BAB III REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA
FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK
3.1 Perumusan Penduga Fungsi Intensitas
Misalkan N adalah proses Poisson pada interval
?? ?? ?
dengan fungsi intensitas ? tidak diketahui yang terintegralkan lokal. Diasumsikan bahwa ? adalah periodik
dengan periode diketahui, yaitu
?
. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari ?, kecuali asumsi bahwa ? adalah periodik. Karena ? adalah
periodik maka untuk setiap titik
? ? ?? ?? ?
dan untuk semua
? ? ?
dengan
?
adalah himpunan bilangan bulat, berlaku:
??? ? ? ?? ? ? ???G
3.1 Misalkan bahwa untuk suatu
? ? p
, hanya terdapat realisasi tunggal N
? ?
dari proses Poisson N yang terdefinisi pada ruang peluang
?p ? ? ?? ?
dengan fungsi intensitas ? yang diamati hanya pada interval terbatas [0, n].
Diasumsikan juga bahwa s adalah titik Lebesgue dari ?, sehingga berlaku:
??•
? ? ?
? ? ?
? ? ??? ? ? ? ? ? ????
? ? ?
? ? ? ? G ??G
? ?
Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesgue dari ? adalah fungsi ? kontinu di s. Karena ? adalah periodik dengan periode
?
maka untuk menduga
????
di titik
? ? ?? ?? ?
cukup diduga nilai
????
pada
? ? ?? ???G
Misalkan K :
? ? ?? ?? ?
merupakan fungsi yang bernilai real, dinamakan fungsi kernel yang memenuhi sifat-sifat berikut Helmers et al., 2003 :
K1 K adalah fungsi kepekatan peluang K2 K terbatas
K3 K terdefinisi pada daerah [-1,1]. Misalkan juga
?
?
merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu:
?
?
? ? ? ??G
? ?
untuk
? ? ? G
Penduga dari fungsi intensitas
?
pada titik
? ? ?? ???
didefinisikan sebagai berikut :
??
? ??
??? ?
? ?
s
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
?
? ? ?? ? ?
? ?
G
3.4 Penduga yang didefinisikan pada 3.4 dinamakan penduga tipe kernel dari fungsi
intensitas lokal proses Poisson periodik. Ide di balik perumusan penduga
??
? ??
???
dapat digambarkan sebagai berikut. Nilai fungsi
????
di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s, yaitu banyaknya kejadian pada interval [
? ? ?
?
?? ? ?
?
], untuk
?
?
? ?
. Nilai rataan ini dapat dinyatakan sebagai :
? ? ?
?
? ??? ? ?
?
?? ? ?
?
??
. 3.5
Karena fungsi
?
adalah periodik dengan periode
?
, maka untuk menduga nilai fungsi
? ???
dapat juga digunakan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s+k
?
, asalkan s+k
? ? ?? ?? ?
. Sehingga untuk setiap k
? ?
, nilai rataannya dapat dinyatakan sebagai :
? ? ?
?
? ??? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ? ?
?
?? ? ?? ?? ??G
3.6 Banyaknya k sehingga
? ? ? ? ? ?? ?? ?
adalah mendekati
? ?
. Jadi nilai rataan dari semua rataan di atas untuk semua k sehingga
? ? ? ? ? ?? ?? ?
adalah
? ??? ? s
? ? ?
?
? ??? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ? ?
?
?? ? ?? ?? ??
? ? ? ?
? ?
?
=
? ?
s
? ?
?
?
? ?
? ?
??? ? ?? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ? ?
?
??? ?? ? ?
? ? ? ?
=
? ?
s
? ?
?
? ?
? ?
?
?
? ? ??? ? ? ?
?
? ? ?? ? ?
? ? ? ?
3.7 dengan
??? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ??• ? ? ? ?? ? ?? ?
? ? ??• ? ? ? ?? ? ?? ?
dimana
?
?
:=
? ?
??? ? ?? ? ?? ??G
Agar penduga ini lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K yang memenuhi K1, K2, dan K3, sehingga diperoleh
persamaan 3.4.
3.2 Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas