Proses Poisson Periodik TINJAUAN PUSTAKA

Definisi 2.4 Inkremen stasioner Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {Xt, t T} disebut memiliki inkremen stasioner jika Xt + s – Xt memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. Ross 2007 Dapat kita katakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X adalah akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai pada antara sembarang suatu interval itu hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0, . Definisi 2.5 Proses pencacahan Suatu proses stokastik {Nt, t 0} disebut proses pencacahan jika Nt menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan Nt harus memenuhi syarat-syarat sebagai beriku: 1. Nt 0 untuk setiap t [0, . 2. Nilai Nt adalah integer. 3. Jika s t maka Ns Nt, s, t [0, . 4. Untuk s t maka Nt - Ns, sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval s,t]. Ross 2007 Definisi 2.6 Proses Poisson Suatu proses pencacahan { Nt, t 0 } disebut proses Poisson dengan laju , 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: 1. N0 = 0 2. Proses tersebut mempunyai inkremen bebas. 3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan t. Jadi Dari syarat 3 dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa: E Nt = t yang menjelaskan mengapa disebut sebagai laju dari proses Poisson tersebut. Definisi 2.7 Proses Poisson homogen Proses Poisson homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu t. Ross, 2007 Definisi 2.8 Proses Poisson tak homogen Proses Poisson tak homogen adalah proses Poisson dengan laju pada sembarang waktu t yang merupakan suatu fungsi tak konstan dari waktu t yaitu t. Ross, 2007 Definisi 2.9 Fungsi periodik Suatu fungsi disebut periodik jika: s + k = s, untuk semua s  dan k  , dengan  adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas tersebut. Browder, 1996 Fungsi Intensitas Definisi 2.10 Fungsi intensitas Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {Nt, t 0} yaitu disebut sebagai fungsi intensitas proses Poisson pada t. Ross, 2007 Definisi 2.11 Intensitas lokal Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas pada titik s  adalah s, yaitu nilai fungsi di s. Definisi 2.12 Fungsi intensitas global Misalkan N[0,n] adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai: jika limit di atas ada. Mangku, 2001 Definisi 2.13 Proses Poisson periodik Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. Mangku, 2001 Definisi 2.14 Proses Poisson periode ganda Proses Poisson periode ganda adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik dengan periode ganda. Helmers et al. 2007

2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik

Ada dua jenis laju proses Poisson atau yang lebih dikenal dengan fungsi intensitas suatu proses Poisson yaitu fungsi intensitas global dan fungsi intensitas lokal. Fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu interval yang panjangnya menuju tak hingga. Sedangkan yang dimaksud dengan fungsi intensitas lokal adalah laju proses Poisson di suatu titik tertentu misalkan di titik s. Pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s yaitu dengan menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut. Misalkan h n adalah barisan bilangan real positif dengan sifat h n 0, untuk dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu [0,t]. Intensitas lokal di sekitar s dapat dihampiri dengan Pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Pada kasus dengan periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas dengan periode yang diketahui. Namun demikian, Helmers et al 2003 telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk menjelaskan sifat-sifat statistik dari penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik tersebut. Selanjutnya Helmers dan Mangku 2009 mengembangkan pemodelan untuk fenomena proses Poisson periodik dengan menambahkan tren linear, serta proses Poisson dengan periode ganda pada fungsi intensitasnya Helmers et al 2007. Pada Mangku 2006 telah dikaji sifat normalitas asimtotik penduga tipe kernel untuk fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan mengasumsikan bahwa periodenya diketahui. Pendugaan nonparametik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dibahas pada Martalena 2009.