Deret Geometri
2. Deret Geometri
Jika U 1 ,U 2 ,U 3 , ... U n merupakan barisan geometri maka
U 1 +U 2 +U 3 + ... + U n adalah deret geometri dengan U n = ar n –1 .
Kuis
Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari
deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut. Misalkan S n notasi dari jumlah n suku pertama.
• Kerjakan di buku tugas
Ada barisan bilangan 4, x, y, z
S n =U 1 +U 2 + ... + U n
diketahui tiga suku pertama
n = a + ar + ... + ar + ar .............................................. (1)
n –2
n –1
membentuk barisan geome-
Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh
tri dan tiga suku terakhir
rS n = ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n– 1 + ar n ................................... (2)
membentuk barisan aritme- tika. Nilai x + y = ....
Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh rS = ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n –1 + ar a. 1 atau 11 n n b. –1 atau 14
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n –1
c. 0 atau 15
d. 2 atau 17
rS
= –a + ar n n –S n
e. 2 atau 10
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.
Barisan dan Deret 123
a n ( r < 1)
, untuk r > 1
a n (1 < r )
, untuk r < 1
Keterangan: S n = jumlah n suku pertama
a = suku pertama r = rasio n = banyak suku
Apa yang terjadi jika r bernilai 1?
Contoh 1:
Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.
4 Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r =
= 2 (r > 1). 2
Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.
a 8 ( r < 1) 2(2 < 1) S n =
r < 1 2 < 1 = 2(256 – 1) = 510
Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.
b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...
6 1 Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r =
= (r < 1).
12 2 Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6.
a n (1 < r ) n S =
1 < r 12(1 6 < ( 1 ) )
124 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Contoh 2:
Diketahui deret 3 + 3 2 +3 3 + ... + 3 n = 363. Tentukan
a. suku pertama;
c. banyak suku.
b. rasio;
Jawab:
Deret 3 + 3 2 +3 3 + ... + 3 n = 363
a. Suku pertama: a = 3
Kuis 2 U
b. Rasio: r =
• Kerjakan di buku tugas
Suku ke-5 dari barisan geo-
c. Untuk S n = 363
metri k, 3k, 8k + 4, ... adalah
Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus
a. 81 n d. 648 a ( r < 1)
b. 162 e. 1.296
c. 324
Kompetisi Matematika
Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut adalah 5.
Contoh 3:
Carilah n terkecil sehingga S n > 1.000 pada deret geometri
Jawab:
Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah n suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut.
S = ar ( < 1) 1(4 < 1) 4 < n 1 = =
r < 1 41 <
Nilai n yang mengakibatkan S n > 1.000 adalah
> 1.000 4 n > 3.001
3 Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh
log 4 n > log 3.001 n log 4 > log 3.001 log 3.001
n> log 4
n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma) Jadi, nilai n terkecil agar S n > 1.000 adalah 6.
Barisan dan Deret 125
Problem
Tentukan rumus jumlah n dari deret 1 + 11 + 111 + 1.111 + ...
Solving
Jawab:
Jika kalian perhatikan sekilas, deret ini bukan merupakan deret aritmetika maupun geometri. Namun, coba perhatikan penjabaran berikut.
9 deret geometri
deret konstan
• Kerjakan di buku tugas
Soal Kompetensi 5
1. Tentukan jumlah deret geometri di bawah ini.
a. 2 + 6 + 18 + 54 + ...; S 10
Kuis
b. 1 – 3 + 9 – 27 + 81 – ...; S 15
• Kerjakan di buku tugas
c. + + +
...; S 6 = ...
Diketahui bilangan a + 1,
a – 2, a + 3 membentuk ba-
2. Tentukan unsur yang diminta pada deret geometri berikut.
risan geometri. Agar ketiga suku ini membentuk barisan
a. a = 2, r = 5; S 5 = ...
aritmetika maka suku ketiga
r = harus ditambah dengan .... 1 b. ,S 4 = 155; a = ...
c. r = , n = 5, S n = 1.820; a = ...
d. 6
e. 8
d. a = 9, r = 2, S n = 567; n = ...
Kompetisi Matematika
e. a = 2, S 4 = –102; r = ...
DKI, 2000
f. U 4 = k – 2, r = 2; S n = ...
126 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
3. Tentukan nilai n.
a. 2+2 2 +2 3 + ... + 2 n = 510
b. a = 3 dan r =
2 8 sehingga S n > 10
c. 8( ) 7
d. 3 - 2 = 40(3 3 + )
4. Suatu tali dibagi menjadi 5 bagian dengan panjang bagian- bagiannya membentuk barisan geometri. Jika yang terpendek 4 cm dan terpanjang 324 cm, tentukan panjang tali semula.
5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter. Setiap mengenai lantai, bola memantul kembali secara vertikal
setinggi
dari ketinggian sebelumnya. Berapa panjang
Kuis
4 lintasan bola itu sampai mengenai lantai yang keenam
• Kerjakan di buku tugas
kalinya?
Besar suku ke-p dari suatu
6. Jumlah penduduk di suatu daerah 200.000 jiwa. Setiap
deret geometri adalah 2p, sedangkan suku ke-2p
tahunnya pertambahan penduduk mencapai 5%. Tentukan
adalah p. Jumlah p suku
jumlah penduduk 5 tahun ke depan (dengan asumsi selama
pertama deret itu adalah ....
lima tahun itu tidak terjadi kematian maupun perpindahan
penduduk).
a. p < 1 7. Seorang pedagang membuka rekening tabungan di sebuah
bank. Pada awal menabung, ia menabung sebesar
b. p 21 <
Rp100.000,00. Ternyata usahanya sukses sehingga tiap bulan
ia dapat menabung 1 1 kali dari tabungan bulan sebelumnya.
c.
1 < 2 Berapakah jumlah tabungannya setelah 1 tahun?
d. 1 p + 2 8. Kereta api bergerak dengan kecepatan awal 20 km/jam. Tiap
e. 1 < p 2 jam kecepatannya bertambah naik 1,2 kali lipat dari
Kompetisi Matematika
kecepatan sebelumnya.
DKI, 2000
Tentukan:
a. kecepatan kereta api setelah 5 jam berjalan;
b. jarak seluruhnya yang ditempuh kereta api selama 5 jam perjalanan.
9. Akar persamaan kuadrat 2x 2 – 20x + (7k – 1) = 0 merupakan suku pertama dan suku ke-2 suatu deret geometri yang rasionya lebih besar 1. Jika kedua akar berbanding 2 dan 3, tentukan
a. suku ke-3;
b. suku ke-5;
c. jumlah kelima suku pertama.
Barisan dan Deret 127
10. Pada suatu deret geometri ditentukan jumlah suku pertama dan suku kedua adalah 4, U n –1 +U n = 108, dan jumlah n suku pertama adalah 121. Tentukan rasio deret geometri tersebut.