Karena K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K.1 dan K.3 maka 3.17 dapat ditulis
1 2
2 1
2
1 2
c c
n n
s s
h z K z dz o h
o n
2 2
1 2
2 2
1
, 2
c n
c n
n n
s h
s h
z K z dz o h o
nh untuk
. Karena
2
,
n
nh
maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis menjadi
1 1
2 2
2
2
c c
n n
s s
h z K z dz o h
untuk .
3.18 Dengan demikian kita peroleh persamaan 3.9. jadi Teorema 3.1 terbukti.
Teorema 3.2 Aproksimasi asimtotik bagi nilai ragam penduga
Misalkan diketahui fungsi intensitas seperti 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan
; , maka
, , c n K
s untuk
Bukti
1 , ,
1 1
. 3.20
i
n L
i c n
i j
i n
n K
i
x s
j L Var
Var K
N dx n
h h
s Untuk n yang cukup besar, karena
untuk , maka interval [
] dan [ ], untuk
tidak saling tumpang tindih tidak overlap. Sehingga untuk semua ,
i i
n
x s
j L K
h
dan
i i
n
x s
j L K
h
adalah bebas. Jadi varian bagi dapat ditentukan sebagai berikut
2 2
2 1
, , 2
2
1 .
3.21
i
n L
i i
j i
n n
K i
c n
x s
j L Var
K Var N dx
n h h
s Karena N adalah proses Poisson, maka VarN = EN sehingga ruas kanan
persamaan 3.21 dapat ditulis
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
1
1 3 2
E
.2
i
i
n L
i i
j i
n i
n n
L i
i j
i n
i n
x s
j L K
N dx n h
h x
s j L
K x dx
n h h
Dengan mengganti variabel, misalkan y = x – s
i
+ j
i
L , dy = dx maka 3.22 dapat ditulis
2 2
2 2
2 1
1 0,
.
i
i n
L i
i j
i n
i
y y
s K
y s
j L n dy
n h h
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
1
1 0,
0, .
3.23
i i
L i
n i
L i
i i
n i
i j
i n
i i
i j
n
K n h
y s
j L n dy
K n h
y s
j L n d
y y
s s
h y
s h
y
Dengan 3.12, maka 3.23 dapat dituliskan menjadi
2 2
2 2
1 2
2 2
2 1
2 2
1 1
1 3.24
1
i i
n L
i n
i L
i n
i i
n
y n
y s
s O
dy h
L y
n s
O d
K n h
K n
y h
h L
Karena adalah titik Lebesque dari dan kernel K terbatas maka
2
1 1,
2
n n
h i
i n
n h
y K
y s
s dy o
h h
untuk sehingga ruas kanan 3.24 adalah
2 2
1 2
1 1
1 1
3.25 ,
L i
n i
n
n h n
O o
o L
nh untuk
Selanjutnya kita perhatikan suku kedua 3.24. Dengan mengganti variabel dan karena fungsi kernel K memenuhi K.3 maka suku kedua 3.24 dapat dituliskan
menjadi
1 2
1 2
2 2
1 2
2 1
1 2
1
1 1
1 1
1
i L
i n
i L
i n
i n
i
K z
n h K
z nh L
n n
s
h O
dz L
s dz O
2 2
1 1
2 1
1 1
1
L i
i n
i i
n
s d
K z
nh L z O
n h
2 1
1 1
2
1 1
1 ,
3.26
c L
i n
i n
s dz
K z nh
L n
O h
untuk Dengan mensubtitusikan 3.25 dan 3.26 ke 3.24, maka diperoleh
1 1
1 2
, , 1
2 1
2 1
1 1
ˆ 1
1 1
1 1
, 3.27
L c n K
i n
i n
L i
n i
c n
c n
s o
dz O nh
s d
Var s
K z
nh L
n h K
z nh
o nh
z L
untuk .
Sehingga Teorema 3.2 terbukti.
Corollary 3.1 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga
Misalkan diketahui fungsi intensitas seperti 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan
; maka
memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka
1 , ,
1 2
1 4
4 1
2 1
2
1 1
1 1
, 3.28
4
L i
c c n K
n i
n n
n c
K z
s MSE
s dz
s dz
o nh
L z K z
h h
nh o
untuk .
Bukti :
Berdasarkan definisi MSE maka
2 , ,
, , , ,
, 3.29
c n K c n K
c n K
MSE s
Bias ar
s V
s
dengan
, , c n K
Bias s
E
, , c n K
s - .
c
s
Dengan menggunakan Teorema 3.1 dan Teorema 3.2 maka diperoleh
, , 1
2 2
2 1
2
c n K c
n n
s h
z K Bias
s z dz
o h
dan
2 1
1 , ,
1
1 1
1 .
c L
i c n
n i
K n
Var K
z nh
L nh
s s
dz o
Sehingga diperoleh
1 2
2 2
2 1
2 , ,
1 1
1
2 1
1 1
c n
n L
i n
n K
i c
c n
MSE s
z s
dz s
h z K
dz o h o
K z
nh L
nh
2 1
1 1
4 1
2 4
2 1
1 1
1 ,
1 4
L i
n i
c n
n n
c
s d
K z
nh L
s z
z z K
dz h
o o h
nh
untuk . Dengan demikian kita peroleh persamaan 3.28. Jadi
“Corollary” 3.1 terbukti.
BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK
4.1 Laju Kekonsistenan Penduga Teorema 4.1 Laju kekonsistenan
, ,
ˆ
c n K
s
Misalkan fungsi intensitas memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel
K memenuhi sifat K1, K2, K3,
n
h n
untuk
1
maka untuk semua min
1 1
2 , 2
2
berlaku
, ,
ˆ
p c n K
c
n s
s ,
4.1 untuk
n
. Dengan kata lain
, ,
ˆ
c n K
s merupakan penduga konsisten bagi
c
s dengan laju
1 n
. Bukti :
Untuk membuktikan Teorema 4.1 diperlukan Teorema 3.1 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan dan Teorema 3.2 Aproksimasi asimtotik bagi
ragam. Untuk membuktikan 4.1, akan diperlihatkan bahwa untuk
,
, ,
ˆ 0,
c n K c
n s
s
4.2 untuk
n
. Sebelumnya, kita uraikan dahulu
, ,
ˆ
c n K c
n s
s
dari 4.2, yaitu
, , , ,
, , , ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
c n K c
c n K c n K
c n K c
n s
s n
s s
s s
. 4.3
Berdasarkan ketaksamaan segitiga, yaitu
, , , ,
, , , ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
,
c n K c
c n K c n K
c n K c
s s
s s
s s
4.4 maka ruas kanan persamaan 4.3 menjadi
, , , ,
, ,
ˆ ˆ
ˆ
c n K c n K
c n K c
n s
s n
s s
, , , ,
, ,
ˆ ˆ
ˆ
c n K c n K
c n K c
n s
s n
s s
. 4.5
Berdasarkan Teorema 3.1, yaitu
1 2
2 2
, , 1
ˆ 2
c c n K
c n
n
s s
s h
x K x dx o h ,
4.6 untuk
n
. Untuk
n
h n
dan maka ruas kanan persamaan 4.6 menjadi
2 c
s O n
, jika
n
. 4.7
Dari 4.7, diperoleh
2 , ,
ˆ
c n K c
s s
O n
. 4.8
jika
n
. Berdasarkan persamaan 4.8, diperoleh
2 , ,
ˆ
c n K c
n s
s n O n
2
1 n
O
, untuk
n
. 4.9
Berdasarkan 4.9 dan untuk 2 , diperoleh
, ,
ˆ
c n K c
n s
s
, untuk
n
. Maka untuk
, ada N agar untuk
n
N,
, ,
ˆ 2
c n K c
n s
s .
4.10 Berdasarkan 4.1, diperoleh bahwa ruas kanan persamaan 4.3 menjadi
, , , ,
, , , ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2
c n K c n K
c n K c n K
n s
s n
s s
. 4.11
Sehingga dari persamaan 4.2 dan 4.11 diperoleh bahwa
, , , ,
, ,
ˆ ˆ
ˆ 2
c n K c
c n K c n K
n s
s n
s s
. Jadi untuk membuktikan 4.1 cukup ditunjukkan
, , , ,
ˆ ˆ
2
c n K c n K
n s
s
, jika
n
. Dengan ketaksamaan Chebyshev, dapat diperoleh
2 , ,
, , , ,
2
ˆ 4
ˆ ˆ
2
c n K c n K
c n K
Var s n
s s
n .
Dari Teorema 3.2 dapat ditulis
2 , ,
2
ˆ
c n K
Var s n
2 1
2 1
1
1 1
L c
i n
i
s n K
z dz nh
L
2 1
2 1
1
1 1
L c
i i
n
n s
K z dz
L nh
2 1
2 1
1
1 1
.
L c
i i
n s
K z dz
L nn
Yang dapat disederhanakan menjadi
1 2
2 1
1 1
1 1
L c
i i
s K
z dz n L
karena 1
1 2
2 maka
2 , ,
2
ˆ
c n K
Var s n
sehingga
, , , ,
ˆ ˆ
2
c n K c n K
s s
n
. Dengan demikian Teorema 4.1 terbukti.
4.2 Sebaran Asimtotik dari
, , c n K
s Teorema 4.2 Normalitas Asimtotik untuk
, , c n K
s
Andaikan fungsi intensitas λ adalah periodik dengan periode τ dan
terintegralkan lokal. Misalkan kernel K simetrik dan memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 ;
dan , untuk
n
. i
Jika
5
1
n
nh , untuk
n
, maka
, , c n K
n c
nh s
s
2
, normal
4.12 untuk
n
, dengan
1 2
1
2
c
s z K z
dz
dan
1 2
1 2
1
1 1
L i
i c
s dz
K z
L
. ii
Jika
5 n
nh , untuk
n
, maka
, , c n K
n c
nh s
s
2
0, .
normal 4.13
Bukti :
Ruas kiri pernyataan 4.12 dan pernyataan 4.13 dapat ditulis menjadi
, , , ,
, ,
.
c n K c n K
c n K n
n c
nh s
s nh
s s
4.14
Karena itu, untuk membuktikan teorema ini cukup ditunjukkan
, , , ,
c n K c n K
n
nh s
s
2
0, normal
4.15 untuk
n
, jika
5
1
n
nh , maka
1 2
, , 1
1 ,
2
c n K n
nh s
s s
z K z dz 4.16
untuk
n
; dan jika
5 n
nh , maka
, ,
0,
c n K n
c
nh s
s
4.17 untuk
n
. Ruas kiri pernyataan 4.15 dapat ditulis
, , , ,
, , , ,
.
c n K c n K
c n K n
c n K
s s
nh Var
s Var
s
4.18 Maka untuk membuktikan 4.15, cukup periksa
, , , ,
, , c n K
c n K c n K
s s
Var s
2
0, normal
, 4.19
dan
1 2
, , 1
1
1 1
L c n K
n c
i i
nh Var
s s
K z dz
L 4.20
jika
n
. Untuk membuktikan 4.19 kita perhatikan bentuk berikut. Misalkan
0,1,... i
,
1 .
i
n i
i i j
i n
x s
j L Y
K N dx
h Karena
n
h jika
n
, maka untuk n yang cukup besar, interval ,
i i
n i
i n
s j L
h s j L
h dan ,
i i
n i
i n
s k L
h s k L
h tidak berpotongan untuk semua
i i
j k . Ini berimplikasi, untuk semua
i i
j k , peubah acak
,
i
i j
Y dan
,
i
i k
Y
saling bebas. Lebih lanjut lagi
,
, 0,1,...
i
i j i
Y j
adalah barisan peubah acak yang i.i.d, yang mempunyai nilai harapan
