Deret Geometri

2. Deret Geometri

Jika U 1 ,U 2 ,U 3 , ... U n merupakan barisan geometri maka

U 1 +U 2 +U 3 + ... + U n adalah deret geometri dengan U n = ar n –1 .

Kuis

Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari

deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut. Misalkan S n notasi dari jumlah n suku pertama.

• Kerjakan di buku tugas

Ada barisan bilangan 4, x, y, z

S n =U 1 +U 2 + ... + U n

diketahui tiga suku pertama

n = a + ar + ... + ar + ar .............................................. (1)

n –2

n –1

membentuk barisan geome-

Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh

tri dan tiga suku terakhir

rS n = ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n– 1 + ar n ................................... (2)

membentuk barisan aritme- tika. Nilai x + y = ....

Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh rS = ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n –1 + ar a. 1 atau 11 n n b. –1 atau 14

S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n –1

c. 0 atau 15

d. 2 atau 17

rS

= –a + ar n n –S n

e. 2 atau 10

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.

Barisan dan Deret 123

a n ( r < 1)

, untuk r > 1

a n (1 < r )

, untuk r < 1

Keterangan: S n = jumlah n suku pertama

a = suku pertama r = rasio n = banyak suku

Apa yang terjadi jika r bernilai 1?

Contoh 1:

Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.

4 Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r =

= 2 (r > 1). 2

Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.

a 8 ( r < 1) 2(2 < 1) S n =

r < 1 2 < 1 = 2(256 – 1) = 510

Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.

b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...

6 1 Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r =

= (r < 1).

12 2 Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6.

a n (1 < r ) n S =

1 < r 12(1 6 < ( 1 ) )

124 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

Contoh 2:

Diketahui deret 3 + 3 2 +3 3 + ... + 3 n = 363. Tentukan

a. suku pertama;

c. banyak suku.

b. rasio;

Jawab:

Deret 3 + 3 2 +3 3 + ... + 3 n = 363

a. Suku pertama: a = 3

Kuis 2 U

b. Rasio: r =

• Kerjakan di buku tugas

Suku ke-5 dari barisan geo-

c. Untuk S n = 363

metri k, 3k, 8k + 4, ... adalah

Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus

a. 81 n d. 648 a ( r < 1)

b. 162 e. 1.296

c. 324

Kompetisi Matematika

Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut adalah 5.

Contoh 3:

Carilah n terkecil sehingga S n > 1.000 pada deret geometri

Jawab:

Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah n suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut.

S = ar ( < 1) 1(4 < 1) 4 < n 1 = =

r < 1 41 <

Nilai n yang mengakibatkan S n > 1.000 adalah

> 1.000 ‹ 4 n > 3.001

3 Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh

log 4 n > log 3.001 ‹ n log 4 > log 3.001 log ‹ 3.001

n> log 4

‹ n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma) Jadi, nilai n terkecil agar S n > 1.000 adalah 6.

Barisan dan Deret 125

Problem

Tentukan rumus jumlah n dari deret 1 + 11 + 111 + 1.111 + ...

Solving

Jawab:

Jika kalian perhatikan sekilas, deret ini bukan merupakan deret aritmetika maupun geometri. Namun, coba perhatikan penjabaran berikut.

9 deret geometri

deret konstan

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 5

1. Tentukan jumlah deret geometri di bawah ini.

a. 2 + 6 + 18 + 54 + ...; S 10

Kuis

b. 1 – 3 + 9 – 27 + 81 – ...; S 15

• Kerjakan di buku tugas

c. + + +

...; S 6 = ...

Diketahui bilangan a + 1,

a – 2, a + 3 membentuk ba-

2. Tentukan unsur yang diminta pada deret geometri berikut.

risan geometri. Agar ketiga suku ini membentuk barisan

a. a = 2, r = 5; S 5 = ...

aritmetika maka suku ketiga

r = harus ditambah dengan .... 1 b. ,S 4 = 155; a = ...

c. r = , n = 5, S n = 1.820; a = ...

d. 6

e. 8

d. a = 9, r = 2, S n = 567; n = ...

Kompetisi Matematika

e. a = 2, S 4 = –102; r = ...

DKI, 2000

f. U 4 = k – 2, r = 2; S n = ...

126 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

3. Tentukan nilai n.

a. 2+2 2 +2 3 + ... + 2 n = 510

b. a = 3 dan r =

2 8 sehingga S n > 10

c. 8( ) 7

d. 3 - 2 = 40(3 3 + )

4. Suatu tali dibagi menjadi 5 bagian dengan panjang bagian- bagiannya membentuk barisan geometri. Jika yang terpendek 4 cm dan terpanjang 324 cm, tentukan panjang tali semula.

5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter. Setiap mengenai lantai, bola memantul kembali secara vertikal

setinggi

dari ketinggian sebelumnya. Berapa panjang

Kuis

4 lintasan bola itu sampai mengenai lantai yang keenam

• Kerjakan di buku tugas

kalinya?

Besar suku ke-p dari suatu

6. Jumlah penduduk di suatu daerah 200.000 jiwa. Setiap

deret geometri adalah 2p, sedangkan suku ke-2p

tahunnya pertambahan penduduk mencapai 5%. Tentukan

adalah p. Jumlah p suku

jumlah penduduk 5 tahun ke depan (dengan asumsi selama

pertama deret itu adalah ....

lima tahun itu tidak terjadi kematian maupun perpindahan

penduduk).

a. p < 1 7. Seorang pedagang membuka rekening tabungan di sebuah

bank. Pada awal menabung, ia menabung sebesar

b. p 21 <

Rp100.000,00. Ternyata usahanya sukses sehingga tiap bulan

ia dapat menabung 1 1 kali dari tabungan bulan sebelumnya.

c.

1 < 2 Berapakah jumlah tabungannya setelah 1 tahun?

d. 1 p + 2 8. Kereta api bergerak dengan kecepatan awal 20 km/jam. Tiap

e. 1 < p 2 jam kecepatannya bertambah naik 1,2 kali lipat dari

Kompetisi Matematika

kecepatan sebelumnya.

DKI, 2000

Tentukan:

a. kecepatan kereta api setelah 5 jam berjalan;

b. jarak seluruhnya yang ditempuh kereta api selama 5 jam perjalanan.

9. Akar persamaan kuadrat 2x 2 – 20x + (7k – 1) = 0 merupakan suku pertama dan suku ke-2 suatu deret geometri yang rasionya lebih besar 1. Jika kedua akar berbanding 2 dan 3, tentukan

a. suku ke-3;

b. suku ke-5;

c. jumlah kelima suku pertama.

Barisan dan Deret 127

10. Pada suatu deret geometri ditentukan jumlah suku pertama dan suku kedua adalah 4, U n –1 +U n = 108, dan jumlah n suku pertama adalah 121. Tentukan rasio deret geometri tersebut.