Deret Geometri Tak Berhingga

3. Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga. Perhatikan deret geometri berikut.

3 Deret-deret di atas merupakan contoh deret geometri tak berhingga.

Dari contoh a dan b, rasionya berturut-turut adalah 2 dan –2. Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan | r | > 1. Sebaliknya, dari contoh c dan d, rasio masing-

masing deret dan – . Dari contoh c dan d, dapat kita hitung

Perhatian

pendekatan jumlahnya. Deret tersebut dinamakan deret konvergen dengan | r | < 1. Pada deret konvergen, jumlah suku-sukunya

Untuk kalian ketahui,

tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekati

n lim A' r = 0, dengan r konver-

harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga

gen (–1 < r < 1 ). Bentuk itu dibaca limit r

suku yang dinotasikan dengan S ' . Nilai S ' merupakan nilai

pangkat n, untuk n mende-

pendekatan (limit) jumlah seluruh suku (S n ) dengan n mendekati

kati tak berhingga sama

tak berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapat

dengan nol. Materi limit fungsi tidak kalian pelajari

diturunkan dari deret geometri dengan suku pertama a, rasio r,

dan n A ' .

di SMA. Kalian cukup

Karena deret konvergen (| r | < 1), untuk n A ' maka r n A 0

1 < r 1 < r 1 < r Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah

n A'

n A'

, dengan | r | < 1

128 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

Contoh 1:

Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.

Tantangan

a. 1+ + + + ...

Eksplorasi

1 Sebuah bola tenis dijatuhkan

• Kerjakan di buku tugas

Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = sehingga 2

dari ketinggian 715 m dan memantul kembali dengan

4 S ' = = 1 = 1 = ketinggian 2 kali keting- 1 < r 1 <

21 + + + +... 2 1 gian semula. Pemantulan 1 b. 2 4

terjadi terus-menerus sam- pai bola berhenti. Tentukan

1 1 1 Perhatikan deret 21 ++ + + + ....

panjang seluruh lintasan

bola sampai berhenti 1 Kompetisi Matematika

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = . 2

DKI, 2000

21 Jadi, + + + +.... 2 1 4 2 1 =2 4 = 16.

Contoh 2:

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4. Carilah rasionya.

Jawab:

Dari soal di atas, unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan

S ' = 4. Kita substitusikan ke dalam rumus S ' .

1 Jadi, rasionya adalah . 2

Barisan dan Deret 129

Contoh 3:

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali

dengan ketinggian

kali tinggi sebelumnya. Pemantulan

berlangsung terus-menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola. (UMPTN 1995)

Tantangan

• Kerjakan di buku tugas

Sebuah bola dijatuhkan ke

U 1 = × 10 m

lantai dari tempat yang

tingginya 1 meter. Setiap kali setelah bola itu meman-

tul, bola itu mencapai ke-

tinggian seperlima dari tinggi sebelumnya. Tentukan

S n = 10 + 2 S '

panjang lintasan bola sampai

Tugas: Investigasi

= 70 m

• Kerjakan di buku tugas

Dengan cara lain:

Misalnya suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H 0 secara

Misalkan suatu benda dija-

tuhkan dari ketinggian H 0 a

dan memantul ke lantai.

vertikal dan memantul ke atas dengan tinggi pantulan kali

Ketinggian pantulan men-

dari ketinggian semula maka panjang lintasan pantulan (H)

a capai

, dengan a > b; a

hingga berhenti dirumuskan dengan:

b dan b bilangan bulat. Tunjukkan bahwa panjang

lintasan total bola hingga

berhenti (H) adalah ¤ b < a ¦ 0

¤ b < a ¦ 0 Dengan menggunakan cara ini, diketahui a = 3, b = 4, dan

H 0 = 10 m. £ b + a ¥

Jadi, H = ¤

10 = 70 m

130 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

Mari Diketahui deret geometri tak berhingga berikut.

Berdiskusi a + ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + ...

Deret suku-suku ganjilnya adalah a + ar 2 + ar 4 + ... Deret suku-suku genapnya adalah ar + ar 3 + ar 5 + ...

Eksplorasi

a Tunjukkan bahwa jumlah suku-suku ganjilnya adalah

ar

jumlah suku-suku genapnya adalah

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 6

1. Tentukan batas-batas nilai x agar barisan geometri: 2, 2(3 – x),

2(3 – x) 2 , 2(3 –x) 3 , ... konvergen.

2. Tentukan jumlah dari deret geometri tak berhingga berikut.

3. Tentukan unsur-unsur yang ditanyakan pada deret geometri di bawah ini.

d. S ' = 4, r = , a = ....

e. a = 10, r = , S ' = ....

f. a = 20, r = < , S

4 ' = ....

Barisan dan Deret 131

Kuis

4. Tentukan jumlah suku-suku ganjil dan jumlah suku-suku

genap dari deret berikut.

• Kerjakan di buku tugas

5. Sebuah ayunan di sebuah rumah digunakan untuk mainan anak. Dengan sekali ayun, panjang lintasan pertama 120 cm,

KL

B panjang lintasan berikutnya

dari panjang lintasan

Segita ABC sama sisi dan

sebelumnya. Berapa panjang lintasan seluruhnya hingga

luasnya 1 satuan. Di dalam

ayunan berhenti?

segitiga ABC dibuat segitiga dengan titik sudutnya ber-

6. Seorang anak bermain gasing di halaman rumahnya. Pada

impit dengan pertengahan

detik pertama, gasing berputar sebanyak 16 kali. Detik

sisi-sisi segitiga pertama. 5 Selanjutnya, dibuat segitiga

berikutnya, gasing hanya berputar kali dari banyak

sama sisi dengan titik sudut 8 pertengahan sisi-sisi segitiga

putaran pada detik sebelumnya. Berapa banyak putaran

tersebut. Proses ini dilanjut- kan terus-menerus . Luas

sampai gasing berhenti berputar?

segitiga yang ke-6 adalah ....

7. Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 20 m dan

satuan luas. 3

1 1 memantul kembali dengan ketinggian kali ketinggian

a. d. 7

64 semula. Pemantulan terjadi terus-menerus sampai bola

b. e. berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola yang terjadi.

1 8. Diketahui deret geometri dirumuskan dengan U n =5 –n .

c. 729

Tentukan jumlah tak berhingga dari deret tersebut.

9. Jumlah semua suku dari deret geometri tak berhingga adalah

(Olimpiade 2000)

12. Jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan suku ke-7 dari suku-suku bernomor ganjil.

10. Dari suatu deret geometri konvergen, diketahui selisih U 1

dan U

3 adalah 8 dan log U 1 + log U 2 + log U 3 = 3. Tentukan jumlah tak berhingga suku deret geometri tersebut. (Ingat

kembali materi logaritma di kelas X).

Jendela Informasi

Keindahan Matematika dalam Deret

Informasi lebih lanjut ”Small is beautiful”, demikian salah satu slogan yang dipegang banyak matematikawan dalam membuktikan teori- teori matematis. Thomas Aquino, pada abad XIII sudah melihat hubungan antara keindahan dan matematika. Dia mengatakan, ”Indra itu senang dengan sesuatu yang proporsinya tepat”. Proporsi yang tepat itu dapat diterjemahkan dalam keserasian, keteraturan, keselarasan, keseimbangan, dan keutuhan.

132 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

Jika kita jeli, alam menyediakan banyak sekali keindahan matematis. Coba kalian perhatikan, spiral geometris pada cangkang sarang siput (Nautilus), susunan sel segi enam pada sarang tawon madu, susunan mahkota bunga aster, susunan mahkota dan biji bunga matahari, dan masih banyak yang lainnya. Susunan-susunan objek di atas berkaitan barisan atau deret matematis.

Sumber : Happy with Math, 2007

(a) Cangkang siput

(b) Bunga aster

Sumber: www.digitalguide.com Sumber: www.goingnativegardentour.org

(c) Sarang tawon madu

(d) Bunga matahari

Sumber: www.anomalies.net Sumber: www.exterpassive.com