Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas Pemilihan Bandwidth Optimal

?? ? ?? ??? ? ? ? s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? G 3.4 Penduga yang didefinisikan pada 3.4 dinamakan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik. Ide di balik perumusan penduga ?? ? ?? ??? dapat digambarkan sebagai berikut. Nilai fungsi ???? di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s, yaitu banyaknya kejadian pada interval [ ? ? ? ? ?? ? ? ? ], untuk ? ? ? ? . Nilai rataan ini dapat dinyatakan sebagai : ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? . 3.5 Karena fungsi ? adalah periodik dengan periode ? , maka untuk menduga nilai fungsi ? ??? dapat juga digunakan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s+k ? , asalkan s+k ? ? ?? ?? ? . Sehingga untuk setiap k ? ? , nilai rataannya dapat dinyatakan sebagai : ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ??G 3.6 Banyaknya k sehingga ? ? ? ? ? ?? ?? ? adalah mendekati ? ? . Jadi nilai rataan dari semua rataan di atas untuk semua k sehingga ? ? ? ? ? ?? ?? ? adalah ? ??? ? s ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? s ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? = ? ? s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 3.7 dengan ??? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ??• ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??• ? ? ? ?? ? ?? ? dimana ? ? := ? ? ??? ? ?? ? ?? ??G Agar penduga ini lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K yang memenuhi K1, K2, dan K3, sehingga diperoleh persamaan 3.4.

3.2 Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas

Sifat-sifat statistika penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan periode diketahui Mangku, 2006 adalah sebagai berikut : Teorema 3.1 : Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan ?? ? ?? ??? Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua ? ?? berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K1, K2, K3, ? ? ? ? ? dan ? ? ? ? ? ? , maka ? ?? ? ?? ??? ? ?s+ ? ? ? ?? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? , 3.8 jika n ? ? Bukti : Lihat Mangku 2006 Teorema 3. 2 : Aproksimasi asimtotik varians ?? ? ?? ??? Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal , berhingga di s. Jika kernel K adalah memenuhi kondisi K1, K2, K3, ? ? ? ? maka ? ? ? ??? ? ?? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.9 jika n ? ? , asalkan s adalah titik Lebesgue dari ? Bukti: Lihat Mangku 2006

3.3 Pemilihan Bandwidth Optimal

Dalam penelitian ini, yang dimaksud bandwidth ? ? ? adalah jarak antara titik s dengan titik terjauh yang disertakan dalam pendugaan fungsi intersitas di titik s, dimana ? ? ? ? dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t]. Penentuan bandwidth optimal diperlukan, agar pendugaan fungsi intensitas sedekat mungkin terhadap fungsi intensitasnya. Nilai optimum dari ? ? tergantung pada kriteria yang digunakan untuk mengukur akurasi dari ?? ? ?? ??? . Kriteria yang bisa digunakan adalah mean square error MSE Cressie, Hardle, 1991. Untuk menduga bandwidth optimal dilakukan dengan meminimumkan ? ?? ??? ? ?? ???? , dengan terlebih dahulu menentukan turunan pertamanya. Rumus umum yang digunakan adalah sebagai berikut : ? ?? ??? ? ?? ???? ? ? ??? ? ?? ??? ? ? ???? ? G 3.10 ? ? ? ? ??? ? ?? ???? ? ?? ??? ??? ? ?? ????? ? G 3.11 Dengan mensubstitusikan 3.8 dan 3.9 ke 3.11 diperoleh langkah- langkah sebagai berikut : ? ?? ??? ? ?? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? , jika ? ? . 3.12 Selanjutnya ditentukan turunan pertama ? ?? ??? ? ?? ???? terhadap ? ? sebagai berikut ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ?? ????? = ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? + ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? G 3.13 Agar ? ?? ??? ? ?? ???? minimum maka turunan pertamanya sama dengan 0, sehingga diperoleh sebagai berikut : ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ?? ????? ? ? . ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? G 3.14 Selanjutnya untuk menentukan jenis optimumnya, ditentukan turunan kedua ? ?? ??? ? ?? ???? terhadap ? ? sebagai berikut ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? G 3.15 Dari 3.15 diketahui turunan kedua ? ?? ??? ? ?? ???? terhadap ? ? bernilai positif, sehingga syarat ? ?? ??? ? ?? ???? minimum terpenuhi. Dengan demikian diperoleh bandwidth optimal penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik.

BAB IV SIMULASI PEMBANDINGAN PERILAKU PENDUGA