Definisi 2.13 : Proses Poisson periodik
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
Cressie,1991
2.4 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas dari suatu proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi
intensitas lokal yang lebih sering hanya disebut fungsi intensitas dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik
tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata – rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu interval dengan panjang menuju tak hingga.
Untuk menduga fungsi intensitas dapat digunakan pendekatan non parametrik Diggle, 1985. Salah satu pendekatan non parametrik yang dapat
digunakan adalah pendekatan fungsi kernel. Adapun hal ini karena fungsi intensitasnya tidak diketahui, sehingga untuk menduga bentuk fungsinya dapat
didekati dengan fungsi penduga Kernel Hardle, 1993. Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu
proses Poisson di titik s ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis,
misalkan
?
?
? ?
dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t], maka intensitas di titik s dapat dihampiri oleh
? ? ?
?
? ??? ? ?
?
?? ? ?
?
??G
Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian
proses Poisson tersebut pada selang waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas global dapat dihampiri dengan
? ?
? ??? ?? ??G
Penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan
periode yang tidak diketahui. Pada periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas
dengan periode yang diketahui. Namun demikian, Helmers et al. 2003, 2005
telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk menjelaskan kekonsistenan dan sifat-sifat statistik a dari penduga fungsi intensitas
proses Poisson periodik tersebut. Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pendugaan fungsi intensitas lokal
proses Poisson periodik. Fungsi intensitas proses Poisson digunakan dalam pemodelan laju polusi minyak di Laut Utara Belanda Helmers 1995. Pada
perkembangan berikutnya, setelah didapat rumusan penduga fungsi intensitas, dilanjutkan dengan pendugaan turunan pertama dan kedua oleh Syamsuri 2007.
Diperoleh rumusan baru yaitu penduga turunan pertama dan kedua terhadap fungsi intensitas proses poisson periodik, yang kemudian dilanjutkan oleh
Herniwati 2007 dan Arifin 2008 . Herniwati mengkaji tentang kekonsistenan penduga, sedangkan Arifin mengkaji tentang sebaran asimtotik nya. Dalam
kajiannya diperoleh hasil bahwa penduga turunan pertama fungsi intensitas bersifat konsisten dan memiliki sebaran normal, demikian halnya dengan turunan
kedua. Tahun 2009, Eviliyanida melakukan kajian lanjutan, tetapi lebih mengkhususkan pada fungsi intensitas dengan tren linear. Ternyata, prilaku
penduga yang dikaji memiliki kesamaan dalam hal kekonsistenan, kekonvergenan MSE maupun sifat-sifat statistiknya, baik tanpa tren maupun dengan tren linear.
Kajian tentang fungsi intensitas masih diperkaya lagi dengan penelitian oleh Surawu 2009 yang memfokuskan penelitian pada sebaran asimtotik bukan
terhadap penduga fungsi, tetapi terhadap komponen periodik fungsi intensitas dengan tren linear. Dari kajiannya diperoleh hal yang hampir sama dengan
peneliti-peneliti sebelumnya. Demikian juga dengan Hidayah 2009. Dengan penelitiannya diperoleh rumusan selang kepercayaan terhadap penduga fungsi
intensitas. Disimpulkan juga bahwa penduga fungsi intensitas memiliki nilai peluang yang hampir sama pada selang kepercayaan, baik teoritis maupun
simulasi. Penelitian dilanjutkan oleh Marthalena 2009 yang memperoleh rumusan penduga nonparametric bagi fungsi intensitas proses Poisson periodik
dengan periode ganda. Penduga tersebut juga memiliki prilaku yang hampir sama pula dengan prilaku penduga yang sebelumnya telah dikaji.
BAB III REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA
