Barisan dan Deret

A. Barisan dan Deret

Kalian tentu pernah berpikir tentang nomor rumah di sisi kiri jalan yang bernomor ganjil 1, 3, 5, 7, dan seterusnya, sedangkan nomor rumah di sisi kanan jalan bernomor genap 2,

4, 6, 8, dan seterusnya. Mungkin juga kalian pernah berpikir dari mana para pakar menyatakan bahwa 10 tahun ke depan penduduk Indonesia akan menjadi x juta jiwa.

Dua contoh di atas berkaitan dengan barisan dan deret dari suatu bilangan.

1. Barisan Bilangan

Misalkan seorang anak diberi uang saku orang tuanya setiap minggu Rp10.000,00. Jika setiap minggu uang sakunya bertambah Rp500,00 maka dapat dituliskan uang saku dari minggu ke minggu berikutnya adalah Rp10.000,00, Rp10.500,00, Rp11.000,00, Rp11.500,00, ....

Susunan bilangan-bilangan yang sesuai dengan contoh di atas adalah

104 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

Perhatikan bahwa dari bilangan-bilangan yang disusun berbentuk 10.000, 10.500, 11.000, 11.500, ... mempunyai keteraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya, yaitu bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah 500. Bilangan-bilangan yang disusun urut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan .

Secara matematis, barisan bilangan merupakan nilai fungsi dengan daerah definisinya adalah bilangan asli. Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku-sukunya

maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U 1 , bilangan kedua ditulis U (2) atau U 2 , dan seterusnya. Jika kita buat korespondensi, akan

terlihat seperti berikut.

U 1 U 2 U 3 U 4 ...

Jadi, bentuk umum barisan bilangan adalah U 1 ,U 2 ,U 3 , ..., U n , ... Dalam hal ini, U n = f(n) disebut rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan.

Contoh 1:

Diketahui barisan bilangan dengan suku ke-n berbentuk U n = n 2 – 2n. Tuliskan 5 suku pertama dari barisan tersebut.

Jawab:

Rumus suku ke-n adalah U n =n 2 – 2n. Suku pertama dapat dicari dengan menyubstitusikan n = 1 dan diperoleh U 1 =1 2 – 2(1) = –1. Suku kedua dicari dengan menyubstitusikan n = 2 dan diperoleh U 2 =2 2 – 2(2) = 0. Dengan cara yang sama, diperoleh sebagai berikut.

Suku ketiga = U 3 =3 2 – 2(3) = 3. Suku keempat = U 4 =4 2 – 2(4) = 8. Suku kelima = U 5 =5 2 – 2(5) = 15.

Jadi, lima suku pertama dari barisan itu adalah –1, 0, 3, 8, 15. Misalkan diberikan suatu barisan bilangan dengan suku

ke-n dari barisan bilangan tersebut tidak diketahui. Dapatkah kita menentukan rumus suku ke-n? Hal ini tidak selalu dapat ditentukan, tetapi pada beberapa barisan kita dapat melakukannya dengan memperhatikan pola suku-suku barisan tersebut.

Barisan dan Deret 105

Contoh 2:

Diketahui barisan bilangan 4, 7, 12, 19, ....

a. Tentukan rumus suku ke-n.

b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 199?

Jawab:

Barisan bilangan: 4, 7, 12, 19, ...

a. Suku ke-1 = U 1 =4=1 2 +3 Suku ke-2 = U 2 =7=2 2 +3

Suku ke-3 = U 3 = 12 = 3 2 +3 Suku ke-4 = U 4 = 19 = 4 2 +3

M M Suku ke-n = U

2 n =n +3

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah U n =n 2 + 3.

b. Diketahui suku ke-n = 199, berarti

U n = 199 ‹ n 2 + 3 = 199 ‹ n 2 = 196

Karena n 2 = 196 maka n 1 = 14 atau n 2 = –14 (dipilih nilai

n positif). Mengapa tidak dipilih n = –14? Jadi, suku yang nilainya 199 adalah suku ke-14.

2. Deret Bilangan

Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U 1 ,U 2 ,U 3 , ..., U n dan S n adalah jumlah dari suku-suku barisan itu. S n =U 1 +U 2

+U 3 + ... + U n disebut deret. Jadi, deret adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan.

Mari Apakah deret suatu bilangan dapat disebut suatu barisan? Berdiskusi Apa perbedaan barisan dengan deret? Jika pola suku dari

deret suatu bilangan diketahui, dapatkan rumus sukunya

Berpikir Kritis

diketahui?

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 1

1. Tuliskan lima suku pertama dari barisan bilangan berikut.

a. U n = 4n – 5

d. U = (– 1) n n + 2n

b. U n =2–n 2 e. U n = 2 + n 5

c. U n = (–1) n

f. U n = n +4

106 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

2. Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah U n =

3n 2 – 2.

a. Tentukan empat suku pertama barisan tersebut.

b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 430?

3. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut, kemudian tentukan suku ke-20 dan suku ke-30.

4. Diketahui suku ke-n dari suatu barisan bilangan adalah U n = an + b . Jika U 3 = 18 dan U 5 = 28, tentukan U 20 .

5. Diketahui rumus suku ke-n barisan bilangan adalah U n = an 2 + b, U 2 +U 4 = 50, dan U 10 –U 5 = 150. Tentukan

e. jumlah 10 suku pertama;

c. U n +1 –U n ;

f. jumlah 15 suku pertama.

6. Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah U n = 2n 2 – 4n + 3.

a. Tentukan lima suku pertama dari barisan tersebut.

b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 393?

c. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 1.923?

7. Diketahui rumus suku ke-n barisan bilangan adalah U n = an 2 + b. Jika U 2 = 23 dan U 4 = 47, tentukan

a. U n ;

d. jumlah 4 suku pertama;

8. Diketahui rumus suku ke-(n + 1) dari suatu barisan bilangan adalah U n +1 = an + b. Jika U 4 = 11 dan U 2 +U 7 = 27, tentukan

a. rumus U n +1 ;

b. rumus U n ;

c. rumus U n –1 ;

d. jumlah 5 suku pertama;

e. U 10 +U 15 .

Barisan dan Deret 107

9. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut, kemudian tentukan suku ke-10 dan ke-12.

10. Diketahui U n –1 = an 3 + b. Jika U 2 = 50 dan U 3 –U 1 = 112

maka tentukan

a. nilai a dan b;

b. rumus U n –1 ;

c. rumus U n ;

d. rumus U n +1 ;

e. U 4 dan U 5 .