Perkalian Matriks
E. Perkalian Matriks
1. Pengertian Perkalian Matriks
Untuk memahami pengertian perkalian matriks, perhatikan ilustrasi berikut ini. Rina membeli bolpoin dan buku di dua tempat yang berbeda. Di toko I, ia membeli 3 bolpoin dan 2 buku, sedangkan di toko II, ia membeli 4 bolpoin dan 3 buku. Harga bolpoin dan buku di kedua toko tersebut sama, yaitu Rp2.500,00 dan Rp4.000,00 per buah. Berapa uang yang dikeluarkan Rina?
Untuk menghitung jumlah uang yang dibayar oleh Rina dapat langsung kita hitung dengan cara mengalikan banyaknya barang dengan harga masing-masing sebagai berikut.
Tempat
Bolpoin Buku
Barang Harga
Toko I
3 2 Bolpoin Rp2.500,00
Rp4.000,00 Toko I : (3 × Rp2.500,00) + (2 × Rp4.000,00) = Rp15.500,00
Toko II
4 3 Buku
Kuis
Toko II : (4 × Rp2.500,00) + (3 × Rp4.000,00) = Rp22.000,00
• Kerjakan di buku tugas
Di samping itu, pernyataan di atas dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut.
Jika diketahui m n 1 2 23
menyatakan banyak bolpoin dan buku yang dibeli
maka nilai m dan n masing-
Rina. Baris 1 menyatakan toko I dan baris 2 untuk toko II.
masing adalah .... a. 4 dan 6
b. 5 dan 4
menyatakan harga masing-masing bolpoin dan buku.
Daftar jumlah uang yang dikeluarkan Rina dapat dilihat pada tabel berikut.
UMPTN 1998
Tempat
Harga Pembelian
Toko I 3 × Rp2.500,00 + 2 × Rp4.000,00 = Rp15.500,00 Toko II 4 × Rp2.500,00 + 3 × Rp4.000,00 = Rp22.000,00
Tabel pengeluaran di atas bersesuaian dengan perkalian matriks P × Q, yaitu
3 2 2 . 500 3 × . 2 500 + 2 × P 4.000 × Q= =
56 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Dari uraian di atas, matriks P berordo 2 × 2 dan matriks Q berordo 2 ×
1, sedangkan P × Q berordo 2 × 1 sehingga bagan perkalian dan hasil kalinya mempunyai hubungan sebagai berikut.
ordo hasil kali
sama Secara umum, perkalian matriks didefinisikan sebagai berikut.
Misalkan A matriks berordo m × p dan B matriks berordo p × n maka A ×
B adalah suatu matriks C = [c ij ] berordo m × n yang elemen-elemennya pada baris ke-i, yaitu kolom ke-j (c ij ) diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ke-i matriks A dan kolom ke-j matriks B.
Contoh:
Diketahui matriks A = ³ µ ,B= [ < 32 ] ,C=
µ 3 < 2 Bagaimana hasil perkalian dari B × A?
a. A × B= ³ µ< [ 32 ] =
b. B × C= [ < 32 ] ³
Bagaimana hasil perkalian dari C × B?
c. C × D 2 3 4 < 5 < 1
Matriks 57
d. A × C= ³ µ ³
µ tidak dapat dikalikan karena <1 < 1 4
banyak kolom matriks A tidak sama dengan banyak baris matriks C.
2. Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dari Kanan
Syarat dua matriks dapat dikalikan adalah jika banyak kolom matriks kiri sama dengan banyak baris matriks kanan. Jika perkalian A × B ada (dapat dikalikan) maka dikatakan bahwa
a. matriks B dikali dari kiri oleh matriks A;
b. matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.
Contoh:
Diketahui matriks A = ³
1 3 µ dan B = ³ µ .
Tentukan hasil perkalian
a. matriks A dikali dari kiri oleh matriks B;
b. matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.
Jawab:
a. Matriks A dikalikan dari kiri oleh matriks B, berarti 2 3 4 < 2 11 5
B × A= ³
b. Matriks A dikalikan dari kanan oleh matriks B, berarti
A B= ³
µ 4 <2 14 <3 Tampak dari hasil di atas bahwa A × B & B ×
A, artinya perkalian matriks tidak bersifat komutatif.
3. Sifat-Sifat Perkalian Matriks
Misalkan matriks A, B, dan C dapat dikalikan atau dijumlahkan. Untuk memahami sifat-sifat perkalian matriks, lakukan Aktivitas berikut.
Aktivitas
Tujuan
: Menemukan sifat-sifat perkalian matriks. Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada perkalian matriks?
58 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Kuis
Kegiatan
: Kerjakan (selidiki) soal berikut di buku tugas.
• Kerjakan di buku tugas
1 2 Diketahui matriks A =
Diketahui matriks A =
x 1 32 ³ 1 µ < ;B= y ³ 1 0 µ ;
µ , dan C = ³ µ . Jika k = 2,
tentukan hasil perhitungan berikut.
Nilai x + y yang memenuhi
a. A ×
B dan B ×
A. Apakah A × B=B × A?
persamaan AB – 2B = C
Apa kesimpulanmu?
adalah .... a. 0
Apakah hasilnya sama? Apa kesim-
e. 10 UMPTN 1998
(A ×
C) + (A × B). Bagaimana hubungan ketiga operasi perkalian matriks tersebut?
d. A ×
I dan I ×
A dengan I matriks
identitas.
Kuis Hubungan apa yang terbentuk?
e. A × O dan O ×
A dengan O matriks nol
• Kerjakan di buku tugas
ordo 2 × 2.
Jika diketahui
Apakah A × O=O ×
A = O?
f. (kA) ×
B dan k(A × B). Apakah (kA) × B
= k(A × B)?
Kesimpulan : Sifat-sifat apakah yang kalian temukan dari
³ < 2 4 µ+< 11 µ maka ³
kegiatan di atas?
nilai x adalah .... a. 0
Berdasarkan Aktivitas di atas ditentukan sifat-sifat perkalian
b. 10
matriks sebagai berikut.
c. 13 d. 14
Jika k bilangan real (skalar); A, B, dan C matriks yang dapat
e. 25
dikalikan; serta B dan C dapat dijumlahkan maka berlaku
UMPTN 1998
sifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut.
a. Tidak komutatif , yaitu A × B & B × A.
b. Asosiatif, yaitu (A × B) × C=A × (B × C).
c. Distributif , yaitu:
1) distributif kiri: A × (B + C) = (A ×
B) + (A × C);
2) distributif kanan: (A + B) ×
C = (A ×
C) + (B × C).
d. Perkalian matriks-matriks persegi dengan matriks
identitas I, yaitu A × I =I ×
A = A (ordo I sama dengan
ordo matriks A).
e. Perkalian dengan matriks O, yaitu A × O=O ×
A = O.
f. Perkalian dengan skalar, yaitu (k A) ×
B = k(A × B).
Matriks 59
Aktivitas
Tujuan
: Menentukan hasil perkalian matriks dengan bantuan software komputer. Permasalahan : Bagaimana cara menentukan hasil perkalian matriks dengan menggunakan software komputer?
Kegiatan
: Kita akan menentukan matriks invers dengan Microsoft Excel. Fungsi yang digunakan adalah MMULT. Misalnya, akan ditentukan hasil perkalian matriks
Untuk itu lakukan langkah-langkah berikut.
1. Masukkan elemen-elemen matriks pada sel-sel Microsoft Excel.
Tantangan
Eksplorasi • Kerjakan di buku tugas
Misalkan diberikan matriks 1 < 1 1
³ A = < 3 2 < 1 ³ µ µ dan ³ < 2 1 0 µ
2. Tentukan hasil kali matriks A dengan
B . Caranya adalah sebagai berikut.
Blok sel-sel yang akan ditempati
elemen-elemen matriks hasil kali dari
Tunjukkan bahwa hasil
matriks A dan B. Ketik “ = MMULT(”,
perkalian AB adalah matriks
kemudian sorot sel-sel yang mengan-
nol.
dung matriks A tadi. Kemudian, ketik “;”. Sorot sel-sel yang mengandung elemen-elemen matriks B diikuti dengan mengetik “)”. Tekan CTRL + SHIFT + ENTER maka matriks hasil kali dari A dan B akan muncul.
Kesimpulan : Jika kalian melakukan langkah-langkah yang diinstruksikan dengan benar, kalian akan memperoleh hasil berikut.
60 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
4. Perpangkatan Matriks Persegi
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks
persegi, maka A n =A × A × A × ... ×
A (sebanyak n faktor) atau dapat juga dituliskan A n =A × A n –1 atau A n =A n– 1 × A .
Contoh:
Diketahui matriks A = ³
Tantangan
• Kerjakan di buku tugas
Selidiki, manakah pernyata- an berikut yang benar. Misalkan A dan B matriks
a. AB = BAB b. A 2 –B 2 = (A + B)(A – B)
2 2 Dengan cara lain, yaitu A 3 =A 4 2 × c. (A A, diperoleh ) =A
A 3 =A 2 × A= 3 < 1 < 2 11 < 30 ³
Ternyata, A 2 × A =A × A 2 =A 3 .
Tugas: Observasi
• Kerjakan di buku tugas
Dari soal pada contoh di
atas, coba selidiki, apakah
• Kerjakan di buku tugas
Soal Kompetensi 5
1. Hitunglah perkalian matriks-matriks berikut.
a. [ 1 < 2 4 ] ³ < 6 µ ³ µ
b. ³ b. ³
2. Diketahui matriks A = ³
dan I matriks identitas.
Tentukan
Tantangan
c. A × A • Kerjakan di buku tugas T ;
3. Diketahui matriks U =
,V=
³ µ , dan
Diberikan A =
dengan i = <1 . Tunjukkan
untuk I = ³ µ . 0 1
c. (U × V) T × W;
f. W × U × V T .
4. Tentukan nilai dari a dan b yang memenuhi persamaan matriks berikut.
a < 2 < 3 < 14
a. ³
3 a < 2 6 16
b. ³
µ ³ µ = ³ µ b 4 a <8
2 a + 1 a < 2 < 4
c. ³
3 b < 3 a 3 ³ µ 20
2 < 1 a 16
d. ³
< 4 2 µ ³ b µ = ³ <9 µ
< 2 4 a 16
e. ³
b <9
2 a 1 a b 13 < 4
f. ³
62 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Kuis
5. Misalkan A dan B matriks-matriks yang dapat dikalikan serta
A dan C juga dapat dikalikan. Apakah berlaku jika A ×B=
• Kerjakan di buku tugas
A × C maka B = C? Tunjukkan dengan contoh dan berikan
Nilai p yang memenuhi
alasanmu.
persamaan matriks a b 5 < 2 2 13
6. Jika diketahui
, tentukan nilai
7. Jika titik A merupakan perpotongan dua garis yang disajikan
oleh persamaan matriks ³
, tentukan
c. 0
koordinat titik A.
d. 1
8. Jika titik B merupakan perpotongan dua garis yang disajikan
e. 2 1 < SPMB 2004 2 x 4
oleh persamaan matriks ³
3 2 µ ³ y µ= ³ 8 µ dan garis k (k dan l) adalah garis yang melalui titik B dan titik asal O,
tentukan persamaan garis k yang melalui C(–2, 3) dan sejajar garis l.
9. Diketahui matriks P = 1 3 0
µ dan Q =
³ 0 < 1 4 µ Tentukan hasil perkalian matriks berikut.
10. Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
2x + 3y + z = 6 4x – 3y + z = 2 x – y – z = –1 Susunlah sistem persamaan itu dalam bentuk persamaan matriks. (Ingat aturan perkalian matriks)