Notasi Sigma
E. Notasi Sigma
Salah satu ciri matematika adalah digunakannya lambang untuk mengungkapkan suatu pernyataan secara singkat, jelas, dan konsisten yang jika diungkapkan dengan kalimat biasa cukup
panjang. Salah satu lambang yang penting adalah ” - ” (dibaca: sigma). Lambang ini digunakan untuk menuliskan penjumlahan secara singkat.
1. Pengertian Notasi Sigma
Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini.
Jika semua suku-sukunya ditulis, cara penulisan penjumlahan tersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika banyak bilangan yang dijumlahkan makin besar. Dengan menggunakan notasi sigma,
penulisan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 dipersingkat men-jadi - k
(dibaca: sigma k mulai dari k = 1 sampai dengan k = 50). Atau, boleh dibaca sigma k, untuk k = 1 hingga 50.
Huruf k digunakan sebagai variabel suku yang akan bergerak mulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai 50. Bilangan 1 disebut batas bawah dan 50 disebut batas atas penjumlahan.
Secara umum, notasi sigma dinyatakan sebagai berikut.
U k =U +U + ... + U
Keterangan :1 = batas bawah n = batas atas k = indeks U k = suku ke-k
Batas bawah tidak harus bernilai 1. Jika batas bawah penjum- lahan 1 dan batas atasnya n maka penjumlahan terdiri atas n suku, sedangkan jika batas bawahnya r dan batas atasnya n maka
penjumlahan terdiri dari (n – r + 1) suku.
Contoh 1:
Nyatakan dalam bentuk penjumlahan
kk ( + 1) - .
Barisan dan Deret 137
Contoh 2:
Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma.
4 4 k + (–1) k = - ( < 1 ) .
c. ab 5 +a 2 b 4 +a 3 b 3 +a 4 b 2 =a 1 b 6–1 +a 2 b 6–2 +a 3 b 6–3 +a 4 b 6–4
2. Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma
Nilai penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigma dapat dicari, antara lain dengan terlebih dahulu menyatakan ke dalam bentuk lengkapnya, kemudian dijumlahkan. Perhatikan contoh-contoh berikut ini.
Contoh:
Tentukan nilai-nilai notasi sigma berikut.
a. 2
b. 2 n
138 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Jawab:
a. - p = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 10
3. Sifat-Sifat Notasi Sigma
Untuk mempermudah perhitungan yang berhubungan dengan notasi sigma, dapat digunakan sifat-sifat yang berlaku pada notasi sigma. Sifat apakah yang berlaku pada notasi sigma? Lakukan Aktivitas berikut.
Aktivitas
Tujuan
: Menemukan sifat-sifat yang berlaku pada
notasi sigma.
Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada notasi
sigma?
Kegiatan
: Kerjakan soal-soal berikut.
1. Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan biasa.
a. - U k k
b. - U i
c. Bandingkan hasil antara a dan b. Apa kesimpulanmu?
2. Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi sigma berikut.
a. Apakah - 5 k = 3 hasilnya sama
dengan (7 – 3 + 1) × 5?
b. - 3 k
Barisan dan Deret 139
c. 3 - k
d. Bandingkan hasil antara c dan d. Apa kesimpulanmu? Kesimpulan : Sifat-sifat apakah yang kalian temukan?
Dari Aktivitas di atas diperoleh sifat-sifat berikut.
a. U k = U i k - = p i - = p
b. - c = (q – p + 1)c, c = konstanta, c D R
kp = q
c. - cU k = c U k
Sifat-sifat lain yang berlaku pada notasi sigma adalah sebagai berikut.
Untuk U k dan V k adalah rumus umum suku ke-k dan p, q D B, berlaku
d. - ( U k ± V k ) = - U k ± k
e. - U k + - U k = - U kp k = kn =+ 1 kp =
qa +
f. 1) - U k = - U ka <
k =+ pa
qa <
k = - U pa <
2) - U k = ka +
g. - U k = U p
h. k - ( U k ± V k ) = - U k ± 2 U k V k + V k
Bukti : Pada kali ini, akan dibuktikan sifat b dan e saja.
140 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Tugas: Eksplorasi
Sifat b :
• Kerjakan di buku tugas q
c c - + = 1 444 c + c 2 + c 444 + ... + 3 c
(– qp + ) 1 suku
Coba kalian buktikan kebe-
= (q – p +1)c ... (terbukti)
naran sifat-sifat notasi sigma di atas selain sifat b dan e.
Sifat e :
U k + - U k = (U
p k +U = p kn =+ 1 p +1 + ... + U n ) + (U n +1 +U n +2 + ... +
=U p +U p + 1 + ... + U n +U n +1 + ... + U q
= - U k ......................................... (terbukti)
Sekarang, mari kita gunakan sifat-sifat di atas untuk menyelesaikan permasalahan notasi sigma, seperti contoh-contoh berikut.
Contoh 1:
Hitunglah nilai dari - ( k < 4 k ) .
Jawab:
Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Cara 1:
( k < 4 k ) = (1 - 2 – 4(1)) + (2 2 – 4(2)) + (3 2 – 4(3)) +
Cara 2:
Barisan dan Deret 141
Contoh 2: Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa
(2 k 4 ) 2 - 2 < = 4 - k < 1 6 k + 16 n.
Jawab:
(2 n 4 ) 2 - 2 k <
= (4 k < 16 k + 16 )
k = 1 - 16 k + 1 6 k 1 = 1 k - = 1
= 4 - k < 1 6 - k + 16 n ............……. (terbukti)
Contoh 3: Ubahlah batas bawah sigma menjadi 1 dari notasi sigma
berikut.
a. - ( k + 1)
b. - ( 3 < 2 k )
Jawab:
a. - ( k + 1 ) = - ( k + 2) + 1 = - ( k + 3) k
= 3 k = 3 < 2 k = 1 4 41 +
b. - ( 3 < 2 k ) = - ( 3 < 2 ( k < 1))
k = 0 k =+ 01
= - ( 32 < k + 2) = - ( 52 < k )
Contoh 4:
Ubahlah batas bawah sigma menjadi 4 dari notasi sigma berikut.
a. -
b. 2 - ( k + 1)
142 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Jawab:
a. =
k - = < 2 2 k < 1 k = - < 2 + 6 2( k < 6) < 1
10 k < 6
k - = 4 2 k < 13
b. - ( k + 1) =
( k + 2) + 1
= - ( k 2 + 4 k + 5)
4. Menyatakan Suatu Deret dalam Notasi Sigma
Notasi sigma dapat mempermudah kita dalam menuliskan jumlah bilangan-bilangan yang terpola, misalnya 2 + 4 + 6 + 8 + .... Seperti kalian ketahui, deret aritmetika dan deret geometri merupakan deret dengan suku-sukunya terpola tetap. Deret-deret seperti ini dapat kita sajikan dalam notasi sigma. Agar lebih paham, perhatikan contoh berikut.
Contoh: Suatu deret dinyatakan dengan notasi sigma berikut.
a. n - ( 2 n + 1) b. 2 n = 1 - n = 1
Deret apakah itu? Kemudian, tentukan nilainya.
Jawab:
a. - ( 2 n + 1) = (2(1) + 1) + (2(2) + 1) + (2(3) + 1) + ... +
Tampak bahwa deret itu memiliki suku-suku yang selisihnya tetap, yaitu 2. Jadi, deret itu adalah deret
aritmetika dengan suku awal a = 3, beda b = 2, dan U 10 = 21.
Nilai - ( 2 n + 1) sama dengan nilai jumlah n suku
pertama, S 10 . Dengan menggunakan jumlah 10 suku pertama yang kalian ketahui, diperoleh
Barisan dan Deret 143
Jadi, - ( 2 n + 1) = 120.
b. 2 =2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +2 5 +2 6
= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 Tampak bahwa deret itu memiliki rasio tetap, yaitu r = 2. Jadi, deret ini termasuk deret geometri dengan suku awal
. Karena r = 2 > 1, kita gunakan rumus berikut.
a = 2 dan rasio r = 2. Oleh karena itu - 2 =S
Jadi, - 2 = 126.
• Kerjakan di buku tugas
Soal Kompetensi 8 1. Tulislah notasi sigma berikut dalam bentuk lengkap atau penjumlahan biasa.
a. - j j
d. -
b. 2 e. ( < 1 ) x y
f. ( n ) < < n k = 1 k
c. - (3 + )
2. Nyatakan penjumlahan berikut dalam bentuk sigma.
a. 3 + 4 + 5 + ... + 100
b. 3 + 6 + 9 + ... + 24
c. 1 × 3+3 × 5+5 × 7+7 × 9+9 ×
d. xy 2 +x 2 y 3 +x 3 y 4 +x 4 y 5 +x 5 y 6 +x 6 y 7
144 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Tantangan
3. Hitunglah hasil penjumlahan berikut (jika perlu gunakan
sifat notasi sigma).
Penalaran
• Kerjakan di buku tugas 10
a. - 8
Tentukan nilai notasi sigma
berikut. Adakah yang ter-
masuk deret konvergen?
5 b. - k = 1
( 2 k < 1)
- 3 n < 2 a. 2 ( k ) = 1
b. - ( 2 i 2 + i < 4 ) 2 c. i - 1 i = 1
n - = 4 d. - ( ) ( 2 ) k
e. - ( 2 i + 3) ( 2 i + 1)
5 (3 n + 2)(2 n + 3)
f.
n - = 1 ( n + 1)
4. Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma, buktikan pernyataan berikut.
a.
k - (2 k < 1) = 4 - k < 4 = 1 k = 1 k - k + n = 1
k = 6 k = 1 - k 375 k = 1
b. - 3 k = 3 - k + 3 0 +
c. - + 4) = - k 2 + 8 k + 20( n < 4)
5. Jika diketahui - x i = 25 dan - y i = 50 , hitunglah nilai-
nilai sigma berikut.
a. - ( x i + 4)
i = 1 10
b. - (3 y i < 1)
i = 1 10
c. - (2 x i < 4 y i + 5)
i = 1 10
d. - (7 y i < 4 x i )
Barisan dan Deret 145
6. Ubahlah notasi sigma berikut ke dalam batas bawah b yang
ditentukan.
10 n + 3
a. -
;b=2
b. - 2 ( k + 5 ) ;b=1
c. b=3
d. - ² p + ;b=5
e. - ( i < 2 i + 5) ;b=2
7. Tentukan nilai notasi sigma berikut.
a. - | k < 5 |
b. 2
c. | k < 4 k < 10 |
8. Diketahui - U n = p, tentukan nilai notasi sigma berikut.
a. - ( 2 U n + 4 )
b. - ( 3 U n < 2 )