KESIMPULAN SARAN KESIMPULAN DAN SARAN

LAMPIRAN Beberapa Definisi Ruang Contoh Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Definisi L.1 Ruang contoh dan kejadian Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dan dinotasikan dengan . Himpunan bagian dari ruang contoh disebut kejadian. Grimmett and Stirzaker 2001 Definisi L.2 Kejadian lepas Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong . Grimmett and Stirzaker 2001 Definisi L.3 Medan- Medan- adalah himpunan yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari yang memenuhi syarat-syarat berikut : 1 2 Jika A maka A c . 3 Jika A 1 , A 2 , …, maka . Medan- terkecil yang mengandung semua selang berbentuk disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel. Grimmett and Stirzaker 2001 Definisi L.4 Ukuran peluang Ukuran peluang P pada ruang ukuran adalah fungsi P : yang memenuhi : 1 2 Jika A 1 ,A 2 , … adalah himpunan anggota yang saling lepas yaitu untuk setiap i, j dengan maka : . Tripel disebut dengan ruang peluang. Grimmett and Stirzaker 2001 Definisi L.5 Kejadian saling bebas Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika : . Secara umum, himpunan kejadian { } dikatakan saling bebas, jika : untuk setiap himpunan bagian J dari I. Grimmett and Stirzaker 2001 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi L.6 Peubah acak Peubah acak adalah suatu fungsi dengan sifat bahwa { } untuk setiap . Grimmett and Stirzaker 2001 Definisi L.7 Fungsi sebaran Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah yang didefinisikan oleh Grimmett and Stirzaker 2001 Definisi L.8 Peubah acak diskret Peubah acak X disebut diskret jika himpunan semua kemungkinan nilai {x 1 , x 2 ,…} dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. Grimmett and Stirzaker 2001 Suatu himpunan bilangan C disebut tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespodensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif. Definisi L.9 Fungsi massa peluang Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi yang diberikan oleh : px = P X = x. Grimmett and Stirzaker 2001 Definisi L.10 Peubah acak Poisson Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh : , untuk k= 0, 1, 2, … Ghahramani 2005 Nilai Harapan, Momen dan Ragam Definisi L.11 Nilai harapan, momen dan ragam Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang px. Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan EX, adalah EX= Momem ke-k dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak X adalah Misalkan momen ke-1 dari x adalah EX = . Maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X. Ragam variance dari X, dinotasikan dengan Var X atau adalah nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya yaitu : 2 px. Ragam merupakan momen ke-2 dari peubah acak X. Hogg et al. 2005 Kekonvergenan Definisi L.12 Kekonvergenan barisan bilangan nyata Barisan n dikatakan mempunyai limit L dan kita tuliskan atau n L jika apabila setiap terdapat bilangan M sedemikian rupa sehingga jika n M maka ada, kita katakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, kita katakan barisan tersebut divergen. Stewart 1999 Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak. Definisi L.13 Kekonvergenan dalam peluang Misalkan X, X 1 , X 2 , … adalah peubah acak dalam ruang peluang . Kita katakan bahwa barisan peubah acak X n konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan . Grimmet and Stirzaker 2001 Definisi L.14 Konvergen dalam rataan ke – r Misalkan X 1 ,X 2 ,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang Ω, , P. Barisan peubah acak X n dikatakan konvergen dalam rataan ke-r ke peubah acak X, dengan r ≥ 1, ditulis r n X X untuk n , jika r n X untuk semua n dan r n X X untuk n . Grimmett dan Stirzaker, 1992 Definisi L.15 Konvergen hampir pasti Misalkan X 1 ,X 2 ,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang Ω, , P. Barisan peubah acak X n dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak X, ditulis as n X X , untuk n , jika untuk setiap ε 0, lim 1 . n n X X Dengan kata lain konvergen hampir pasti adalah konvergen dengan peluang satu. Grimmett dan Stirzaker, 1992 Definisi L.16 Konvergen dalam sebaran Misalkan X 1 ,X 2 ,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang Ω, , P. Barisan peubah acak X n dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis d n X X , jika PX n ≤ x → PX ≤ x untuk n , untuk semua titik x dimana fungsi sebaran F X x adalah kontinu. Grimmett dan Stirzaker, 1992 Penduga dan Sifat-sifatnya Definisi L.17 Statistik Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang tidak diketahui. Hogg et al. 2005 Definisi L.18 Penduga Misalkan X 1 ,X 2 ,…X n adalah contoh acak. Suatu statistik UX 1 , X 2 , …,X n yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g , dikatakan sebagai penduga estimator bagi g , dilambangkan dengan n Bilamana nilai X 1 =x 1 , X 2 =x 2 ,…X n =x n , maka nilai UX 1 , X 2 , …,X n disebut sebagai dugaan estimate bagi g Hogg et al. 2005 Definisi L.19 Penduga tak bias 1 Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter , yaitu = disebut penduga tak bias bagi parameter . Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias. 2 Jika = maka disebut penduga tak bias asimtotik Hogg et al. 2005 Definisi L.20 Penduga konsisten Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter , disebut penduga konsisten bagi Hogg et al. 2005 Definisi L.21 MSE suatu penduga Mean Square Error MSE dari suatu penduga U bagi parameter didefinisikan sebagai berikut : MSEU= EU – g 2 = Bias U 2 + Var U, dengan BiasU = EU - Hogg et al. 2005 Definisi L.22 Fungsi terintegralkan lokal Fungsi intensitas  adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh Definisi L.23 Titik Lebesgue Titik s dikatakan titik Lebesgue dari fungsi jika . Dudley 1989 Definisi L.24 O. dan o. Symbol „big-oh’ dan „litle-o‟ ini merupakan cara membandingkan besarnya dua fungsi ux dan vx dengan x menuju suatu limit L. 1 Notasi ux = Ovx, x L menyatakan bahwa terbatas untuk x L. 2 Notasi ux = ovx, x L menyatakan bahwa untuk x L. Serfling 1980 Dengan menggunakan definisi di atas kita peroleh hal berikut 1 Suatu barisan bilangan nyata disebut terbatas dan ditulis untuk semua bilangan asli n. 2 Suatu barisan b n yang konvergen ke 0, untuk dapat ditulis b n = o1. Purcel dan Varberg 1998 Lema teknis Lema L.1 Jika X adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku Ghahramani 2005 Bukti Dari Definisi 11 kita bisa menuliskan bahwa 2 2 2 = Jadi lema L.1 terbukti. Lema L.2 Formula Young dari Teorema Taylor Misalkan g memiliki nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka untuk . Serfling 1980 Lema L.3 Ketaksamaan Markov Jika adalah peubah acak, maka untuk setiap t 0, Ghahramani 2005 Bukti: Misalkan A adalah himpunan nilai yang mungkin dari peubah acak X dan , maka Sehingga Jadi Lema 3 terbukti. Lema L.4 Ketaksamaan Chebyshev Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan μ dan ragam terbatas σ 2 maka 2 2 X t t untuk setiap t ≥ 0. Ghahramani, 2005. Bukti : Karena 2 X , dengan ketaksamaan Markov 2 2 2 2 2 2 X X t t t . Oleh karena 2 2 X t adalah eqivalen X t , maka Lema L.4 terbukti. Lema L.5 Deret- p Deret 1 1 p n n disebut juga deret-p konvergen jika p 1, dan divergen jika p ≤ 1. Bukti : lihat Steawart, 1999. Lema L.6 Teorema Limit Pusat CLT Misalkan 1 2 , ,... X X adalah barisan peubah acak yang i.i.d independent and identically distributed dengan nilai harapan dan ragam 2 . Maka distribusi dari 1 2 ... 0,1 , d n n X X X n Z Normal n jika n , atau dengan kata lain 1 2 ... lim lim n n n n X X X n Z x x n 2 2 1 . 2 x y e dy Ghahramani 2005 Bukti: Untuk membuktikan Teorema Limit Pusat diperlukan Teorema Kekontinuan Levy, sebagai berikut : Lema 7 Teorema Kekontinuan Levy Misalkan 1 2 , ,... X X adalah barisan peubah acak dengan masing-masing fungsi distribusi 1 2 , ,... F F dan fungsi pembangkit momen 1 2 , ,... . X X M M Misalkan adalah peubah acak dengan fungsi distribusi F dan fungsi pembangkit momen X M t . Jika semua nilai t, n X M t konvergen ke X M t , maka titik-titik dari F yang kontinu, n F konvergen ke F . Bukti Teorema Limit Pusat: Misalkan , n n Y X maka n Y dan 2 n Var Y , akan dibuktikan 1 2 ... , n n X X X n Z n untuk 1 n konvergen ke distribusi Z. Jika 1 2 , ,... Y Y berdistribusi identik maka 1 2 , ,... Y Y mempunyai pembangkit momen yang sama, yaitu M. Dari kebebasan peubah acak 1 2 , ,..., n Y Y Y diperoleh 1 2 ... exp n n Z Y Y Y M t t n 1 2 ... n Y Y Y t M n 1 2 ... n Y Y Y t t t M M M n n n . n t M n L.1 Dari Teorema Kekontinuan Levy, cukup dibuktikan bahwa n Z M t konvergen ke 2 exp 2 t yang merupakan fungsi pembangkit momen dari Z. Ekuivalen dengan menunjukkan bahwa 2 lim ln 2 n Z n t M t L.2 Misalkan t h n maka 2 2 2 t n h sehingga dari persamaan L.1 dihasilkan 2 2 2 2 2 2 ln ln ln ln , n Z M h t t M t n M h M h h h maka 2 2 ln lim ln lim . 2 n Z n h M h t M t h L.3 Karena 1 M dan 2 ln lim h M h h nilai tidak tetap, maka untuk menentukan nilainya dapat digunakan aturan  L‟Hopital dua kali, sehingga diperoleh 2 ln lim lim lim 2 2 h h h M h M h M h M h h h hM h 2 lim , 2 2 2 2 h M h M M h hM h M Dengan 2 M dan 0, i Y maka dari L.3 diperoleh bahwa 2 2 2 lim ln . 2 2 2 n Z n t t M t yaitu persamaan L.2. Jadi Teorema terbukti. ABSTRACT IDDAYATI. Asymptotic Distribution of Estimator for the Intensity Function of a Doubly Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI. In this manuscript, estimation of the intensity function of a doubly periodic Poisson process is discussed. It is assumed that only a single realization of the Poisson process is observed in a bounded window [0,n]. It is also assumed that the period of the intensity function is known. The rate of consistency and asymptotic normality of the estimator are formulated. Finally, a confidence interval for the local intensity function is also formulated. Keyword : doubly periodic Poisson process, asymptotic normality

BAB I PENDAHULUAN

1.3 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari banyak fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Pada proses stokastik kita tidak bisa mengetahui secara pasti mengenai perilaku kejadian pada waktu yang akan datang. Proses stokastik mempunyai peranan yang cukup penting karena banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan menggunakan proses stokastik. Contoh penggunaan proses stokastik antara lain : memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat pelayanan, memodelkan proses antrian nasabah di suatu bank, model waktu tunggu sejak memberikan perintah komputer hingga di eksekusi dan lain sebagainya. Proses stokastik dapat diklasifikasikan ke dalam dua klasifikasi, yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Sebagai contoh, fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju tumpahan minyak di Laut Utara Belanda Helmers 1995. Dalam contoh lain untuk menghitung besarnya klaim peserta asuransi akibat terjadinya bencana alam seperti banjir, angin topan maka dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode tunggal. Tetapi jika bencana alam tersebut mempunyai kecenderungan terjadi berulang setiap tahun dalam jangka waktu tertentu dengan intensitas yang berbeda, maka model yang lebih tepat adalah proses Poisson periodik dengan periode ganda Helmers et al 2007. Penerapan pemodelan stokastik dari suatu fenomena fungsi intensitas dari proses umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada penelitian terdahulu, telah diteliti tentang penduga nonparametrik bagi fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda Helmers et al 2007, Martalena 2009. Pada penelitian ini dikaji tentang sebaran asimtotik penduga fungsi intensitas tersebut.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah 1 Mempelajari perumusan penduga dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan periode ganda menggunakan fungsi kernel umum. 2 Mereview pendekatan asimtotik dari bias dan ragam penduga 3 Mengkaji pendekatan asimtotik dari bias dan ragam penduga. 4 Menentukan sebaran asimtotik penduga.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik

Definisi 2.1 Proses stokastik Proses stokastik X = {Xt, t T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state S. Ross 2007 Dapat dinilai Xt adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T yang sering kita interpretasikan sebagai satuan waktu walaupun tidak harus merupakan waktu. Xt dapat dibaca sebagai state keadaan dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya. Definisi 2.2 Proses stokastik dengan waktu kontinu Suatu proses stokastik {Xt, t T} disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T merupakan suatu interval. Ross 2007 Definisi 2.3 Inkremen bebas Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {Xt, t T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t t 1 t 2 ... t n , peubah acak Xt 1 – Xt , Xt 2 – Xt 1 , Xt 3 – Xt 2 , ... , Xt n – Xt n –1 , adalah saling bebas. Ross 2007 Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak saling tumpang tindih tidak overlap adalah saling bebas. Definisi 2.4 Inkremen stasioner Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {Xt, t T} disebut memiliki inkremen stasioner jika Xt + s – Xt memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. Ross 2007 Dapat kita katakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X adalah akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai pada antara sembarang suatu interval itu hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0, . Definisi 2.5 Proses pencacahan Suatu proses stokastik {Nt, t 0} disebut proses pencacahan jika Nt menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan Nt harus memenuhi syarat-syarat sebagai beriku: 1. Nt 0 untuk setiap t [0, . 2. Nilai Nt adalah integer. 3. Jika s t maka Ns Nt, s, t [0, . 4. Untuk s t maka Nt - Ns, sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval s,t]. Ross 2007 Definisi 2.6 Proses Poisson Suatu proses pencacahan { Nt, t 0 } disebut proses Poisson dengan laju , 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: 1. N0 = 0 2. Proses tersebut mempunyai inkremen bebas. 3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan t. Jadi Dari syarat 3 dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa: E Nt = t yang menjelaskan mengapa disebut sebagai laju dari proses Poisson tersebut. Definisi 2.7 Proses Poisson homogen Proses Poisson homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu t. Ross, 2007 Definisi 2.8 Proses Poisson tak homogen Proses Poisson tak homogen adalah proses Poisson dengan laju pada sembarang waktu t yang merupakan suatu fungsi tak konstan dari waktu t yaitu t. Ross, 2007 Definisi 2.9 Fungsi periodik Suatu fungsi disebut periodik jika: s + k = s, untuk semua s  dan k  , dengan  adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas tersebut. Browder, 1996 Fungsi Intensitas Definisi 2.10 Fungsi intensitas Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {Nt, t 0} yaitu disebut sebagai fungsi intensitas proses Poisson pada t. Ross, 2007 Definisi 2.11 Intensitas lokal Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas pada titik s  adalah s, yaitu nilai fungsi di s. Definisi 2.12 Fungsi intensitas global Misalkan N[0,n] adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai: jika limit di atas ada. Mangku, 2001 Definisi 2.13 Proses Poisson periodik Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. Mangku, 2001 Definisi 2.14 Proses Poisson periode ganda Proses Poisson periode ganda adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik dengan periode ganda. Helmers et al. 2007

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik

Ada dua jenis laju proses Poisson atau yang lebih dikenal dengan fungsi intensitas suatu proses Poisson yaitu fungsi intensitas global dan fungsi intensitas lokal. Fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu interval yang panjangnya menuju tak hingga. Sedangkan yang dimaksud dengan fungsi intensitas lokal adalah laju proses Poisson di suatu titik tertentu misalkan di titik s. Pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s yaitu dengan menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut. Misalkan h n adalah barisan bilangan real positif dengan sifat h n 0, untuk dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu [0,t]. Intensitas lokal di sekitar s dapat dihampiri dengan