∑ − �
=
= − � − � =
Untuk memperoleh estinator ̂ digunakan metode kuadrat metode kuadrat terkecil
yaitu meminimumkan T, sehingga dinyatakan sebagai berikut. = − � − �
=
�
−
�
�
�
−
�
� +
�
�
�
� =
�
−
�
�
�
+
�
�
�
�
Untuk memperoleh persamaan normal, dilakukan dengan menurunkan parsial
terhadap dengan hasil sebagai berikut.
� � = − �
�
+ �
�
� = −�
�
+ �
�
� = −�
�
= �
�
� Karena
� adalah matriks non singular dan parameter smoothing = , maka
̂ = �
�
�
−
�
�
dengan � = [ ,
,
− ], =
, … , , �an =
, … , .
Sedangkan estimasi modelnya diperoleh dari persamaan 2.27 yaitu ̂ = �̂
̂ = � �
�
�
−
�
�
̂ = �
dengan � = � �
�
�
−
�
�
didefinisikan sebagai matriks Hat berukuran × .
.
2.6 Generalized Cross Validation GCV
Menurut Jerome H. Friedman 1991 menyebutkan bahwa dalam metode MARS, Generalized Cross Validation GCV adalah kriteria yang paling baik
untuk seleksi model tebaik. Nilai GCV didefinisikan sebagai berikut.
= ∑ [ − ̂
]
=
[ − ̂
] dimana:
: variabel respon ke ̂
: nilai taksiran variabel respon pada fungsi basis : banyaknya data
̂ :
+ : Trace
[
−
] +
: nilai ketika setiap fungsi basis mencapai optimasi
2.7 Algoritma MARS
Pembentukan model Multivariate Adaptive Regression Splines MARS diawali menentukan knot dan fungsi basis setiap variabel prediktor dengan cara
mem-plot setiap variabel prediktor dengan variabel respon. Jumlah knot yang optimum akan menghasilkan model MARS yang baik sehingga kemudian
dilakukan tahap maju forward dan tahap mundur backward algoritma recursive partitioning
yang dimodifikasi, dimana jumlah knot yang optimum disesuaikan .
dengan perilaku data. Gambaran secara umum algoritma MARS adalah sebagai berikut Friedman, 1991.
1. Forward Stepwise
Pada model MARS, pemilihan model menggunaan metode stepwise yang terdiri dari forward dan backward. Forward stepwise dilakukan untuk mendapatkan
jumlah fungsi basis maksimum dan kriteria pemilihan fungsi basis adalah meminimumkan Average Sum of Square Residual ASR. Untuk memenuhi konsep
parsemoni dari forward stepwise dengan meminimumkan nilai Generalized Cross- Validation
GCV Friedman, 1991. Pada tahap ini dimungkinkan untuk memasukkan fungsi basis baru ke dalam
model. Maksimal fungsi basis yang akan masuk di dalam model ditentukan oleh peneliti. Berikut adalah langkah yang dilakukan dalam forward stepwise.
a. Misalkan = sebagai fungsi basis awal.
b. Tentukan pasangan fungsi basis dan yang merupakan kombinasi prediktor dan knot sehingga model memiliki jumlah kuadrat sisaan minimum.
c. Misalkan adalah salah satu fungsi basis yang sudah ada didalam model
sebelumnya. Jika fungsi basis telah dimasukkan, tentukan perkalian dari
dengan atau sehingga jika dan
ditambahkan ke dalam model maka akan dihasilkan model dengan jumlah kuadrat sisaan terkecil.
d. Ulangi langkah c sehingga banyaknya fungsi basis dalam model lebih atau sama dengan maksimum banyaknya fungsi basis yang telah ditetapkan.
2. Backward Stepwise
Prosedur forward seperti yang dijelaskan sebelumnya akan menghasilkan
