Penerapan Konsep Barisan dan Deret

D. Penerapan Konsep Barisan dan Deret

Kaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudah- kan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus dapat membedakan apakah per- soalan tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika ataupun deret geometri. Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku.

Contoh 1: Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji

Rp700.000,00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar Rp125.000,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya sampai pada tahun ke-9?

Barisan dan Deret 133

Jawab:

Kasus ini adalah aplikasi dari barisan aritmetika. Suku awal a = 700.000 Beda b = 125.000 n =9 Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut. U n = a + (n – 1)b

U 9 = 700.000 + (9 – 1) 125.000 = 700.000 + 1.000.000 = 1.700.000

Jadi, gaji per bulan karyawan itu pada tahun ke-9 adalah Rp1.700.000,00.

Contoh 2:

Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp50.000,00 di suatu bank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada tiap akhir bulan, bunganya ditambahkan pada tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada akhir tahun ke-1 jika ia tidak pernah mengambil tabungannya sampai akhir tahun ke-1?

Tantangan

Jawab:

Penalaran

Misalkan tabungan awal adalah Rp50.000,00.

• Kerjakan di buku tugas

Pada akhir bulan ke-1

Setiap tahun, jumlah pen-

Jumlah uang Nyoman adalah sebagai berikut.

duduk suatu kota bertambah

Bunga yang ia peroleh = 50.000 × 1% = 50.000 × 0,01

menjadi tiga kali lipat dari jumlah penduduk tahun

Jumlah uang Nyoman = 50.000 + (50.000 × 0,01)

sebelumnya. Menurut taksir-

an, jumlah penduduk pada

tahun 2009 penduduk kota

Pada akhir bulan ke-2

tersebut akan mencapai 3,2 juta jiwa. Berdasarkan infor-

Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah jumlah

masi ini, tentukan jumlah

uang pada akhir bulan ke-1 ditambah bunga sehingga diper-

penduduk pada tahun 1959.

oleh 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01)(1 + 0,01) = 50.000(1,01) 2 Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi 50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 0,01)

= 50.000(1,01) Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-2 adalah

134 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

Pada akhir bulan ke-3 Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah

= 50.000(1,01) 3 Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01)(1 + 0,01) = 50.000(1,01)(1,01) = 50.000(1,01) 2 Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi 50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 1%)

= 50.000(1,01) Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-3 adalah 50.000(1,01) + 50.000(1,01) 2 + 50.000(1,01) 3 Demikian seterusnya, sampai akhir bulan ke-12. Dari hasil perhitungan sampai bulan ke-3, dapat disimpulkan bahwa jumlah uang tabungan Nyoman adalah

50.000(1,01) + 50.000(1,01) 2 + 50.000(1,01) 3 + ... + 50.000(1,01) 12 = 50.000{1,01 + (1,01) 2 + (1,01) 3 + ... + (1,01) 12 } Deret 1,01 + (1,01) 2 + ... + (1,01) 12 merupakan deret geometri

dengan

a = 1,01, r = 1,01, dan n = 12.

0, 01 = 12,83 Oleh karena itu, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah 50.000 {1,01 + (1,01) 2 + ... + (1,01) 12 } = 50.000 × 12,83 = 641.500 Jadi, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah Rp641.500,00.

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 7

1. Suatu perusahaan memproduksi TV sebanyak 15.000 unit pada awal tahun pendiriannya. Ternyata, tiap tahun perusahaan tersebut dapat menambah produksinya sebesar 500 unit. Jika perusahaan tersebut didirikan tahun 1994, berapa unit TV-kah yang telah diproduksi perusahaan itu sampai akhir tahun 2008?

Barisan dan Deret 135

2. Selama 4 tahun berturut-turut jumlah penduduk di Kota

A membentuk deret aritmetika. Jumlah penduduk pada tahun ke-4 adalah 17 juta jiwa. Selisih penduduk pada tahun ke-2 dan ke-4 adalah 10 juta jiwa. Tentukan berapa jiwakah jumlah penduduk pada akhir tahun ke-3?

3. Seorang buruh pabrik mendapat gaji permulaan Rp500.000,00 per bulan. Tiap tahun ia mendapat kenaikan gaji Rp50.000,00. Tentukan jumlah pendapatannya setelah 10 tahun bekerja di pabrik tersebut.

4. Populasi serangga di suatu tempat pada tanggal 5 Februari 2008 adalah 100.000 ekor. Tiap 3 hari sekali bertambah 15% dari jumlah semula. Berapa banyak serangga tersebut pada tanggal 6 Maret 2009?

5. Tia mendapatkan hadiah dari orang tuanya setiap ulang tahun berupa tabungan di bank sebesar Rp100.000,00. Jika bank itu memberikan bunga majemuk sebesar 12% setiap tahunnya, berapakah uang Tia setelah ia berumur

25 tahun?

6. Harga suatu mesin pada saat pembelian adalah 10.000.000,00. Setiap tahun menyusut 15% terhadap nilai awal permulaan tahun. Berapa harga mesin tersebut pada akhir tahun ke-8?

7. Suatu bola dilempar dari ketinggian 100 meter. Setiap menyentuh lantai, bola akan memantul kembali dengan

ketinggian

kali dari ketinggian sebelumnya. Berapa

jarak yang ditempuh bola sampai bola berhenti?

Gambar 3.3 Bola me-

8. Jumlah bangunan di sebuah kota tiap sepuluh tahun

mantul

menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan pada tahun 2020 nanti akan mencapai 2,8 juta bangunan. Tentukan jumlah bangunan kota tersebut pada saat perhitungan pertama yaitu tahun 1950.

9. Pada tanggal 1 Januari 2000, Robin menabung di bank Rp100.000,00 dengan suku bunga 12% per tahun. Demikian juga pada 1 Januari tahun-tahun berikutnya sampai 10 kali. Tentukan jumlah tabungan Robin pada tahun 2010.

10. Wenny mempunyai pita rambut yang panjangnya 20 m. Untuk meringkas penyimpanannya, ia melipat pita itu menjadi 2 bagian dan seterusnya sehingga panjang pita yang ia peroleh 15,625 cm. Berapa kali Wenny harus melipat pita tersebut?

136 Khaz Matematika SMA 3 Bhs