Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Jumlah matriks A dan B, ditulis matriks A + B, adalah suatu matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B.
Misalnya:
Matriks ac
dapat dijumlahkan dengan matriks ;
µ dapat dijumlahkan dengan matriks ³ µ ;
de f
jkl
dan seterusnya. Secara umum, jika matriks A = [a ij ] dan B = [b ij ] maka matriks
A + B = [a ij ] + [b ij ] = [a ij +b ij ].
Mari Bagaimana jika kedua matriks mempunyai ordo yang tidak Berdiskusi sama?
Misalnya:
matriks ³
µ dengan matriks ³
kedua matriks itu dijumlahkan? Coba kalian diskusikan dengan teman-teman kalian.
Setelah melakukan diskusi tentang permasalahan di atas, tentu kalian dapat menyimpulkan sebagai berikut.
Syarat agar dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalah mempunyai ordo yang sama.
44 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Contoh:
Diketahui A = ³
tidak dapat dijumlahkan
karena ordonya tidak sama.
Problem
2 x + 1 4 x 4 Solving Carilah nilai x dan y yang memenuhi ³ 3 y µ + ³ µ = ³ 8 µ .
Jawab:
Terlihat dari persamaan matriks ini, diperoleh 6x + 1 = 3
x=
dan 4y = 8 y = 2. Jadi, diperoleh nilai x = dan
y = 2.
Matriks 45
2. Pengurangan Matriks
a. Lawan Suatu Matriks
Sebelum kita membahas tentang pengurangan matriks, terlebih dahulu akan kita bicarakan mengenai lawan suatu matriks.
Lawan suatu matriks A adalah suatu matriks yang elemen- elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A. Secara lebih jelas, dari suatu matriks A = [a ij ] dapat ditentukan lawan matriks yang ditulis dengan –A sehingga –A = [–a ij ].
Misalnya sebagai berikut.
Jika A = ³
µ , lawan matriks A adalah –A = ³ µ .
³ µ Jika B = 2 < 1 2 ³ 1 µ , lawan matriks B adalah –B = ³ < µ .
b. Pengurangan terhadap Matriks
Pengurangan matriks A dan B, ditulis A – B, adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian letak dari matriks A dan B. Atau, matriks A – B adalah matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan matriks A dengan lawan dari matriks B, yaitu
A – B = A + (–B)
dengan –B adalah lawan matriks B. Seperti halnya dengan penjumlahan matriks, syarat agar dua matriks atau lebih dapat dikurangkan adalah mempunyai ordo yang sama. Secara umum, jika A = [a ij ] dan B = [b ij ] maka A – B = [a ij ] – [b ij ] = [a ij –b ij ]
Contoh 1:
Diketahui A = ³
µ dan B = ³
µ . Tentukan A – B.
Jawab:
Cara 1 : 2 < 1 < 2 1
Karena –B = – ³
= maka diperoleh sebagai
berikut.
46 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
A – B = A + (–B) = ³
Cara 2 :
A –B= ³
Contoh 2:
Hitunglah X jika diketahui ³
3. Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks
Agar kalian dapat menemukan sendiri sifat-sifat penjum- lahan matriks, lakukan Aktivitas berikut.
Aktivitas
Tujuan
: Menemukan sifat-sifat penjumlahan
matriks
Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada penjumlahan matriks?
Kegiatan
: Kerjakan soal-soal berikut di buku tugas. 3 1
1. Diketahui matriks A = ³
, dan C = .
7 8 Tentukan hasil penjumlahan berikut, kemudian tentukan sifat apa yang berlaku.
2. Untuk matriks A = ³ dan 2 < 2 7 µ
µ , ordo A adalah 2 × 3 dan 0 0 0
ordo O adalah 2 ×
3, apakah A + O = O + A? Apakah A + O = O + A berlaku untuk semua matriks yang dapat dijumlahkan?
3. Diketahui matriks A = ³ .
4 µ 7 < Tentukan A + (–A) dan (–A) + A. Matriks
apakah yang kalian peroleh? Kesimpulan : Berdasarkan kegiatan di atas, sifat apa saja yang kalian peroleh?
Perhatian Berdasarkan Aktivitas di atas dapat ditemukan sifat-sifat
penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut.
Untuk pengurangan matriks
Jika A, B, dan C matriks-matriks yang berordo sama maka pada
tidak berlaku sifat komu-
penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut.
tatif, sifat asosiatif, dan tidak mempunyai unsur
a. A + B = B + A (sifat komutatif)
identitas.
b. (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)
c. Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga
A + O = O + A = A.
d. Invers penjumlahan A adalah –A sehingga A + (–A) = (–A) + A = O.
Mari Coba kalian buktikan sifat-sifat penjumlahan matriks di atas, Berdiskusi dengan memisalkan matriks A = [a ij ], B = [b ij ], C = [c ij ], dan O = [o ij ],
Inkuiri
a 11 a 12 .... a 1 n
a 21 a 22 .... a 2 n µ
untuk o
ij = 0. Ingat matriks A = ³
µ dapat
MM M µ
µ a m 1 a m 2 .... a mn
ditulis [a ij ];
i = 1, 2, 3 ... m j = 1, 2, 3 ... n
48 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
• Kerjakan di buku tugas
Soal Kompetensi 3
1. Diketahui matriks A = ³
2. Diketahui matriks P = ³
3. Tentukan lawan dari matriks-matriks berikut. < 2 < 5 8
4. Carilah nilai a, b, c, dan/atau d yang memenuhi persamaan berikut.
a. [ abc ] + [ < 567 ] = [ 32 < 1 ]
b. b ³ 5 µ + ³ µ = ³ < 3 µ
a 3 b 16 10 < 12 4
c. ³
5. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut. 5 < 1
6. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut. x
c a + 1 µ+ ³ 4 3 µ . Tentukan nilai
7. Diketahui ³ < 3 b µ+ ³ < b 3 µ = ³
8. Tabel berikut menunjukkan nilai ujian yang diperoleh Nia dan Doni untuk mata pelajaran Matematika, Sejarah, TIK, dan Bahasa Inggris.
50 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Ujian Ke-3 Mata Pelajaran
Ujian Ke-1
Ujian Ke-2
Nia Doni
Matematika 96 75 80 83 95 93 Sejarah
67 73 81 87 68 75 TIK
76 79 82 81 85 86 Bahasa Inggris
a. Misalkan matriks A menyatakan ujian ke-1, matriks B menyatakan ujian ke-2, dan matriks C menyatakan ujian ke-3. Nyatakan nilai-nilai tersebut dalam bentuk matriks.
b. Tentukan hasil A + B + C.
c. Untuk mata pelajaran apakah jumlah nilai Doni lebih tinggi dari nilai Nia?
9. Vina dan Adi belanja barang-barang keperluan sekolah di toko yang sama. Vina membeli 2 buku dan 3 pena dengan membayar Rp6.000,00. Adi membeli 4 buku dan 3 pena dengan membayar Rp9.000,00. Nyatakan jumlah barang- barang yang dibeli kedua anak tersebut dalam matriks. Nyatakan pula harga-harga barang itu dalam suatu matriks. Dapatkah matriks jumlah barang dan matriks harga-harga barang di atas dijumlahkan? Mengapa?
10. Berikut diberikan daftar harga barang kebutuhan pokok (per kg) dalam 4 hari di 3 toko yang berbeda dalam rupiah.
a. Nyatakan daftar harga barang kebutuhan pokok di atas dalam bentuk matriks.
b. Tentukan jumlah harga barang selama 4 hari berturut- turut.
c. Dari hasil b, harga barang apakah dan di toko manakah yang paling murah dan paling mahal?
Nama Minggu
Barang Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C