Pemilihan Model MARS Terbaik
maksimum. Kriteria pemilihan fungsi basis pada forward adalah dengan meminimumkan Average Square Residual ASR. Untuk memenuhi konsep
parsemoni model sederhana dilakukan backward stepwise yaitu memilih fungsi basis yang dihasilkan dari forward stepwise dengan meminimumkan nilai
Generalized Cross-Validation GCV. Model terbaik MARS dapat dilihat dari
kriteria GCV terkecil, apabila memiliki nilai GCV terkecil yang sama dapat dilihat dengan pertimbangan nilai MSE terkecil, dan apabila masih memiliki nilai MSE
yang sama maka dapat dilihat dengan pertimbangan nilai terbesar. Untuk
memperoleh matriks Hat diperlukan Teorema berikut. Teorema 2.1
Apabila R matriks Kuadratik dengan
− −
=
∗ ∗
dan
−
adalah faktor cholesky dari
∗ ∗
. Misalkan U dan Q matriks Diagonal sedemikian hingga
−
= . Selanjutnya =
∗
maka =
∗
dan misalkan �̂ =
−
=
−
̂ maka penyelesaian �̂ adalah +
�̂ = =
∗
Selanjutnya
∗
̂ = �̂ dan matriks Hat, =
+
−
dengan derajat bebas,
[ ] = { +
−
} = { +
−
} = ∑ +
−
dimana adalah matriks Diagonal ke- dari .
Bukti :
∗ ∗
+ =
− −
+ =
− −
+
− −
=
−
+
−
=
−
+
−
dan juga,
∗ ∗
+ = +
.
ini berarti,
∗ ∗
+
−
̂ =
∗
atau, +
�̂ =
∗
=
−
sehingga ̂ =
−
̂ = �̂. Jadi, Teorema 2.1 terbukti.
Berdasarkan Teorema 2.1 dapat diperoleh matriks Hat pada persamaan 2.37 yaitu
= +
−
. Selanjutnya pemilihan optimal, yang merupakan parameter pengontrol keseimbangan antara kesesuaian kurva
terhadap data dan kemulusan kurva. Dengan diperoleh optimal maka estimator
yang diperoleh juga optimal.
Teorema 2.2 Freidman and Silverman, 1989 Misalkan digunakan model MARS
Friedman pada persamaan 2.39 maka
optimal diperoleh dengan kriteria GCV sebagai berikut.
= ∑
− ̂
−
,
=
{ − ̃
} dengan :
̃ = + . , nilai � yang t�r�aik ��ra�a �alam int�rval
, �an
= [
′
− ′
] +1 adalah banyak parameter yang diestimasi.