Barisan Aritmetika

1. Barisan Aritmetika

Indah menyisihkan sebagaian uang yang dimilikinya untuk disimpan. Pada bulan ke-1, ia menyimpan Rp20.000,00. Bulan berikutnya ia selalu menaikkan simpanannya Rp500,00 lebih besar dari bulan sebelumnya. Bear simpanan (dalam rupiah) Indah dari pertama dan seterusnya dapat ditulis sebagai berikut.

Bulan Ke-1 Bulan Ke-2 Bulan Ke-3 Bulan Ke-4 ...

21.500 ... Jika kalian amati, selisih suku barisan ke suku berikutnya

selalu tetap, yaitu 500. Barisan seperti ini dinamakan barisan aritmetika.

Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

b. 2, 8, 14, 20, ...

c. 30, 25, 20, 15, ...

108 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

Barisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan aritmetika. Mari kita tinjau satu per satu.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b = 3.

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Jika U n adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = U n –U n –1 .

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U 1 ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b

dapat ditentukan seperti berikut. U 1 =a U 2 =U 1 +b=a+b U 3 =U 2 + b = (a + b) + b = a + 2b U 4 =U 3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U 5 =U 4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

M U n =U n– 1 +b=a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

U n =a + (n – 1)b Keterangan :U n = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda n = banyak suku

Barisan dan Deret 109

Contoh 1:

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Jawab:

–3, 2, 7, 12, … Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh U n = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : U 8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.

Suku ke-20 : U 20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh 2:

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Jawab:

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, dan U n = 40. Rumus suku ke-n adalah U n = a + (n – 1)b sehingga

40 = –2 + (n – 1)3

40 = 3n – 5 ‹ 3n = 45 Karena 3n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

Problem

Suku ke-10 dan suku ke-14 dari barisan aritmetika berturut-

Solving

turut adalah 7 dan 15. Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-20 barisan tersebut.

Jawab:

Diketahui U 10 = 7 dan U 14 = 15. Dari rumus suku ke-n barisan aritmetika U n =a + (n – 1)b, diperoleh 2 persamaan, yaitu U 10 = 7 sehingga diperoleh a + 9b = 7 ............................ (1) U 14 = 15 sehingga diperoleh a + 13b = 15 ........................ (2)

Untuk menentukan nilai a dan b, kita gunakan metode campuran antara eliminasi dan substitusi. Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh

a + 9b =7 Dengan menyubstitusikan b = 2 ke

a + 13b = 15 persamaan (1), diperoleh –––––––––– –

a + 9(2) = 7 ‹ a = –11 –4b = –6

‹ b =2 Dengan demikian, diperoleh suku ke-n adalah U n = –11 + (n – 1)2.

Jadi, suku ke-20 adalah U 20 = –11 + (20 – 1)2 = 27.

110 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 2

1. Pada barisan bilangan berikut, mana yang merupakan barisan aritmetika? Berikan alasan.

2. Carilah suku-suku yang diminta pada barisan berikut ini.

a. Suku ke-11 dari barisan –2, 3, 8, ...

b. Suku ke-29 dari barisan 20, 17, 14, 11, ... 1 4 2

c. Suku ke-21 dari barisan , , 1 , 2,... 5 5 5

d. Suku ke-n dari barisan 6, 15, 24, ...

3. Tentukan unsur-unsur yang ditanyakan pada barisan aritmetika berikut.

a. a = 8, b = 5; U 101 = ...

b. a = 3, U 15 = 143; b = ...

c. b =15, U 21 = 295; a = ...

f. U 5 = 3, U 12 = –18, a = ...; b = ...

g. U 4 = 4, U 8 –U 3 = 15, a = ...; b = ...

h. 3x + 1, 5x – 3, 6x – 4, ...; x = ...

i. 4x + 6, 2x + 7, x + 10, ...; x = ...

4. Sisipkan beberapa bilangan agar membentuk barisan aritmetika.

a. Empat bilangan di antara 10 dan 25

b. Enam bilangan di antara –6 dan 29

c. Tiga bilangan di antara 67 dan 7

d. Lima bilangan di antara 2 dan 64

Barisan dan Deret 111

5. Misalkan a 1 ,a 2 , dan a 3 merupakan barisan aritmetika. Buktikan

a + a bahwa a 2 = 1 3 .

6. Diketahui U n = suku ke-n barisan aritmetika sehingga U n –1 = U n – b. Nyatakan U n –2 , ..., U 3 ,U 2 ,U 1 , dalam U n , b, dan n.

7. Pada suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 35 dan suku ke-9 adalah 43. Tentukan suku ke-35 dan suku ke-100.

8. Penomoran kursi paling pinggir di sebuah gedung bioskop membentuk barisan aritmetika. Jika baris ke-4 bernomor 37 dan baris ke-10 bernomor 109, terletak di baris ke berapakah nomor 313?

9. Jika suku kelima dari barisan aritmetika adalah

24 3 dan suku kedua belas barisan aritmetika adalah

25 3 . Tentukan suku pertama, beda, dan suku kedua puluh satu barisan itu.

10. Diketahui suatu sistem persamaan linear berikut.

¨ 2 x += y 9 © ª << x 2 y = < 28

Misalkan x 0 dan y 0 merupakan penyelesaian dari persamaan linear tersebut. Nilai x 0 merupakan suku kedua dari barisan tersebut dan y 0 merupakan suku kelima barisan tersebut. Tentukan suku ke-7 dan ke-15 dari barisan itu.

Jendela Informasi

Pola Kuadrat dari Bilangan 9

Informasi lebih lanjut Apakah hasil kuadrat bilangan yang disusun dari angka 9 memiliki pola tertentu? Betul sekali. Hasil kuadratnya hanya tersusun dari angka 9, 8, 1, dan 0. Jika bilangan terdiri atas n digit angka 9 (n bilangan bulat kurang dari 10) maka kuadrat bilangan tersebut adalah bilangan yang tersusun dari angka 9 sebanyak n – 1, diikuti angka 8, kemudian angka 0 sebanyak n – 1, dan diakhiri angka 1. Perhatikan pola berikut.

Setelah memerhatikan pola di atas, coba kalian tentukan hasil dari

a. 9999999 2

b. 99999999 2

c. 999999999 2

112 Khaz Matematika SMA 3 Bhs