Proses Poisson Periodik Definisi : Proses stokastik

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 : Proses stokastik Proses stokastik X={Xt, t T ∈ } adalah suatu himpunan dari peubah acak Xt yang memetakan suatu ruang contoh p ke suatu ruang state S. Ross, 2007 Dengan demikian, Xt merupakan suatu peubah acak untuk setiap t pada himpunan indeks T, dengan t menyatakan waktu dan Xt kita sebut sebagai keadaan state dari proses pada waktu t. Dalam hal ini ruang state S dapat berupa himpunan bilangan bulat atau himpunan bagiannya atau dapat juga berupa himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya. Definisi 2.2 : Proses stokastik dengan waktu kontinu Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. Definisi 2.3 : Inkreme n bebas Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {Xt, t T ∈ } disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua , ... 2 1 n t t t t peubah acak 1 t X - t X , 2 t X - 1 t X ,…, n t X - 1 − n t X adalah bebas. Ross, 2007 Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih tidak overlap adalah bebas. Definisi 2.4 : Inkremen stasioner Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {Xt, t T ∈ } disebut memiliki inkremen stasioner jika ? ?? ? ?? ? ? ??? memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. Ross, 2007 Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak bergant ung pada lokasi titik–titik tersebut. Proses Poisson merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kita anggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif, yaitu [0, 8. Definisi 2.5 : Proses pencacahan Suatu proses stokastik {Nt, t= ? } disebut proses pencacahan jika Nt menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses pencacahan Nt harus memenuhi syarat- syarat sebagai berikut. i Nt = 0 untuk semua t ? [0, 8. ii Nilai Nt adalah integer. iiiJika s t maka Ns = Nt, s,t ? [0, 8 . iv Untuk s t maka Nt - Ns, sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval s, t]. Ross, 2007 Definisi 2.6 : Proses Poisson Suatu proses pencacahan {Nt, t=0} disebut proses Poisson dengan laju ?, ?0, jika dipenuhi tiga syarat berikut. i N0 = 0. ii Proses tersebut memiliki inkremen bebas. iiiBanyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan ?t. Jadi untuk semua t, s0, ? ?? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? K ? ? ? ? ?? ?? ?g Ross, 2007 Dari syarat iii dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa ? ?? ???? ? ?t, yang menjelaskan bahwa proses Poisson memiliki laju ?. Definisi 2.7 : Proses Poisson homogen Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju ? yang merupakan konstanta untuk semua waktu t. Ross, 2007 Definisi 2.8 : Proses Poisson tak homogen Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju pada sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu ?t. Ross, 2007 Definisi 2.9 : Fungsi intensitas Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {Nt, t ? 0}, yaitu ?t disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t. Cressie, 1991 Definisi 2.10 : Intensitas lokal Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas ? pada titik s ? R adalah ?s, yaitu nilai fungsi ? di s. Cressie, 1991 Definisi 2.11 : Fungsi intensitas global Misalkan N[0, n] adalah proses Poisson pada interval [0, n]. Fungsi intensitas global ? dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai ? ? ??• ? ? ? ? ? ??? ?? ?? ? ? jika limit di atas ada. Cressie, 1991 Definisi 2.12 : Fungsi periodik Suatu fungsi ? disebut periodik jika ? ?? ? ? ?? ? ? ???? untuk semua ? ? ? dan k ? ? , dengan ? adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil ? yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi ? tersebut. Browder, 1996 Definisi 2.13 : Proses Poisson periodik Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. Cressie,1991

2.4 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik