??
? ??
??? ?
? ?
s
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
?
? ? ?? ? ?
? ?
G
3.4 Penduga yang didefinisikan pada 3.4 dinamakan penduga tipe kernel dari fungsi
intensitas lokal proses Poisson periodik. Ide di balik perumusan penduga
??
? ??
???
dapat digambarkan sebagai berikut. Nilai fungsi
????
di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s, yaitu banyaknya kejadian pada interval [
? ? ?
?
?? ? ?
?
], untuk
?
?
? ?
. Nilai rataan ini dapat dinyatakan sebagai :
? ? ?
?
? ??? ? ?
?
?? ? ?
?
??
. 3.5
Karena fungsi
?
adalah periodik dengan periode
?
, maka untuk menduga nilai fungsi
? ???
dapat juga digunakan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s+k
?
, asalkan s+k
? ? ?? ?? ?
. Sehingga untuk setiap k
? ?
, nilai rataannya dapat dinyatakan sebagai :
? ? ?
?
? ??? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ? ?
?
?? ? ?? ?? ??G
3.6 Banyaknya k sehingga
? ? ? ? ? ?? ?? ?
adalah mendekati
? ?
. Jadi nilai rataan dari semua rataan di atas untuk semua k sehingga
? ? ? ? ? ?? ?? ?
adalah
? ??? ? s
? ? ?
?
? ??? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ? ?
?
?? ? ?? ?? ??
? ? ? ?
? ?
?
=
? ?
s
? ?
?
?
? ?
? ?
??? ? ?? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ? ?
?
??? ?? ? ?
? ? ? ?
=
? ?
s
? ?
?
? ?
? ?
?
?
? ? ??? ? ? ?
?
? ? ?? ? ?
? ? ? ?
3.7 dengan
??? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ??• ? ? ? ?? ? ?? ?
? ? ??• ? ? ? ?? ? ?? ?
dimana
?
?
:=
? ?
??? ? ?? ? ?? ??G
Agar penduga ini lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K yang memenuhi K1, K2, dan K3, sehingga diperoleh
persamaan 3.4.
3.2 Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas
Sifat-sifat statistika penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan periode diketahui Mangku, 2006 adalah sebagai
berikut :
Teorema 3.1 : Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan
??
? ??
???
Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua
?
??
berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K1, K2, K3,
?
?
? ? ?
dan
? ?
? ?
? ?
, maka
? ??
? ??
??? ?
?s+
? ?
?
??
????
? ?
? ?
?
? ?? ?? ? ? ? ??
? ?
?
? ? ?
, 3.8
jika n
? ?
Bukti :
Lihat Mangku 2006
Teorema 3. 2 : Aproksimasi asimtotik varians
??
? ??
???
Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal , berhingga di s. Jika kernel K adalah memenuhi kondisi K1, K2, K3,
?
?
? ?
maka
? ? ? ???
? ??
???? ?
? ? ??? ? ?
?
? ?
?
?? ?? ? ? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ?
3.9 jika n
? ?
, asalkan s adalah titik Lebesgue dari ?
Bukti: Lihat Mangku 2006
3.3 Pemilihan Bandwidth Optimal
Dalam penelitian ini, yang dimaksud bandwidth
?
?
?
adalah jarak antara titik s dengan titik terjauh yang disertakan dalam pendugaan fungsi intersitas di titik s,
dimana
?
?
? ?
dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t]. Penentuan bandwidth optimal diperlukan, agar pendugaan fungsi intensitas
sedekat mungkin terhadap fungsi intensitasnya. Nilai optimum dari
?
?
tergantung pada kriteria yang digunakan untuk mengukur akurasi dari
??
? ??
???
. Kriteria yang bisa digunakan adalah mean square error MSE Cressie, Hardle, 1991.
Untuk menduga bandwidth optimal dilakukan dengan meminimumkan
? ?? ???
? ??
????
, dengan terlebih dahulu menentukan turunan pertamanya. Rumus umum yang digunakan adalah sebagai berikut :
? ?? ???
? ??
???? ? ? ???
? ??
??? ? ? ????
?
G
3.10
? ? ? ? ???
? ??
???? ? ?? ??? ???
? ??
?????
?
G
3.11 Dengan mensubstitusikan 3.8 dan 3.9 ke 3.11 diperoleh langkah- langkah
sebagai berikut :
? ?? ???
? ??
???? ?
? ? ??? ? ?
?
? ?
?
?? ?? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
? ? ?
+
?
? ?
?
??????
? ?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
? ? ??
? ?
??
?
? ?? ???
? ?
?
? ?
?
?? ?? ? ? ? ?
? ???????
? ?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
??????
? ?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
? ?? ??
? ?
?? ? ? ? ?
? ?
?
? ? ? ??
? ?
? ?
? ? ??? ? ?
?
? ?
?
?? ?? ?
? ? ?
? ?
? ?
???????
? ?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ??
? ?
?
, jika
? ?
. 3.12
Selanjutnya ditentukan turunan pertama
? ?? ???
? ??
????
terhadap
?
?
sebagai berikut
? ? ?
?
?? ?? ???
? ??
?????
=
?
? ? ? ??? ? ?
? ?
? ?
?
?? ?? ?
? ? ?
+
? ?
? ?
???????
? ?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
? ????????
?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
=
?
? ? ? ??? ? ?
? ?
? ?
?
?? ?? ?
? ? ?
? ?
?
????????
?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
G
3.13 Agar
? ?? ???
? ??
????
minimum maka turunan pertamanya sama dengan 0, sehingga diperoleh sebagai berikut :
? ? ?
?
?? ?? ???
? ??
????? ? ?
.
? ? ?????
? ?
? ?
? ?
?
?? ?? ?
? ? ?
? ?
?
? ???????
?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
?
? ???????
?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
? ? ?? ???
? ?
? ?
? ?
?
?? ?? ?
? ? ?
?
? ?
? ?????? ? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
? ?
?
? ?
? ?? ??? ?
? ?
?
?? ?? ?
? ? ?
?
? ?
?
? ?
? ?????? ? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
? ? ?? ???
? ?
?
?
?? ?? ?
? ? ?
?
? ?
? ?
??
??? ? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
? ? ?? ???
? ?
?
?
?? ?? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ?? ???
? ?
?
?
?? ?? ?
? ? ?
??
??
??? ? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
?
?
? ? ? ?? ??? ?
?
?
?? ?? ?
? ? ?
? ??
??
??? ? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
?
? ??
?
?
? ?
? ? ? ??? ? ?
?
?? ?? ?
? ? ?
??
??
??? ? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
?
? ? ?
?? ?
? ? ? ?
G
3.14 Selanjutnya untuk menentukan jenis optimumnya, ditentukan turunan
kedua
? ?? ???
? ??
????
terhadap
?
?
sebagai berikut
?
?
? ?
? ?
?? ?? ???
? ??
????? ? ?
? ? ? ??? ? ?
? ?
? ?
?
?? ?? ?
? ? ?
? ????????
?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
? ??
?
????????
?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
? ??????? ? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ??? ? ?
? ?
? ?
?
?? ?? ?
? ? ?
? ????????
?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
? ? ????????
?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
?
? ? ? ??? ? ?
? ?
? ?
?
?? ?? ?
? ? ?
? ? ????????
?
? ?
?
? ?? ?? ?
? ? ?
?
?
G
3.15 Dari 3.15 diketahui turunan kedua
? ?? ???
? ??
????
terhadap
?
?
bernilai positif, sehingga syarat
? ?? ???
? ??
????
minimum terpenuhi. Dengan demikian diperoleh bandwidth optimal penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik.
BAB IV SIMULASI PEMBANDINGAN PERILAKU PENDUGA