Dari hasil simulasi normalitas asimtotik sebagaimana pada Gambar 6, 7 dan 8, dapat juga dilihat Gambar 9-23 pada lampiran 4 menunjukkan bahwa semakin
besar nilai n grafiknya semakin mendekati garis lurus, artinya bahwa sebaran dari penduga mendekati normal.
5.5 Simulasi Selang Kepercayaan bagi
??
? ?? ?
???
Pada simulasi ini dibandingkan banyaknya fungsi intensitas lokal yang berada pada selang kepercayaan teoritis berdasarkan persamaan 5.24 dengan
selang kepercayaan simulasi. Selang kepercayaan teoritis dengan menggunakan fungsi kernel K =
? ?
???? ? ?? ??
dirumuskan sebagai berikut:
?
?
? ? ??
? ?? ?
??? ? ?
? ?
?? ?
? ?
? ?? ?
? ? ??
? ???
? ?? ?
???? ??
? ?? ?
??? ? ?
? ?
?? ?
? ?
? ?? ?
? ? ??
? ???
? ?? ?
????
5.27 dimana
?
menyatakan fungsi distribusi normal baku, dan
? ????? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?G
Sedangkan selang kepercayaan simulasi dirumuskan sebagai berikut:
?
?
? ? ??
? ?? ?
??? ? ?
? ?
?? ?
? ?
? ? ? ? ? ???
? ?? ?
???? ? ??
? ?? ?
??? ? ?
? ?
?? ?
? ?
? ? ? ? ? ???
? ?? ?
?????
.
5.28 Sebagaimana simulasi terdahulu, simulasi ini juga menggunakan metode
Monte Carlo dengan membangkitkan realisasi sejumlah bilangan acak yang merupakan realisasi proses Poisson. Pembangkitan realisasi dari proses Poisson
dipilih untuk n = 100, n = 500, dan n = 1000. Pendugaan dilakukan pada tiga titik, sebagaimana pada simulasi terdahulu
yaitu di s = 2.6 mewakili nilai
? ???
yang kecil, di s = 4 mewakili nilai
? ???
yang sedang, dan di s =4.9 mewakili nilai
? ???
yang besar dengan periode
? ? ?
. Sedangkan pendugaan
?
untuk periode
? ? ? ?
dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 5.2 mewakili nilai
? ???
yang kecil, di s = 8 mewakili nilai
? ???
yang
sedang, dan di s =9.8 mewakili nilai
????
yang besar . Hasil simulasi dengan taraf kepercayaan
? ? ? G ? ?
dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4. Hasil simulasi selang kepercayaan dengan
? ? ? G ? ?
dan M = 1000
tau t it ik
n hn
indeks SK
t eor it is SK
sim ulasi prosent ase
SK t eorit is prosest ase
SK sim ulasi
5 2.6
100 0.39810
1 938
952 93.8
95.2 500
0.28853 2
950 944
95.0 94.4
1000 0.25118
3 955
952 95.5
95.2
4 100
0.39810 4
935 945
93.5 94.5
500 0.28853
5 939
951 93.9
95.1 1000
0.25118 6
943 944
94.3 94.4
4.9 100
0.39810 7
856 871
85.6 87.1
500 0.28853
8 914
908 91.4
90.8 1000
0.25118 9
911 931
91.1 93.1
10 5.2
100 0.39810
10 901
950 90.1
95.0 500
0.28853 11
922 957
92.2 95.7
1000 0.25118
12 942
946 94.2
94.6
8 100
0.39810 13
893 913
89.3 91.3
500 0.28853
14 936
946 93.6
94.6 1000
0.25118 15
941 949
94.1 94.9
9.8 100
0.39810 16
866 906
86.6 90.6
500 0.28853
17 924
940 92.4
94.0 1000
0.25118 18
949 944
94.9 94.4
Secara umum dari tabel tersebut bisa dilihat, jika semakin panjang interval pengamatan, maka akan diperoleh selang kepercayaan bagi penduga fungsi
intensitas lokal yang semakin pendek, hal ini berkaitan dengan nilai simpangan baku yang semakin kecil.
BAB VI KESIMPULAN
Untuk menduga fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson periodik dengan periode
?
diketahui yang diamati pada interval
?? ?? ??
dilakukan pendugaan
? ???
di titik
? ? ?? ?? ?
cukup diduga nilai
? ???
pada
? ? ?? ???
. Penduga tipe kernel dari fungsi intensitas
?
pada titik
? ? ?? ???
dirumuskan sebagai berikut:
??
? ??
??? ?? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ? ?? ?
?
? ? ?? ? ?
? ?
?
jika
? ? ? G
Dari kajian yang telah dilakukan oleh peneliti terdahulu diperoleh rumusan bandwidth optimal berikut :
?
?
? ? ? ?? ??? ?
?
?
?? ?? ?
? ? ?
??
??
??? ? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
?
? ??
?? ?
? ? ??
G
1. Berdasarkan hasil simulasi, diperoleh bahwa perilaku penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan menggunakan bandwidth
optimal dan bandwidth optimal asimtotik adalah tidak jauh berbeda. Oleh sebab itu dilakukan pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson
periodik dengan bandwidth optimal asimtotik, yaitu
?
?
? ?
? ? ?
?
.
Dengan mensubstitusi nilai bandwidth tersebut, diperoleh
??
? ?? ?
??? ? ?
?? ?
? ??
? ?
? ? ? ? ?? ? ? ??
?? ?
? ? ??
? ? ?? ? ?
? ?
? ? ? ?
G
2.
Selanjutnya dilakukan pengkajian
mengenai sifat-sifat statistik dan kenormalan asimtotik, yang hasilnya sebagai berikut:
a. Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan
??
? ?? ?
???
adalah
? ??
? ?? ?
??? ? ? ??? ?
? ?
?
??
????? ?
?
? ?
? ?
?
? ?? ?? ? ? ? ??? ?
?
? ?
?
? ? ?
?
jika
n
? ?
.
b.
Aproksimasi asimtotik bagi ragam
??
? ?? ?
???
adalah
? ? ? ???
? ?? ?
???? ?
? ? ??? ?? ?
? ??
? ?
?
?? ?
? ? ?
? ? ? ? ??? ?
? ? ??
?
,
jika
n
? ?
.
c.
Mean Square Error MSE
??
? ?? ?
???
adalah
? ? ? ???
? ?? ?
???? ? ??? ??? ? ?
?
?? ?
? ?
? ? ? ?
? ?? ??????
?
? ? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
??? ?
? ? ??
? ? ??? ?
? ? ??
??
jika
n
? ?
.
d. Kenormalan asimtotik bagi
??
? ?? ?
???
, adalah
?? ?
? ??
???
? ?? ?
??? ? ? ????
?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
?
??
jika
? ? ? G
dengan
? ?
? ?
?
??
??? ? ?
?
? ?? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ?? ??? ? ?
?
?? ?? ? G
? ? ?
3. Berdasarkan kajian dari sifat-sifat statistika dan kenormalan asimtotik dari penduga
??
? ?? ?
???
dapat disimpulkan bahwa: Kenormalan asimtotik studentization bagi
??
? ?? ?
???
adalah
?? ?
? ??
? ???
? ?? ?
??? ? ?
?
?? ?
? ? ?
? ? ???
? ?? ?
??? ? ? ????
?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??
jika
? ? ?
. 4. Sebagai aplikasi dari kenormalan studentization bagi
??
? ?? ?
???
dapat diperoleh suatu selang kepercayaan bagi
? ???
, adalah sebagai berikut:
?
?
? ? ??
? ?? ?
??? ? ?
? ?
?? ? ?
? ? ?? ?
? ? ??
? ???
? ?? ?
??? ? ?
?
?? ?
? ? ?
? ? ?
??
? ?? ?
??? ? ?
? ?
?? ? ?
? ? ?? ?
? ? ??
? ???
? ?? ?
??? ? ?
?
?? ?
? ? ?
? ? ?
dimana
?
menyatakan fungsi distribusi normal baku dan
? ????? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ?? ??
untuk
? ? ?
, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi
?
.
5. Hasil simulasi kenormalan asimtotik studentization bagi
??
? ?? ?
???
menunjukkan bahwa sebaran dari penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik mendekati normal baku.
6. Nilai peluang fungsi intensitas lokal berada pada selang kepercayaan teoritis hampir sama dengan nilai peluangnya pada selang kepercayaan hasil simulasi.
DAFTAR PUSTAKA
Arifin, Z. 2008. Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik. Departemen
Matematika IPB. Tesis. Bogor. Browder A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. New York: Springer.
Cressie, N. 1991. Statistics for Spatial Data. New York: Wiley. Diggle, P. J. 1985. A Kernel method for smoothing point proses data. Applied
Statistic, 34, 138-147. Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wardswort
Brooks. Ghahramani S, 2005, Fundamental of Probability with Stochastics Processes. Ed.
Ke-3. New Jersey: Pearson Prentice Hall. Grimmet GR, Stizaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed.ke 2.
Oxford: Clarendon Press. Farida, T. 2008. Pendugaan Komponen Periodik dari Fungsi Intensitas Proses
Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Hardle, W. 1991. Smoothing Techiques, Springer-Verlag, New York. Hardle, W. 1993. Applied Nonparametric Regression, Cambridge University
Press. Helmers R. 1995. On estimation the intensity of oil-polution in the North-Sea.
CWI Note BS-N9501. Helmers R, Mangku I W., Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity
function of a cyclic Poisson proses. Journal of Multivariate Analysis. 84, 19- 39.
Helmers R, Mangku I W., Zitikis R. 2005. Statistical properties of the intensity function of the intensity function of cyclic Poisson process. Journal of
Multivariate Analysis. 92, 1-23.
Herniwati. 2007. Kekonsistenan Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas suatu Proses Poisson Periodik. Departemen
Matematika IPB. Skripsi. Bogor.
Hidayah, S. 2009. Selang Kepercayaan bagi Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Hogg RV, Craig AT, Mc Kean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed.Ke-5. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.
Mangku, I W., 2006. Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its
Application. Vol.5, No:2, 13-22
Roos S. M., 2007. Introduction to Probability Models. Ed. 9. Burlington: Elsevier, Inc.
Serflling, R. J. 1980. Aproximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley Sons.
Surawu, Joko. 2009. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas suatu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Departemen
Matematika IPB. Tesis. Bogor. Syamsuri. 2007. Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi
Intensitas Proses Poisson Periodik. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Walpole, R. E. 1982. Pengantar Statistika. Jakarta: Gramedia. Wheeden, R.L. and Zygmund. 1977. Measure and Integral: An Introduction to
Real Analysis. New York: Marcel Dekker, Inc.
LAMPIRAN
Lampiran 1 : Beberapa definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan peluang
Dalam penelitian biasanya diperlukan pengamatan yang diperoleh melalui percobaan yang dilakukan secara berulang dalam kondisi yang sama. Hasil
percobaan tersebut tidak dapat diprediksi dengan tepat, tetapi bisa diketahui semua kemungkinan hasilnya. Percobaan semacam ini disebut dengan percobaan
acak.
Definisi 1 : Ruang contoh
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dinotasikan dengan
p
. Grimmett dan Stirzaker , 2001
Definisi 2 : Kejadian
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh
p
. Grimmett dan Stirzaker , 2001
Definisi 3: Kejadian lepas
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong
? ?
. Grimmett dan Stirzaker, 2001
Definisi 4 : Kejadian saling bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:
? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?G
Secara umum himpunan kejadian
??
?
?? ? ??
dikatakan saling bebas jika :
? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ? ??
?
?
?? ?
?
untuk setiap himpunan bagian J dari I. Grimmett dan Stirzaker , 2001
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 5 : Peubah acak
Misalkan adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada yang memetakan setiap unsur
? ?
? kesatu dan hanya satu
bilangan real X
? ?
= x disebut peubah acak.
Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real
? ? ?? ?? ?
X
? ?? ? ?
?
?G
Hogg et al, 2005 Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X, Y, Z.
Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran.
Definisi 6 : Fungsi sebaran
Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang
?
. Misalkan kejadian
? ? ??
?
?? ? ? ? ?
maka peluang dari kejadian A adalah
? ?? ? ? ? ? ?
?
?? ?G
Fungsi
?
?
disebut fungsi sebaran dari peubah acak X. Hogg et al, 2005
Definisi 7 : Peubah acak diskret
Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret jika semua himpunan nilai dari semua peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.
Hogg et al, 2005
Definisi 8 : Fungsi massa peluang
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi
? ?? ? ?? ?? ?
yang diberikan oleh:
?
?
?? ? ? ? ?? ? ? ?G
Hogg et al, 2005
Definisi 9 : Peubah acak Poisson
Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter ?, ? , jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh
?
?
?? ? ? ?
?
?
?
?
? K ?
untuk k = 0, 1, 2,… Ross , 2007
Nilai Harapan dan Varian Definisi 10 : Nilai harapan
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
?
?
?? ?
. Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan EX, adalah
? ?? ? ? ? ? ?
?
?? ?
? ?
?
jika jumlah di atas konvergen mutlak. Hogg et al, 2005
Definisi 11: Varian
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
?
?
?? ?
dan
nilai harapan EX. Ragam atau varian dari X, dinotasikan dengan VarX atau
?
? ?
, adalah
?
? ?
? ? ??? ? ? ?? ??
?
? ? ? ?? ? ? ?? ??
? ? ?
?
?
?? ?G
Hogg et al, 2005
2.5 Penduga Definisi 12 : Statistik
