Perumusan Penduga Fungsi Intensitas

BAB III REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA

FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK

3.1 Perumusan Penduga Fungsi Intensitas

Misalkan N adalah proses Poisson pada interval ?? ?? ? dengan fungsi intensitas ? tidak diketahui yang terintegralkan lokal. Diasumsikan bahwa ? adalah periodik dengan periode diketahui, yaitu ? . Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari ?, kecuali asumsi bahwa ? adalah periodik. Karena ? adalah periodik maka untuk setiap titik ? ? ?? ?? ? dan untuk semua ? ? ? dengan ? adalah himpunan bilangan bulat, berlaku: ??? ? ? ?? ? ? ???G 3.1 Misalkan bahwa untuk suatu ? ? p , hanya terdapat realisasi tunggal N ? ? dari proses Poisson N yang terdefinisi pada ruang peluang ?p ? ? ?? ? dengan fungsi intensitas ? yang diamati hanya pada interval terbatas [0, n]. Diasumsikan juga bahwa s adalah titik Lebesgue dari ?, sehingga berlaku: ??• ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? G ??G ? ? Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesgue dari ? adalah fungsi ? kontinu di s. Karena ? adalah periodik dengan periode ? maka untuk menduga ???? di titik ? ? ?? ?? ? cukup diduga nilai ???? pada ? ? ?? ???G Misalkan K : ? ? ?? ?? ? merupakan fungsi yang bernilai real, dinamakan fungsi kernel yang memenuhi sifat-sifat berikut Helmers et al., 2003 : K1 K adalah fungsi kepekatan peluang K2 K terbatas K3 K terdefinisi pada daerah [-1,1]. Misalkan juga ? ? merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu: ? ? ? ? ? ??G ? ? untuk ? ? ? G Penduga dari fungsi intensitas ? pada titik ? ? ?? ??? didefinisikan sebagai berikut : ?? ? ?? ??? ? ? ? s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? G 3.4 Penduga yang didefinisikan pada 3.4 dinamakan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik. Ide di balik perumusan penduga ?? ? ?? ??? dapat digambarkan sebagai berikut. Nilai fungsi ???? di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s, yaitu banyaknya kejadian pada interval [ ? ? ? ? ?? ? ? ? ], untuk ? ? ? ? . Nilai rataan ini dapat dinyatakan sebagai : ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? . 3.5 Karena fungsi ? adalah periodik dengan periode ? , maka untuk menduga nilai fungsi ? ??? dapat juga digunakan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s+k ? , asalkan s+k ? ? ?? ?? ? . Sehingga untuk setiap k ? ? , nilai rataannya dapat dinyatakan sebagai : ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ??G 3.6 Banyaknya k sehingga ? ? ? ? ? ?? ?? ? adalah mendekati ? ? . Jadi nilai rataan dari semua rataan di atas untuk semua k sehingga ? ? ? ? ? ?? ?? ? adalah ? ??? ? s ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? s ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? = ? ? s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 3.7 dengan ??? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ??• ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??• ? ? ? ?? ? ?? ? dimana ? ? := ? ? ??? ? ?? ? ?? ??G Agar penduga ini lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K yang memenuhi K1, K2, dan K3, sehingga diperoleh persamaan 3.4.

3.2 Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas