Sebaran Asimtotik bagi PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL

jika n ? ? , asalkan s adalah titik Lebesgue dari ?. Sebagaimana 3.15 untuk menghitung MSE menggunakan rumus : ? ?? ??? ? ?? ???? ? ? ? ? ??? ? ?? ???? ? ?? ??? ??? ? ?? ????? ? G Dengan mensubstitusikan 5.5 dan 5.6 diperoleh sebagai berikut : ? ?? ??? ? ?? ? ???? ? ?? ??? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ?? G ? ? untuk n ? ?

5.2 Sebaran Asimtotik bagi

?? ? ?? ? ??? Teorema 5.1 Kenormalan asimtotik bagi ?? ? ?? ? ???? Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua ??? berhingga di s. Misalkan pula kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K1, K2, K3, maka ?? ? ? ?? ??? ? ?? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ??G ? ? jika ? ? ? ? dengan ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ?? ? G ? ? ? Bukti : Untuk membuktikan Teorema 5.1, ruas kiri pada 5.6 dapat ditulis dalam bentuk : ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ??? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? ?? ? ?? ? ??? ? ? ????? ? ?? ? ? ?? ??? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ??? ? ? ????G 5.7 Sehingga, untuk membuktikan 5.6 cukup ditunjukkan ?? ? ? ?? ??? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 5.8 dan ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 5.9 jika ? ? ? G Terlebih dahulu dibuktikan 5.8 yang ruas kirinya dapat dinyatakan dalam bentuk : ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ???? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ???? ? G 5.10 Sehingga untuk membuktikan 5.8, akan ditunjukkan ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?G 5.11 dan ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ???? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 5.12 jika ? ? ? G Bukti dari 5.11 adalah sebagai berikut : Misalkan untuk setiap k = 0,1,2,… ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?G Untuk ? ? ? dan setiap ? ? ? interval ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? dan ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? adalah saling lepas. Hal ini mengakibatkan untuk setiap ? ? ?? peubah acak ? ? dan ? ? adalah saling lepas. Selanjutnya diperoleh bahwa ?? ? ? , k = 0,1,2,… adalah barisan dari peubah acak yang memenuhi i.i.d independent and identically distributed, dengan nilai harapan ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? dan varian ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? yang berhingga, karena kernel K terbatas dan memiliki daerah definisi [-1,1]. Sehingga penduga ?? ? ?? ? ??? dapat dinyatakan dengan ?? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? merupakan jumlah peubah acak i.i.d dikalikan dengan suatu konstanta. Dengan menggunakan Teorema Limit Pusat dapat diperoleh 5.11. Untuk membuktikan 5.12, terlebih dahulu ruas kirinya dinyatakan sebagai berikut : ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ???? Selanjutnya dengan menggunakan 5.4 persamaannya menjadi : ? ?? ? ? ?? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? untuk ? ? ? ? maka diperoleh 5.12. Selanjutnya untuk membuktikan 5.9, dengan menggunakan 5.2, ruas kiri pada 5.9 dapat dinyatakan dengan ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ??? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? untuk ? ? ? ? maka diperoleh 5.9. Dengan demikian Teorema 5.1 terbukti. Teorema 5.2 Kenormalan asimtotik Studentization bagi ?? ? ?? ? ???? Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua ?? berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K1, K2,K3, maka berlaku ?? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ??? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? G ? ? ? Bukti : Untuk membuktikan 5.13, akan ditunjukkan bahwa ? ?? ? ?? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ?? G ? ? ? jika ? ? ? G Jika kedua ruas 5.14 dikuadratkan maka diperoleh ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? G ? ? ? jika ? ? ? G Jadi untuk membuktikan 5.14 cukup dibuktikan ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ?? G ? ? ? jika ? ? ? G Atau sama dengan membuktikan ?? ? ?? ? ??? ? ? ????? ?? G ? ? ? jika ? ? ? G Untuk membuktikan 5.16 digunakan Teorema 3.1 tentang pendekatan asimtotik bagi nilai harapan, yang dinyatakan pada persamaan 5.2, dan Teorema 3.2 tentang pendekatan asimtotik bagi varian, yang dinyatakan pada persamaan 5.4 Untuk membuktikan 5.17 maka akan diperlihatkan untuk setiap ? ? ? berlaku ? ???? ? ?? ? ??? ? ????? ? ?? ? ? ? ?? G ? ? ? jika ? ? ? . Ruas kiri pada 5.18 dapat dinyatakan sebagai berikut: ? ???? ? ?? ? ??? ? ????? ? ?? ? ? ????? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? ?? ? ?? ? ??? ? ? ????? ? ?? G ?? G ? ? ? Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga maka ruas kanan persamaan 5.19 ? ? ???? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? ?? ? ?? ? ??? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ??? ? ??????G ?? G ? ? ? Berdasarkan Teorema 3.1, dari persamaan 5.2 dapat dinyatakan bahwa ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ???? untuk ? ? ? , maka ada bilangan nyata M, sehingga ?? ?? ? ?? ? ??? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? G ?? G ? ? ? Dengan mensubstitusikan persamaan 5.22 ke ruas kanan 5.21, maka 5.20 dapat ditulis menjadi: ? ???? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ? G ?? G ? ? ? Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, maka peluang pada 5.22 adalah ? ? ? ? ??? ? ?? ? ???? ? ? G Berdasarkan Teorema 3.2, serta ? ? ? ? ? ? ? ? diperoleh bahwa ? ? ? ??? ? ?? ? ???? ? ? ? jika ? ? ? , maka ? ? ? ? ??? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? sehingga 5.18 terbukti benar.

5.3 Selang Kepercayaan Fungsi Intensitas Lokal dengan Penduga