Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Kalian tentu tahu bahwa untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya eliminasi, substitusi, gabungan antara eliminasi dan substitusi, operasi baris elementer, serta menggunakan invers matriks. Kalian dapat menggunakan cara-cara tersebut dengan bebas yang menurut kalian paling efisien dan paling mudah.

Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti berikut.

Misalkan A =

2 µ ,X= ³ µ , dan B = d ³ 2 µ .

³ – d 3 ˜ µ Bentuk di atas dapat kita tuliskan sebagai AX = B.

Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A –1

B. Dalam

hal ini, A –1

adj(A).

det A Oleh karena itu, diperoleh

asalkan det A & 0.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

berikut. 2x + y – z = 1 x +y+z=6 x – 2y + z = 0

Matriks 81

Jawab:

Cara 1 : Operasi elemen baris, selain dapat digunakan untuk mencari invers matriks, dapat pula digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dengan menggunakan operasi baris elementer. 2x + y – z = 1

x+y+z =6

x+y+z =6

B 2 – 2B 1

x+y+z =6B 1 CB 2 2x + y – z = 1 ~ 0 – y – 3z = –11 x – 2y + z = 0 ~ x – 2y + z = 0 B 3 –B 1 0 – 3y + 0 = –6

{ y =2

–B 2 x+y+z =6

– 1 3 B y 3 + 3z = 11

Dengan demikian, diperoleh y = 2. Kita substitusikan nilai y = 2 ke persamaan (2) sehingga y + 3z = 11 ‹ 2 + 3z = 11

‹ 3z = 11 – 2 ‹ 3z = 9 ‹ z =3

Substitusikan y = 2 dan z = 3 ke persamaan (1) sehingga diperoleh x+y+z =6 ‹ x +2+3=6

‹ x +5=6 ‹ x =6–5 ‹ x =1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}.

Cara 2: Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk

matriks sebagai berikut.

Misalkan A =

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh

K 11 = (–1) M 11 = = 1 – (–2) = 3

1 K = (–1) 1+2

12 M 12 =

82 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

K 23 = (–1) 2+3 M 23 =–

Dengan cara yang sama, kalian akan memperoleh K 31 = 2, K 32 = –3, dan K 33 = 1 (coba tunjukkan).

Dengan demikian, diperoleh

• K 11 K 12 K 13 —

µ kof(A) = ³ 21 22 23 = 1 3 µ 5 ³ µ ³ – K 31 K 32 K 33 µ ˜

Oleh karena itu, adj(A) = (kof(A)) T .

Adj(A) = ³ 1 3 5 µ = ³

Jadi, X =

adj(A)B

det A

– ³ 27 ˜ µ ³ – 3 µ ˜ Jadi, diperoleh x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian,

himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah {(1, 2, 3)}.

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 7 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut.

a. 2x – y = 3

c. 6x + 2y = –1

2x + y = 1

2x – 4y = –7

b. –x + 2y = 4

d. 2x – 3y = 7

4x + 3y = 17

3x – 6y = 10

Matriks 83

Kuis

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan line- ar berikut.

• Kerjakan di buku tugas

a. x +y+z=2

c. –2x + y – 2z = –1

Jika x : y = 5 : 4 maka x dan y

x – 2y + z = 1

9x + z = 2

yang memenuhi persamaan

2x + y – 2z = –1

2x – 2y = –2

matriks ABC = [1.360],

d. 4x – y + 4z = 8 untuk A = [ 2 10 1 ] , B =

3. Dengan memisalkan bentuk variabel yang sesuai, tentukan

himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut

adalah ....

dengan metode matriks.

4 a. x = 1; y =

a. < = < 1 b. < = < 3

4 b. x = ;y=1

5 c. x = 5; y = 4

d. x = –10; y = –8

e. x = 10; y = 8

UMPTN 1994

4. Jumlah dua bilangan sama dengan 105. Selisih kedua bilangan itu 15. Buatlah sistem persamaannya, kemudian dengan cara matriks tentukan bilangan-bilangan tersebut.

5. Jika harga 5 buah buku tulis dan sebuah pensil Rp7.000,00 dan harga 4 buah buku tulis dan 3 buah pensil adalah Rp7.250,00. Tentukan harga 2 buah buku tulis dan 4 buah pensil.

6. Diketahui dua buah bilangan. Jumlah dua kali bilangan pertama dengan tiga kali bilangan kedua sama dengan 41. Empat kali bilangan pertama dikurangi tiga kali bilangan kedua sama dengan 19. Susunlah kasus di atas dalam sistem persamaan linear. Kemudian, dengan cara matriks, carilah bilangan-bilangan itu.

7. Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang, yaitu X dan Y . Jumlah penerimaan dari 150 unit barang X dan 100 unit barang Y sebesar Rp450.000,00. Jumlah penerimaan dari 150 unit barang X dan 75 unit barang Y sebesar Rp406.250,00. Nyatakan kasus di atas dalam sistem persamaan linear. Kemudian, dengan cara matriks, tentukan besar penerimaan 200 unit barang X dan 150 unit barang Y.

8. Dalam suatu gedung bioskop terdapat 200 orang penonton. Harga tiap lembar karcis adalah Rp15.000,00 dan Rp20.000,00. Hasil penjualan karcis seluruhnya adalah

84 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

Rp3.475.000,00. Berapakah banyak karcis harga Rp15.000,00 dan harga Rp20.000,00 yang terjual? Selesaikan dengan cara matriks.

9. Perbandingan umur Titi dan Dewi 8 tahun yang lalu adalah

4 : 7. Perbandingan umur mereka 6 tahun yang akan datang adalah 6 : 7. Dengan cara matriks, tentukan perbandingan umur Titi dan Dewi sekarang.

10. Pak Rudi dan Pak Maman berjualan jenis barang yang sama. Modal Pak Rudi Rp4.000.000,00 lebih banyak dari modal Pak Maman. Jika keuntungan yang di dapat Pak Rudi 15%, sedangkan keuntungan Pak Maman 30% maka uang mereka menjadi sama banyak. Hitunglah modal Pak Rudi dan Pak Maman masing-masing.