4.3 Kenormalan Asimtotik Studentization dari
, , c n K
s Teorema 4.3 Kenormalan Asimtotik
Studentization bagi
, , c n K
s
Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3,
; ,
5
1
n
nh dan
memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka berlaku
, , 1
, 1
2 1
,
1 1
0,1 ,
n d
c n L
i i
K c n K
nh s
Normal s
dz s
K z
L
4.23
jika
n
.
Bukti :
Untuk membuktikan 4.23, cukup ditunjukkan bahwa
, ,
1,
c n K p
c
s s
jika
n
4.24 Untuk membuktikan 4.24, cukup dibuktikan
, ,
1
c n K p
c
s s
, atau sama dengan membuktikan
, , p
c n K c
s s , jika
n
4.25 Dalam membuktikan 4.25, telah dibuktikan pada teorema 3.1
Untuk membuktikan 4.25, berdasarkan definisi maka akan diperlihatkan untuk setiap
ε 0 berlaku
, ,
P 0, unt
. uk
c n K c
s s
n
4.26 Ruas kiri 4.26 dapat dinyatakan sebagai berikut :
, ,
P
c n K c
s s
, , , ,
, ,
= .
P E
E
c n K c n K
c n K c
s s
s s
4.27 Dengan ketaksamaan segitiga maka, persamaan 4.27 menjadi
, , , ,
, , , ,
, , , ,
P E
E P
E E
. 4.28
c n K c n K
c n K c
c n K c n K
c n K c
s s
s s
s s
s s
Berdasarkan Lema 3.1 yaitu E
, , c n K
s , jika
maka ada N sehingga
, ,
E 2
c n K c
s s
untuk semua n N. 4.29
Dengan mensubstitusikan 4.29 ke ruas kanan 4.28 maka 4.28 menjadi
, ,
P E .
2
c n K c
s s
Kemudian dengan menggunakan ketaksamaan Chebysev Lema L.4 dalam lampiran, maka
, , , ,
2
4 P E
. 2
c n K c n K
c
var s
s s
Berdasarkan Lema 3.2 yaitu
, , c n K
s , untuk
, maka
, , 2
4 0.
c n K
Var s
Sehingga 4.25 terbukti.
4.4 Selang Kepercayaan bagi
c
s
Berdasarkan Teorema 4.3, yaitu kenormalan asimtotik studentization dari penduga untuk
c
s , sebagai aplikasi dari 4.22 dapat dirumuskan suatu selang kepercayaan dengan koefisien kepercayaan 1-
α bagi
c
s , seperti berikut :
Corollary 4.1 Selang kepercayaan bagi
c
s
Untuk semua tingkat kepercayaan α dengan 0 α 1, berdasarkan selang
kepercayaan normal untuk
c
s melalui pendekatan peluang 1 – α diberikan
oleh
1 , ,
1 , ,
2 1
1
1 1
1 2
,
c n L
i n
n n
i K
c K
s dz
I K
z L
s nh
2 1
1 1
, , 1
, ,
1 1
1 2
L i
c n K c n K
i n
s d
z h
z L
s K
n ,4.30
dimana menyatakan fungsi distribusi normal baku dan
1 1
c n
s I
o ,
4.31 untuk
n
, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi
c
. Dari selang kepercayaan yang telah diperoleh maka diperiksa kekonvergenan
peluangnya menuju 1 – α, sebagai berikut :
.
c
s Teorema 4 4 Kekonvergenan peluang selang kepercayaan bagi
Misalkan
, , c n K
s adalah pendug a tipe kernel bagi λ yang didefinisikan seperti
pada 3.5 , maka berlaku 1
,
c n
s I
jika
n
4.32
Bukti :
Bagian ruas kiri pada 4.27, adalah sebagai berikut : Misalkan Z adalah peubah acak normal baku, maka
c n
s I
2 1
1 , ,
1 , ,
1
1 1
1 2
L c n K
c i
n K i
n
K z
L s
nh s
dz s
2 1
1 ,
, , 1
, 1
1 1
1 ,
2
L i
c n K i
c n K n
s K
z L
n s
h dz
4.33
1 , ,
, 1
1 1
, 2
1 1
1 2
c n L
i n
K c
i n K
K s
dz s
z L
s nh
2 1
1 1
1 , ,
1 1
1 ,
2
c n K L
i i
n
K z
L n
s dz
h
2 1
1 1
, , 1
, ,
1 1
1 2
L i
c n K c n K
i n
s d
K z
s n
s L
z h
1 ,
1 2
1 1
,
1 1
1 ,
2
c L
i n
n i
K
K z
L d
nh s
z
1 , ,
, 1
1 1
, 2
1 1
1 2
c n L
i n
K c
i n K
K s
dz s
z L
s nh
2 1
1 1
1 , ,
1 1
1 ,
2
c n K L
i i
n
K z
L n
s dz
h
, , 1
, 1
1 1
2 1
,
1 1
2 2
1 1
c n K c n K
n L
i i
nh s
K s
s z dz
L .
4.34
Berdasarkan Teorema 4.3, maka
, , 1
, 1
2 1
,
1 1
0,1 ,
n d
c n L
i i
K c n K
nh s
Normal s
dz s
K z
L
jika
n
. Sehingga ruas kanan dari 4.34 konvergen ke
1 ,
2 2
Z Z
Z
jika
n
. Jadi Teorema 4.4 terbukti.
Kategori