Barisan Geometri
1. Barisan Geometri
Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat, suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum, barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r. Perhatikan contoh barisan-barisan berikut.
a. 3, 6, 12, 24, ... 1 1
b. 2, 1, ,
c. 2, –4, 8, –16, ...
118 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Kuis
Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri. Untuk barisan
di atas berturut-turut dapat dihitung rasionya sebagai berikut.
• Kerjakan di buku tugas
Tiga bilangan merupakan
a. = =
= ... = 2. Jadi, r = 2.
barisan geometri dengan
rasio lebih besar dari satu.
Jika bilangan ketiga diku-
b. = = 1 =
. Jadi, r = .
rangi 3 maka akan terbentuk
barisan aritmetika dengan jumlah 54. Selisih suku
c. =
= –2. Jadi, r = –2.
ketiga dengan suku pertama
barisan aritmetika tersebut
Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U
1 ,U 2 , ...U n barisan
adalah ....
d. 14 geometri dengan U n adalah rumus ke-n, berlaku
a. 8
b. 10 e. 16 c. 12
Kompetisi Matematika
DKI, 2000
Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U 1 ) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut. U 1 =a
U 2 =U 1 × r = ar U 3 =U × r = ar 2 2 U 4 =U × r = ar 3 3
U n =U n –1 × r = ar n –2 × r = ar n –1
Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar 2 , ..., ar n –1 ,
... Jadi, rumus umum suku ke-n (U n ) barisan geometri adalah
U = ar n –1 n
Keterangan: a = suku pertama r = rasio n = banyak suku
Contoh: Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan
geometri berikut.
a. 2, 6, 18, 54, ... Dari barisan geometri di atas, diperoleh
1) suku pertama: a = 2; U 2 6
2) rasio: r =
Barisan dan Deret 119
Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah U n = ar n –1 maka U
Dari barisan ini, diperoleh
1) suku pertama: a = 9;
2) rasio: r = 2 3 1 = = < ; U 1 9 3
3) suku ke-7: U 7 =9( < ) = 9( ) 6 =
Problem
Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga
Solving
bilangan itu 21 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan itu.
Jawab:
Pemisalan yang mudah untuk barisan geometri adalah a , a, r
Kuis
dan ar.
• Kerjakan di buku tugas
a Jumlah ketiga bilangan itu adalah 21 maka
+ a + ar = 21.
Jika k + 3, 5k – 9, 11k + 9 r membentuk barisan geo-
metri maka jumlah semua a Hasil kali ketiga bilangan adalah 216 maka
× a × ar = 216
nilai k yang memenuhi r adalah ....
a 3 = 216
a. d. Karena a 3 4 = 216, diperoleh a = 6. Kemudian, substitusikan 10
66 66 a
b. e. nilai a = 6 ke persamaan ++ a ar = 21 5 sehingga diperoleh 11
66 hasil sebagai berikut.
c. 7
(UMPTN 2001)
+ 6 + 6r = 21 ........... (kedua ruas dikalikan dengan r)
6 + 6r + 6r 2 = 21r
6 – 15r + 6r 2 = 0 ........................... (kedua ruas dibagi 3) 2r 2 – 5r + 2 = 0 (2r – 1)(r – 2) = 0
120 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Tugas: Investigasi • Kerjakan di buku tugas
2r – 1 = 0 atau r – 2 = 0
Adakah cara lain untuk me-
atau r = 2
ngerjakan cara ini? Bagaima-
na jika kalian menggunakan pemisalan a, ar, dan ar 2
1 untuk ketiga bilangan itu?
dan r = 2. 2 Coba kerjakan. Apa kesim-
Dari persamaan di atas, diperoleh r =
pulanmu?
Untuk r =
dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 12, 6, dan 3.
2 Untuk r = 2 dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 3, 6, dan 12.
Jendela Informasi
Pola Bilangan yang Indah
Informasi lebih lanjut
Perhatikan pola bilangan berikut.
Bandingkan dengan pola bilangan berikut.
Dari kedua pola bilangan di atas, dapatkah kalian menemukan bentuk umumnya? Dengan memerhatikan bentuk umum kedua pola bilangan di atas, tentu kalian dapat dengan mudah menentukan hasil dari pertanyaan berikut.
e. 12345678 × 9 + 9 = ... Coba kalian kerjakan.
Barisan dan Deret 121
• Kerjakan di buku tugas
Soal Kompetensi 4
1. Tentukan suku-suku sesuai yang diminta.
a. Suku ke-8 dari barisan 7, 21, 63, 189, ...
b. Suku ke-6 dari barisan 54, –18, 6, –2 ...
c. Suku ke-7 dari barisan
d. Suku ke-10 dari barisan 1, 3 , 3, 3 3 , ...
2. Tentukan unsur yang diminta pada barisan geometri berikut.
a. a = –3, U 4 = ; r = ... 9
b. U 3 = 8, U 4 = 32; a = ...
c. U 2 = 250, U 4 = 6.250; a = ...
d. U 2 = 12, U 5 = –324; r = ...
e. k – 2, k – 6, 2k + 3, ...; k = ...
3. Sisipkan beberapa bilangan agar membentuk barisan geometri.
a. Tiga bilangan antara 4 dan 324
b. Lima bilangan antara –1 dan –15.625
c. Empat bilangan antara
dan 10 2 3 3
Petunjuk: Menyisipkan p bilangan di antara bilangan m dan n agar membentuk barisan geometri berarti suku pertama m dan suku ke-(p + 1) adalah n.
4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika hasil kali ketiga bilangan itu adalah 512 dan jumlahnya 28. Tentukan ketiga bilangan itu.
5. Misalkan bakteri membelah menjadi 2 bagian tiap 20 menit. Jika pada pukul 15.00 ada 100 bakteri, tentukan banyak bakteri pada pukul 20.00 pada hari yang sama.
6. Selembar kertas yang tebalnya 0,01 cm dilipat sehingga sebagian terletak di atas yang lain.
a. Berapa tebal lipatan itu jika melipatnya dilakukan hingga
10 kali?
b. Berapa kali paling sedikit harus melakukan lipatan agar tebal lipatan kertas tidak kurang dari 5 cm?
U 1 U 2 U 3 U 4 7. Perhatikan Gambar 3.2. Jari-jari lingkaran pertama adalah
1 cm dan U 1 ,U 2 ,U 3 , ... merupakan barisan geometri. Jika luas lingkaran kedua 16 / cm 2 , tentukan jari-jari lingkaran
Gambar 3.2
keempat.
122 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
8. Dari suatu barisan geometri diketahui hasil kali suku kedua dengan suku kesembilan adalah –18 dan hasil kali suku
9 keempat dengan suku kesepuluh adalah . Tentukan suku 4
keenam barisan tersebut.
9. Pada barisan geometri, diketahui: U 1 +U 2 +U 3 = 20 U 1 +U 3 +U 5 = 62 U 3 +U 4 +U 5 = 84
Tentukan U 1 ,U 3 , dan U 6 .
10. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan adalah 13. Jika bilangan ke-12 ditambah 2 maka barisan itu akan menjadi barisan aritmetika. Tentukan hasil kali ketiga bilangan semula.