9
= 10
3 2
satuan luas atau dengan menggunakan cara cepat khusus untuk luas yang dibatasi oleh
dua kurva yang belum diketahui batas-batasnya.
L =
2
6a D
D
Sehingga luas menjadi : y = 2x + 3 - x
2
, D = b
2
-4.a.c = 4- 4.-1.3 =16 L =
3 2
10 6
64 1
. 6
16 16
2
satuan luas 3. y = cos x
y L = -
2 3
2
cos
xdx
= -
2 3
2
sin
x
= -sin
2 3
–
sin
2
= - -1 - 1 = 2 satuan luas
1 y = cos x
2
2 3
x
- Volume benda putar. Pengertian benda putar adalah suatu bentuk bidang datar yang diputar sejauh
360
o
, terhadap suatu garis pada bidang datar tersebut sebagai sumbu putarannya perhatikan gambar berikut:
1.
Volume benda putar ,mengelilingi sumbu x y y= fx
V =
b a
x f
2
dx
x
D C A fx B
V =
1 2
2 x
x
y
dx 0 a b x
2. Volume benda putar , mengelilingin sumbu y y
V =
d c
y f
2
dy BENTUK BIDANG DATAR
HASIL PENGAMATAN 1. A
B C
2. C
B D
3. K L
M N 1. ▲ABC diputar dengan AB
sebagai pusat sumbu putar. A
C′ C
2. ▲BCD, diputar dengan BD Sebagai pusat sumbu putar.
C
D
C′ 3.Persegi panjang ABCD diputar
dengan KM sebagai pusat sumbu putar.
K L
M N B
B
c d
V =
2 1
2 y
y
x
dy x = fy
x 3. Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva.
V =
}
2 2
2 1
x f
x f
b a
dx dengan f
1
x f
2
x, yang mana a x b
V =
2 2
1 2
2 1
y y
x x
dx
Contoh soal :
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika yang daerah dibatasi kurva y = x + 1, x = 0 , x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh
360
o.
y Penyelesaian : y = x + 1
1 x
-1
V =
2 2
x f
dx =
2 2
dx x
=
2 2
1 2
dx x
x
=
2 2
3
3 1
x x
x
=
.
3 1
2 2
2 .
3 1
2 3
2 3
=
3 26
=
3
26
satuan volume 2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y = x -
2
2
, sumbu y , y = 0 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360
o.
Penyelesaian: dimana x - 2
2
= y menjadi x =
y
+2 V =
3 2
dy x
=
3 2
3
4 4
2 dy
y y
dy y
2
=
12
3 8
2 9
3 .
4 3
3 .
3 8
3 .
2 1
4 3
8 2
1
2 3
2
y y
y y
y
y = x - 2
2
3
2 x
C. Metode Pembelajaran
Kategori