Deret Geometri Tak Berhingga
3. Deret Geometri Tak Berhingga
Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga. Perhatikan deret geometri berikut.
3 Deret-deret di atas merupakan contoh deret geometri tak berhingga.
Dari contoh a dan b, rasionya berturut-turut adalah 2 dan –2. Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan | r | > 1. Sebaliknya, dari contoh c dan d, rasio masing-
masing deret dan – . Dari contoh c dan d, dapat kita hitung
Perhatian
pendekatan jumlahnya. Deret tersebut dinamakan deret konvergen dengan | r | < 1. Pada deret konvergen, jumlah suku-sukunya
Untuk kalian ketahui,
tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekati
n lim A' r = 0, dengan r konver-
harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga
gen (–1 < r < 1 ). Bentuk itu dibaca limit r
suku yang dinotasikan dengan S ' . Nilai S ' merupakan nilai
pangkat n, untuk n mende-
pendekatan (limit) jumlah seluruh suku (S n ) dengan n mendekati
kati tak berhingga sama
tak berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapat
dengan nol. Materi limit fungsi tidak kalian pelajari
diturunkan dari deret geometri dengan suku pertama a, rasio r,
dan n A ' .
di SMA. Kalian cukup
Karena deret konvergen (| r | < 1), untuk n A ' maka r n A 0
1 < r 1 < r 1 < r Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah
n A'
n A'
, dengan | r | < 1
128 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Contoh 1:
Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.
Tantangan
a. 1+ + + + ...
Eksplorasi
1 Sebuah bola tenis dijatuhkan
• Kerjakan di buku tugas
Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = sehingga 2
dari ketinggian 715 m dan memantul kembali dengan
4 S ' = = 1 = 1 = ketinggian 2 kali keting- 1 < r 1 <
21 + + + +... 2 1 gian semula. Pemantulan 1 b. 2 4
terjadi terus-menerus sam- pai bola berhenti. Tentukan
1 1 1 Perhatikan deret 21 ++ + + + ....
panjang seluruh lintasan
bola sampai berhenti 1 Kompetisi Matematika
Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = . 2
DKI, 2000
21 Jadi, + + + +.... 2 1 4 2 1 =2 4 = 16.
Contoh 2:
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4. Carilah rasionya.
Jawab:
Dari soal di atas, unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan
S ' = 4. Kita substitusikan ke dalam rumus S ' .
1 Jadi, rasionya adalah . 2
Barisan dan Deret 129
Contoh 3:
Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali
dengan ketinggian
kali tinggi sebelumnya. Pemantulan
berlangsung terus-menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola. (UMPTN 1995)
Tantangan
• Kerjakan di buku tugas
Sebuah bola dijatuhkan ke
U 1 = × 10 m
lantai dari tempat yang
tingginya 1 meter. Setiap kali setelah bola itu meman-
tul, bola itu mencapai ke-
tinggian seperlima dari tinggi sebelumnya. Tentukan
S n = 10 + 2 S '
panjang lintasan bola sampai
Tugas: Investigasi
= 70 m
• Kerjakan di buku tugas
Dengan cara lain:
Misalnya suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H 0 secara
Misalkan suatu benda dija-
tuhkan dari ketinggian H 0 a
dan memantul ke lantai.
vertikal dan memantul ke atas dengan tinggi pantulan kali
Ketinggian pantulan men-
dari ketinggian semula maka panjang lintasan pantulan (H)
a capai
, dengan a > b; a
hingga berhenti dirumuskan dengan:
b dan b bilangan bulat. Tunjukkan bahwa panjang
lintasan total bola hingga
berhenti (H) adalah ¤ b < a ¦ 0
¤ b < a ¦ 0 Dengan menggunakan cara ini, diketahui a = 3, b = 4, dan
H 0 = 10 m. £ b + a ¥
Jadi, H = ¤
10 = 70 m
130 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Mari Diketahui deret geometri tak berhingga berikut.
Berdiskusi a + ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + ...
Deret suku-suku ganjilnya adalah a + ar 2 + ar 4 + ... Deret suku-suku genapnya adalah ar + ar 3 + ar 5 + ...
Eksplorasi
a Tunjukkan bahwa jumlah suku-suku ganjilnya adalah
ar
jumlah suku-suku genapnya adalah
• Kerjakan di buku tugas
Soal Kompetensi 6
1. Tentukan batas-batas nilai x agar barisan geometri: 2, 2(3 – x),
2(3 – x) 2 , 2(3 –x) 3 , ... konvergen.
2. Tentukan jumlah dari deret geometri tak berhingga berikut.
3. Tentukan unsur-unsur yang ditanyakan pada deret geometri di bawah ini.
d. S ' = 4, r = , a = ....
e. a = 10, r = , S ' = ....
f. a = 20, r = < , S
4 ' = ....
Barisan dan Deret 131
Kuis
4. Tentukan jumlah suku-suku ganjil dan jumlah suku-suku
genap dari deret berikut.
• Kerjakan di buku tugas
5. Sebuah ayunan di sebuah rumah digunakan untuk mainan anak. Dengan sekali ayun, panjang lintasan pertama 120 cm,
KL
B panjang lintasan berikutnya
dari panjang lintasan
Segita ABC sama sisi dan
sebelumnya. Berapa panjang lintasan seluruhnya hingga
luasnya 1 satuan. Di dalam
ayunan berhenti?
segitiga ABC dibuat segitiga dengan titik sudutnya ber-
6. Seorang anak bermain gasing di halaman rumahnya. Pada
impit dengan pertengahan
detik pertama, gasing berputar sebanyak 16 kali. Detik
sisi-sisi segitiga pertama. 5 Selanjutnya, dibuat segitiga
berikutnya, gasing hanya berputar kali dari banyak
sama sisi dengan titik sudut 8 pertengahan sisi-sisi segitiga
putaran pada detik sebelumnya. Berapa banyak putaran
tersebut. Proses ini dilanjut- kan terus-menerus . Luas
sampai gasing berhenti berputar?
segitiga yang ke-6 adalah ....
7. Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 20 m dan
satuan luas. 3
1 1 memantul kembali dengan ketinggian kali ketinggian
a. d. 7
64 semula. Pemantulan terjadi terus-menerus sampai bola
b. e. berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola yang terjadi.
1 8. Diketahui deret geometri dirumuskan dengan U n =5 –n .
c. 729
Tentukan jumlah tak berhingga dari deret tersebut.
9. Jumlah semua suku dari deret geometri tak berhingga adalah
(Olimpiade 2000)
12. Jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan suku ke-7 dari suku-suku bernomor ganjil.
10. Dari suatu deret geometri konvergen, diketahui selisih U 1
dan U
3 adalah 8 dan log U 1 + log U 2 + log U 3 = 3. Tentukan jumlah tak berhingga suku deret geometri tersebut. (Ingat
kembali materi logaritma di kelas X).
Jendela Informasi
Keindahan Matematika dalam Deret
Informasi lebih lanjut ”Small is beautiful”, demikian salah satu slogan yang dipegang banyak matematikawan dalam membuktikan teori- teori matematis. Thomas Aquino, pada abad XIII sudah melihat hubungan antara keindahan dan matematika. Dia mengatakan, ”Indra itu senang dengan sesuatu yang proporsinya tepat”. Proporsi yang tepat itu dapat diterjemahkan dalam keserasian, keteraturan, keselarasan, keseimbangan, dan keutuhan.
132 Khaz Matematika SMA 3 Bhs
Jika kita jeli, alam menyediakan banyak sekali keindahan matematis. Coba kalian perhatikan, spiral geometris pada cangkang sarang siput (Nautilus), susunan sel segi enam pada sarang tawon madu, susunan mahkota bunga aster, susunan mahkota dan biji bunga matahari, dan masih banyak yang lainnya. Susunan-susunan objek di atas berkaitan barisan atau deret matematis.
Sumber : Happy with Math, 2007
(a) Cangkang siput
(b) Bunga aster
Sumber: www.digitalguide.com Sumber: www.goingnativegardentour.org
(c) Sarang tawon madu
(d) Bunga matahari
Sumber: www.anomalies.net Sumber: www.exterpassive.com