Untuk membuktikan 5.16 digunakan Teorema 3.1 tentang pendekatan asimtotik bagi nilai harapan, yang dinyatakan pada persamaan 5.2, dan Teorema 3.2
tentang pendekatan asimtotik bagi varian, yang dinyatakan pada persamaan 5.4 Untuk membuktikan 5.17 maka akan diperlihatkan untuk setiap
? ? ?
berlaku
? ????
? ?? ?
??? ? ????? ? ?? ? ? ? ?? G
? ? ?
jika
? ? ?
. Ruas kiri pada 5.18 dapat dinyatakan sebagai berikut:
? ????
? ?? ?
??? ? ????? ? ?? ? ? ?????
? ?? ?
??? ? ? ??
? ?? ?
???? ? ?? ??
? ?? ?
??? ? ? ????? ? ?? G ?? G
? ? ?
Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga maka ruas kanan persamaan 5.19
? ? ????
? ?? ?
??? ? ? ??
? ?? ?
???? ? ?? ??
? ?? ?
??? ? ? ???? ? ?? ? ? ????
? ?? ?
??? ? ? ??
? ?? ?
???? ? ? ? ?? ??
? ?? ?
??? ? ??????G ?? G
? ? ?
Berdasarkan Teorema 3.1, dari persamaan 5.2 dapat dinyatakan bahwa
? ??
? ?? ?
??? ? ? ????
untuk
? ? ?
, maka ada bilangan nyata M, sehingga
?? ??
? ?? ?
??? ? ????? ? ?
? ?
? ? ? ? G ?? G
? ? ?
Dengan mensubstitusikan persamaan 5.22 ke ruas kanan 5.21, maka 5.20 dapat ditulis menjadi:
? ????
? ?? ?
??? ? ? ??
? ?? ?
???? ? ?
? ? G
?? G ? ? ?
Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, maka peluang pada 5.22 adalah
? ? ? ? ???
? ?? ?
???? ?
?
G
Berdasarkan Teorema 3.2, serta
?
?
? ?
? ? ? ?
diperoleh bahwa
? ? ? ???
? ?? ?
???? ? ? ?
jika
? ? ?
, maka
? ? ? ? ???
? ?? ?
???? ?
?
? ? ?
sehingga 5.18 terbukti benar.
5.3 Selang Kepercayaan Fungsi Intensitas Lokal dengan Penduga
??
? ?? ?
???
Berdasarkan Teorema 5.2 tentang kenormalan asimtotik studentization dari penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik, sebagai aplikasi dari
5.13 dapat dirumuskan suatu selang kepercayaan dengan koefisien kepercayaan
? ? ?
bagi
????
sebagai berikut:
Corollary 1 Selang Kepercayaan bagi
? ???
Untuk suatu tingkat kepercayaan
?
dengan 0
?
1, berdasarkan selang kepercayaan normal untuk
????
melalui pendekatan peluang 1 –
?
diberikan oleh
?
?
? ? ??
? ?? ?
??? ? ?
? ?
?? ?
? ?
? ?? ?
? ? ??
? ???
? ?? ?
??? ? ?
?
?? ?
? ? ?
? ? ? ??
? ?? ?
??? ?
?
? ?
?? ?
? ?
? ?? ?
? ? ??
? ???
? ?? ?
??? ? ?
?
?? ?
? ? ?
? ? ?
, 5.24 dimana
?
menyatakan fungsi distribusi normal baku, dan
? ????? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? G
? ? ?
untuk
? ? ?
, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi
?
, dan periode
?
diketahui.
5.4 Simulasi Kenormalan Asimtotik bagi
??
? ?? ?
???
Pada simulasi untuk memeriksa kenormalan asimtotik bagi
??
? ?? ?
???
menggunakan metode Monte Carlo dengan membangkitkan realisasi sejumlah bilangan acak yang merupakan realisasi proses Poisson. Pembangkitan realisasi
dari proses Poisson dipilih untuk n = 100, n = 500, dan n = 1000. Penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik yang digunakan
adalah penduga yang didefinisikan pada persamaan 5.1 dan mengambil fungsi kernel K =
? ?
???? ? ?? ??
diperoleh
??
? ?? ?
??? ?
? ?? ?
? ??
s
? ? ?? ? ? ? ? ?? ?
? ?
?
?? ? ? ? ? ?? ?
? ?
?
?? ?? ?? ?? ? ?? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
G
5.26 Pendugaan pada simulasi ini dilakukan pada tiga titik, sebagaimana pada simulasi
terdahulu BAB IV, yaitu di s = 2.6 mewakili nilai
????
yang kecil, di s = 4 mewakili nilai
? ???
yang sedang, dan di s =4.9 mewakili nilai
????
yang besar dengan periode
? ? ?
. Sedangkan pendugaan
?
untuk periode
? ? ? ?
dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 5.2 mewakili nilai
? ???
yang kecil, di s = 8 mewakili nilai
? ???
yang sedang, dan di s =9.8 mewakili nilai
????
yang besar . Hasil simulasinya ditunjukkan dengan pada gambar- gambar grafik berikut ini :
Gambar 6. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ??
? ?? ?
??? untuk n =100, s =2.6, ? ? ? G
Gambar 7. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ??
? ?? ?
??? untuk n =500, s =2.6, ? ? ? G
Gambar 8. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ??
? ?? ?
??? untuk n =1000, s =2.6, ? ? ? G
Dari hasil simulasi normalitas asimtotik sebagaimana pada Gambar 6, 7 dan 8, dapat juga dilihat Gambar 9-23 pada lampiran 4 menunjukkan bahwa semakin
besar nilai n grafiknya semakin mendekati garis lurus, artinya bahwa sebaran dari penduga mendekati normal.
5.5 Simulasi Selang Kepercayaan bagi
