Deret Aritmetika

2. Deret Aritmetika

Dari sembarang barisan aritmetika, misalnya 2, 5, 8, 11, 14, ... dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yaitu 2 + 5 + 8 + 11 + .... Terlihat bahwa barisan aritmetika dapat dibentuk menjadi deret aritmetika dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika sehingga dapat didefinisikan secara umum.

Misalkan U 1 ,U 2 ,U 3 , ..., U n merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U 1 +U 2 +U 3 + ... + U n disebut deret

aritmetika, dengan U n = a + (n – 1)b.

Seperti telah kalian ketahui, deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S n . Dengan demikian,

S n =U 1 +U 2 +U 3 + ... + U n .

Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S n , perhatikan contoh berikut.

Contoh 1:

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Jawab:

Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskan sebagai berikut.

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40. Setelah kalian amati contoh di atas, kita dapat menentukan

rumus umum untuk S n sebagai berikut.

Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah U n =a+ (n – 1)b. Oleh karena itu,

U 2 =a+b

=U n – (n – 2)b

U 3 = a + 2b

= U n – (n – 3)b

U n =a + (n – 1)b = U n

Barisan dan Deret 113

Dengan demikian, diperoleh S n =a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b) =a + (U n – (n – 2) b) + (U n – (n – 3) b) + ... + U n ............ (1)

Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. U n –1 =U n –b U n –2 =U n –1 –b=U n – 2b U n –3 =U n –2 –b=U n – 3b Demikian seterusnya sehingga S n dapat dituliskan S n =a + (U n – (n – 1)b) + … + (U n – 2b) + (U n –b )+U n ...... (2) Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh S n = a + (U n – (n – 2)b) + (U n – (n – 3)b) + ... + U n

S n =U n

+ (U n –b ) + (U n – 2b) + ... + a + 2S n = (a + U n ) + (a + U n ) + (a + U n ) + ... + (a + U n )

n suku

Dengan demikian, 2S n = n(a + U n )

Kuis

‹ S n = n (a + U n )

• Kerjakan di buku tugas

Sebuah deret aritmetika

mempunyai suku ketiga –11

‹ S n = n (a + (a + (n – 1)b))

dan jumlah dua puluh suku

yang pertama 230. Jumlah sepuluh suku pertama deret

S n = n (2a + (n – 1)b)

itu adalah ....

a. –40 d. –25 b. –35 e. –20

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

1 S = jumlah n suku pertama

n (a + U

) atau

a = suku pertama

b = beda

1 S n = n [2a + (n – 1)b]

U n = suku ke-n

2 n = banyak suku

Contoh 2:

Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + ....

Jawab:

Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

= 10.100 Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.

114 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

Contoh 3:

Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Jawab:

Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9,

12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan U n = 99. Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut.

U n = a + (n – 1)b ‹ 99 = 3 + (n – 1)3 ‹ 3n = 99 ‹ n = 33

Jumlah dari deret tersebut adalah 1

Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683.

Problem Dari suatu deret aritmetika diketahui suku pertamanya 11, Solving

bedanya 4, dan jumlah n suku pertamanya adalah 200. Tentukan banyaknya suku dari deret tersebut.

Jawab:

Diketahui a = 11, b = 4, dan S n = 200. Dari rumus umum jumlah n suku pertama, diperoleh

1 n S = n (2a + (n – 1)b) 2

‹ 1 200 = n [2(11) + (n – 1)4] 2

‹ 400 = n(22 + 4n – 4) ‹ 400 = n(4n + 18)

‹ 4n 2 Tugas: + 18n – 400 = 0

Eksplorasi

Jika setiap suku dibagi 2, persamaan tersebut menjadi

• Kerjakan di buku tugas

2 2n + 9n – 200 = 0

‹ Misalkan jumlah n suku (n – 8)(2n + 25) = 0 pertama dari deret aritmatika

adalah S n . Berapakah nilai

‹ n = 8 atau n =

(diambil n positif karena n bilangan asli)

n +3 – 3S n +2 + 3S n +1 –S n ?

Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 8.

Barisan dan Deret 115

Tugas: Eksplorasi

Menentukan Suku ke- n jika Rumus Jumlah n Suku Pertama

Diberikan

• Kerjakan di buku tugas

Misalkan diberikan suku ke-n barisan aritmetika S . Rumus suku

Tunjukkan bahwa U

n =S n –S n –1

Petunjuk: S n =U 1 +U 2 +U 3 ke-n dapat ditentukan dengan

+ ... + U n –1 +U n dan S n –1 =U 1 +U 2 +U 3 + ... + U n –1

U n =S n –S n –1

Selain dengan menggunakan rumus itu, ada cara lain yang sangat efektif. Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S

2 n = pn + qn.

Suku ke-n dapat ditentukan dengan

U n = 2pn + (q – p)

dengan beda 2p.

Contoh:

Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah S

2 n = 2n – 4n. Tentukan suku ke-n deret tersebut dan bedanya. Tentukan pula

Jawab:

= 2n 2 – 4n A p = 2, q = –4

U n = 2pn + (q – p) =2 u 2 u n + (–4 – 2) = 4n – 6 Beda = 2p = 2(2) = 4

Suku ke-10 dapat ditentukan dengan U 9 =S –S

9 = 2(9 2 9 S 8 ) –4(9) = 126 S

Jadi, U 9 = 126 – 96 = 30

• Kerjakan di buku tugas

Soal Kompetensi 3

1. Hitunglah jumlah deret aritmetika berikut ini.

a. 1 + 4 + 7 + 10 + ... (20 suku)

b. 96 + 93 + 90 + ... (15 suku)

c. –20 – 16 – 12 – 8 – ... (30 suku)

d. 1 + 3,5 + 6 + 8,5 + ... (12 suku)

2. Tentukan unsur-unsur yang diminta.

a. a = 5, U 5 = 11, S 20 = ...

b. b = 2, S 20 = 500, a = ...

c. a = 15, b = –3, S n = 42, n = ...

d. a = 3, U n = 87, U 6 +U 7 = 39, S n = ...

116 Khaz Matematika SMA 3 Bhs

3. Tentukan nilai m jika

a. 5 + 8 + 11 + ... + m = 220;

b. 50 + 46 + 42 + ... + m = 330.

4. Tentukan beda dan suku yang diminta untuk deret berikut.

a. S n = 3n 2 – 9; U 8

b. S n = 4(1 – n 2 ) – 1; U 11

Tantangan

c. S n = –2n 2 + 1; U 100

Eksplorasi

5. Tentukan jumlah semua bilangan berikut.

a. Bilangan asli ganjil kurang dari 100.

• Kerjakan di buku tugas

b. Bilangan asli kurang dari 500 yang habis dibagi 5.

Seorang salesman ber-

keliling menawarkan pro-

c. Bilangan kelipatan 4 antara 25 dan 200.

duknya dengan mengguna-

d. Bilangan asli kurang dari 300 yang tidak habis dibagi 6.

kan sepeda motor. Misalkan

e. Bilangan kelipatan 3 antara 25 dan 200.

pada minggu pertama ia

6. Seorang pemilik kebun memetik jeruk setiap hari, kemudian

melakukan perjalanan se- jauh 1.150 km dan setiap

mencatat banyak jeruk yang dipetik. Ternyata, pada hari

minggu berikutnya jaraknya

pertama ia memperoleh hasil 75 buah. Hari kedua ia

berkurang 75 km. Berapa

memperoleh 125 buah. Tentukan jumlah jeruk yang ia petik

uang yang harus ia keluar-

selama 20 hari pertama jika jumlah jeruk yang dipetik

kan untuk mengisi bensin sampai dengan akhir bulan

mengikuti pola barisan aritmetika.

ke-3 jika harga bensin per

7. Di sebuah pabrik genting, seorang pekerja mampu

liternya Rp4.500,00 dan tiap

menghasilkan 5 lusin genting dalam waktu 1 hari. Jika tiap

liternya dapat menempuh

hari ia diharuskan dapat menambah produksinya sebanyak

jarak 30 km?

1 lusin, dalam berapa harikah ia dapat menghasilkan 2.160 buah genting?

8. Bagan di samping adalah bagan suatu auditorium. Baris pertama memuat 20 kursi, baris kedua 25 kursi, barisan ketiga memuat 30 kursi, dan seterusnya. Berapa jumlah kursi yang ada jika dalam

Gambar 3.1

auditorium itu terdapat 12 baris?

9. Dian dan Ferdi mulai menabung di bank pada saat yang sama. Pada awal menabung Dian menabung Rp80.000,00 dan tiap bulan menabung Rp1.500,00 lebih banyak dari uang yang ditabungkan bulan berikutnya. Ferdi pada awalnya menabung Rp100.000,00 dan bulan berikutnya menabung Rp1.000,00 lebih banyak dari bulan sebelumnya. Tentukan pada bulan keberapakah jumlah tabungan mereka tepat sama.

10. Seorang pedagang meminjam modal x rupiah di Bank Wangsa dengan bunga tunggal 2% sebulan. Setelah satu tahun, ia mengembalikan pinjaman dan bunga semuanya Rp310.000,00. Tentukan berapa rupiah modal yang dipinjam oleh pedagang tersebut.

Barisan dan Deret 117

Jendela Informasi Teorema yang Mengharukan

Informasi lebih lanjut Apakah kamu tahu teorema yang dikemukakan Pierre de

Fermat (1601–1665)? Teorema ini dikembangkan dari teorema Pythagoras yang sangat masyur itu. Menurut teorema Pythagoras, ada banyak pasangan bilangan a, b, dan c yang

memenuhi c 2 =a 2 +b 2 , seperti 5, 3, dan 4 (beserta kelipatannya); 13, 12, dan 5 (beserta kelipatannya); 25, 24, dan 7 (beserta kelipatannya); dan seterusnya.

Pierre de Fermat mengklaim, tidak ada bilangan bulat a,

b , dan c yang memenuhi c n =a n +b n , untuk n > 2. Namun, pembuktiannya saat itu masih dipertanyakan. Banyak ilmuwan yang penasaran dengan teorema yang dilontarkan Fermat. Paul Wolfskehl, profesor matematik asal Jerman, awal tahun 1900-

Pythagoras Sumber:

an berusaha membuktikan teorema tersebut, namun gagal. Rasa

segue.middlebury.edu

prustasi menyelimutinya, ditambah kekecewaan pada kekasihnya membuat ia berniat bunuh diri. Ketika waktu untuk bunuh diri sudah dekat, ia masih penasaran dan mencoba lagi membuktikan Teorema Fermat membuat dia lupa untuk bunuh diri. Sampai akhir hayatnya, teorema ini belum juga terbuktikan. Wolfskehl berwasiat, ia menyediakan uang 100.000 mark bagi orang pertama yang mampu membuktikan teorema itu. Tahun 1995, Dr. Andrew Wiles, matematikawan dari Universitas Princeton, Inggris, berhasil membuktikan teorema Fermat dengan gemilang. Ia akhirnya mendapat hadiah 200.000 dolar dari Yayasan Raja Faisal di Arab Saudi pada tahun 1997.

Sumber : www.mate-mati-kaku.com