Bunga Majemuk
2. Bunga Majemuk
Kalian telah mengetahui perhitungan bunga yang didasarkan atas bunga tunggal. Sekarang kalian diajak untuk memahami bunga majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang
Barisan dan Deret 151
Tantangan
telah terjadi. Bunga semacam ini biasanya disebut bunga yang
dapat berbunga. Adapun perhitungannya dapat kalian pahami melalui perhitungan deret geometri.
Penalaran
• Kerjakan di buku tugas Misalkan diberikan harga
Misalkan modal sebesar M 0 dibungakan atas dasar bunga
suatu penanaman modal
majemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per
sebesar Rp25.000.000,00.
periode waktu. Besar modal pada periode ke-t (M t ) dapat dihitung
Dalam perhitungan, untuk
dengan cara berikut.
tahun pertama nilai pena- naman modal akan berku-
M 1 =M 0 +M 0 × i =M 0 (1 + i)
rang 15%, tahun kedua turun
M 2 =M 1 (1 + i) = [M 0 (1 + i)] (1 + i) = M (1 + i) 2
13,5%, tahun ketiga turun 12%, demikian seterusnya.
M 3 =M 2 (1 + i) = [M 0 (1 + i) 2 ](1 + i) = M
0 (1 + i) 3
Coba tentukan nilai sisa pe-
nanaman modal pada akhir
tahun ke-8 jika persentase
M =M (1 + i) = [M (1 + i) t dihitung terhadap nilai awal. +1 t t– 1 0 ](1 + i) = M (1 + i) t 0 Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Jika modal M 0 dibungakan atas dasar bunga majemuk dengan tingkat suku bunga i (dalam persen) per periode tertentu, besar modal pada periode ke-t (M t ) dapat ditentukan dengan rumus
M =M (1 + i) t t 0
Contoh 1:
Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp5.000.000,00 dan bank membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun?
Jawab:
Diketahui M 0 = Rp5.000.000,00, i = 3% = 0,03, dan t = 12
bulan. Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah M
= M 0 (1 + i)
M 12 = Rp5.000.000,00(1 + 0,03) 12 = Rp5.000.000,00(1,42576) = Rp7.128.800,00
Pada bunga majemuk, banyak periode bunga tidak harus tepat
1 bulan atau pun 1 tahun. Namun, periodenya juga dapat dalam kurun waktu tertentu, misalnya 2 bulan, 3 bulan, atau 4 bulan. Perhatikan contoh berikut.
152 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Contoh 2:
Ramli meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00. Bank tersebut memberikan bunga atas dasar bunga majemuk 20% per tahun dengan periode pembungaan setiap catur wulan. Jika Ramli meminjam uang dalam jangka waktu 3 tahun, tentukan jumlah uang yang harus dikembalikan pada akhir
Tugas: Inovatif
tahun ke-3.
• Kerjakan di buku tugas
Jawab:
Diketahui M 0 = Rp2.000.000,00 dan i = 20% = 0,2.
Berdasarkan rumus menen-
Pembungaan dilakukan setiap catur wulan (4 bulan).
tukan besar modal pada periode ke-t (M t ), yaitu
12 M t =M 0 (1 + i)t, coba turun-
Jadi, banyak periode pembungaannya dalam setahun ada 4 kan rumus untuk menentu-
kan besarnya nilai bunga
= 3 kali. Jadi, jika lama peminjaman 3 tahun, banyak periode
majemuk setelah t periode.
pembungaannya 3 × 3 = 9 kali. Dengan demikian, jumlah modal (uang) yang harus dikembalikan Ramli pada akhir tahun ke-3 adalah M
= M 0 (1 + i)
9 = Rp2.000.000,00(1 + 0,2) = Rp2.000.000,00(5,159780)
= Rp10.319.560,00
Problem
Suatu modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan
Solving
aturan sistem bunga majemuk. Setelah 10 tahun, modal itu menjadi Rp7.500.000,00. Tentukan tingkat bunga per tahun dalam bentuk persen.
Jawab:
Dari soal di atas diketahui M 0 = Rp5.000.000,00, M 10 = Rp7.500.000,00, dan t = 10 tahun.
Tantangan
• Kerjakan di buku tugas
Setiap tahun, jumlah pen-
(1 + i) 10
duduk suatu kota bertambah
(1 + i) menjadi tiga kali lipat dari 10 = 1,5 jumlah penduduk tahun
1+i= (,) 15 10
sebelumnya. Menurut taksir-
an, jumlah penduduk pada
1 + i = 1,041
tahun 2009 penduduk kota
i = 1,041 – 1
tersebut akan mencapai 3,2
i = 0,041 = 4,1%
juta jiwa. Berdasarkan infor- masi ini, tentukan jumlah
Jadi, besarnya nilai tingkat bunga per tahun adalah 4,1%.
penduduk pada tahun 1959.
Barisan dan Deret 153
• Kerjakan di buku tugas
Soal Kompetensi 10
1. Tentukan nilai modal untuk setiap soal berikut.
a. Modal awal Rp2.000.000,00; tingkat bunga majemuk 4% per tahun untuk masa 3 tahun.
b. Modal awal Rp2.500.000,00, tingkat bunga majemuk 5% per tahun untuk masa 4 tahun.
c. Modal awal Rp4.000.000,00, tingkat bunga majemuk 6% per tahun untuk masa 4 tahun.
d. Modal awal Rp10.000.000,00, tingkat bunga majemuk 7% per tahun untuk masa 3 tahun.
2. Uang sebesar Rp1.000.000,00 didepositokan atas dasar sistem bunga majemuk. Hitunglah besarnya nilai uang pada permulaan tahun keempat jika diketahui tingkat bunga
a. 2% per tahun;
b. 3% per tahun;
c. 15% per tahun;
d. 20% per tahun;
e. 30% per tahun.
3. Widi mendepositokan uang Rp4.000.000,00 di Bank Cahaya dengan tingkat bunga 8% per tahun. Tentukan nilai akhir deposito Widi untuk masa
a. 4 tahun;
b. 5 tahun;
c. 6 tahun;
Tantangan
d. 8 tahun;
Kreativitas
e. 10 tahun.
• Kerjakan di buku tugas
4. Tuan Iwan menyimpan uang di suatu bank yang
Modal sebesar
memberikan bunga majemuk dengan tingkat suku bunga
Rp5.000.000,00 dipinjam-
4,75% per tahun. Berapa jumlah uang Tuan Iwan pada
kan dengan sistem bunga
akhir tahun ke-5?
majemuk dan tingkat bunga 75% per tahun. Pengga-
5. Wayan meminjam uang Rp2.000.000,00 kepada seorang
bungan bunga dengan
peminjam dengan perjanjian bunga majemuk. Jika suku
modal dilakukan setiap
bunga yang diberikan Wayan 5,2% per tahun, tentukan
empat bulan. Modal itu dipinjamkan untuk masa 3
uang yang harus dikembalikan peminjam selama jangka
tahun.
peminjaman 8 tahun?
a. Tentukan banyak perio-
6. Raja meminjam uang di Bank Makmur sebesar
de bunganya. b. Tentukan nilai modal
Rp3.000.000,00. Bank tersebut memberikan bunga
untuk masa 3 tahun.
majemuk 3,5% per tahun dengan periode pembungaan
c. Tentukan nilai bunga
setiap semester. Jika Raja meminjam uang dalam jangka
majemuk untuk masa 3
waktu 2 tahun, tentukan jumlah uang yang harus
tahun.
dikembalikan pada akhir tahun ke-2.
154 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Tantangan
7. Modal sebesar Rp10.000.000,00 didepositokan dengan
tingkat bunga majemuk 5% per tahun. Dalam waktu berapa tahun nilai akhir deposito itu akan menjadi Rp11.576.250,00?
Kreativitas
• Kerjakan di buku tugas
8. Alan meminjam uang di Bank X sebesar M
0 rupiah dengan
Yaman mendepositokan
tingkat bunga majemuk 5% per bulan untuk masa 3 bulan.
uang Rp300.000,00 di suatu
bank dengan tingkat bunga
Rani meminjam uang (dalam jumlah sama dengan yang
majemuk 10% per tahun.
dipinjam Alan) di Bank Y dengan tingkat bunga majemuk i
Dalam waktu berapa tahun
(dalam persen) per bulan untuk masa 2 bulan. Jika jumlah
nilai deposito Yaman akan menjadi 3 kali lipat?
uang yang dikembalikan Alan ke Bank X sama dengan jumlah uang yang dikembalikan oleh Rani ke Bank Y, tentukan nilai i.