Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Determinan

3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Determinan

Sistem persamaan linear yang disusun dalam bentuk matriks juga dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode determinan. Misalnya, sistem persamaan linear untuk dua variabel dan tiga variabel adalah sebagai berikut.

a 3 x +b 3 y +c 3 z =d Kuis 3

Pada sistem persaman linear dua variabel, bentuk tersebut dapat diubah ke bentuk matriks berikut.

• Kerjakan di buku tugas

Nilai x + y yang memenuhi

µ ³ µ = ³ µ , dengan A = ³

µ ,X= ³ µ , dan B = ³ µ .

³ – 1 2 µ ³ µ= ³ µ adalah .... ˜ – y ˜ – 1 ˜

– y ˜ – q ˜ a. –4

Untuk menentukan penyelesaian persamaan matriks

b. –3

tersebut, terlebih dahulu kita tentukan determinannya sebagai

= ad – bc (Determinan koefisien x dan y, dengan ele-

Kompetisi Matematika

DKI, 2000

men-elemen matriks A)

= pd – bq (Ganti kolom ke-1, dengan elemen-

elemen matriks B)

D y = c q = aq – cp (Ganti kolom ke-2, dengan elemen- elemen matriks B)

Matriks 85

Nilai x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut.

;y=

Dengan cara yang sama dapat ditentukan D, D x ,D y , dan D z untuk sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut.

Nilai x, y, dan z dapat ditentukan dengan cara berikut.

;y=

; z=

Contoh:

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode determinan.

a. 2x + y = 4

b. x +y+z=0

Tantangan

x –y+z=4

Jawab:

• Kerjakan di buku tugas

a. Sistem persamaan linear di atas dapat disusun dalam

Usia Dina sekarang 8 tahun lebih tua daripada umur

bentuk matriks berikut.

Diva. Pada 4 tahun yang

lalu, usia Diva sama dengan

µ ³ 1 < 2 µ dua pertiga dari usia Dina. =

a. Buatlah sistem persama- an yang mewakili kasus

Kita tentukan nilai D, D x , dan D y .

di atas.

b. Susunlah sistem persa-

maan yang kamu peroleh

dalam bentuk perkalian matriks.

c. Dengan menggunakan

D x = = – 8 – (–3) = – 5

matriks, tentukan usia Dina sekarang.

86 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

D < 5 D y < 10

Jadi, x = x =

= 1 dan y =

b. Sistem persamaan linear tiga variabel di atas dapat disusun

Tantangan dalam bentuk matriks berikut.

Penalaran

• Kerjakan di buku tugas

Harga sebuah buku tulis

Rp2.700,00 dan harga se- buah bolpoin Rp3.500,00.

Kita tentukan nilai D, D x ,D y , dan D z .

Heny membeli 4 buah buku tulis dan 2 buah bolpoin,

sedangkan Ari membeli 5

D = 1 1 < 1 = (1 + (–1) + (–1)) – (1 + 1 + 1) = – 4

buah buku tulis dan sebuah bolpoin. Bagaimana bentuk

perkalian matriks dari kasus ini? Tentukan pula harga

yang harus dibayarkan

D x = < 2 1 < 1 = (0 + (–4) + 2) – (4 + 0 + (–2) = –4

masing-masing anak.

D y = 1 < 2 < 1 = (–2 + 0 + 4) – (–2 + (–4) + 0) = 8

D z = 1 1 < 2 = (4 + (–2) + 0) – (0 + 2 + 4) = –4

1 < 1 4 Dengan demikian, diperoleh

= = –2, dan

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 8

Untuk soal nomor 1–5, tentukan penyelesaiannya dengan menggunakan metode determinan.

1. x +y=1 2x + 4y = 1

Matriks 87

2. 2x + 3y = 8 x +y=2

3. x – 2y + 3z = 10 2x + y – 2z = 11 2x + 3y – z = –1

4. x – 2y + z = 1 –2z + y + z = –2 x +y+z=4

5. 0,5x + 0,3y + 0,2z = 46 0,1x + 0,8y – 0,6z = 26 0,2x – 0,5y + 0,4z = 0

6. Jika x 0 dan y 0 memenuhi persamaan ¨ © ª 5 x < 6 y = 4

dan y 0 =

maka tentukan nilai 5x + 2p. 3 < 4 0

7. Seseorang membeli 4 buah buku tulis dan 3 buah pensil, ia membayar Rp19.500,00. Jika ia membeli 2 buah buku tulis dan 4 buah pensil, ia membayar Rp16.000,00. Buatlah model matematika (sistem persamaan). Kemudian, dengan cara determinan, tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil.

8. Ibu membeli 3 kg gula dan 7 bungkus teh dengan harga Rp20.050,00. Pada bulan berikutnya, Ibu kembali ke warung tersebut untuk membeli 4 kg gula dan 5 bungkus teh dengan harga Rp23.050,00. Berapakah harga untuk 2 kg gula dan 3 bungkus teh?

9. Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 2 kg apel, 3 kg salak, dan 1 kg jeruk harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus

Tugas: Informasi lanjut

membayar Rp23.500. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg

• Kerjakan di buku tugas

salak, dan 3 kg apel harus membayar 36.500,00. Tentukan

Untuk menambah wawasan

model matematika (dalam bentuk sistem persamaan).

kalian tentang matriks,

Kemudian, dengan cara determinan, tentukan berapa harga

carilah hal-hal yang ber-

per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per

kaitan dengan matriks

kilogram apel?

(materi maupun tokoh- tokoh) dari media yang ada

10. Harga 3 kg beras, 2 kg gula, dan 1 kg telur di sebuah toko

di sekelilingmu (internet,

adalah Rp28.500,00. Harga 2 kg beras, 2 kg gula, dan 5 kg

perpustakaan, dan buku-

telur adalah Rp46.000,00. Seseorang harus membayar

buku referensi).

Rp34.000,00 untuk membeli 5 kg beras, 2 kg gula, dan 1 kg telur di toko itu.

88 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

a. Buatlah sistem persamaan kasus di atas. Kemudian, dari sistem persamaan itu, ubahlah dalam bentuk persamaan matriks.

b. Dengan cara determinan, tentukan berapa rupiah harga

1 kg beras, harga 1 kg gula, dan harga 1 kg telur di toko tersebut?

c. Dengan cara determinan, tentukan berapa rupiah yang harus dibayarkan jika seseorang membeli 3 kg beras, 1 kg gula, dan 2 kg telur?