Pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan
periode yang tidak diketahui. Pada kasus dengan periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan
fungsi intensitas dengan periode yang diketahui. Namun demikian, Helmers et al 2003 telah merumuskan pendekatan dengan tipe
kernel yang dapat digunakan untuk menjelaskan sifat-sifat statistik dari penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik tersebut. Selanjutnya Helmers dan
Mangku 2009 mengembangkan pemodelan untuk fenomena proses Poisson periodik dengan menambahkan tren linear, serta proses Poisson dengan periode
ganda pada fungsi intensitasnya Helmers et al 2007.
Pada Mangku 2006 telah dikaji sifat normalitas asimtotik penduga tipe kernel untuk fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan mengasumsikan
bahwa periodenya diketahui. Pendugaan nonparametik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda dengan menggunakan fungsi kernel
umum telah dibahas pada Martalena 2009.
BAB III REVIEW SIFAT- SIFAT STATISTIK PENDUGAAN TIPE
KERNEL BAGI FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN PERIODE GANDA
3.1 Perumusan Penduga
Misalkan adalah proses Poisson yang diamati pada interval [0,n] dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan
lokal serta merupakan fungsi periodik dengan periode T. Dengan demikian fungsi intensitas ini memenuhi persamaan
, dengan dan
dengan
adalah himpunan bilangan bulat. Misalkan pula untuk setiap ,
dapat ditulis sebagai berikut:
1 2
; jika
jika j
; 2
; 1
ika
c c
L c
s s
s s
s s
L s
T
1
1
L l
c l
s l
s l
3.1
dengan I
= ,
dan adalah fungsi periodik dengan periode
dan ,
L. L adalah konstanta positif yang diketahui. Pada bahasan ini di asumsikan
diketahui,untuk semua 1, 2,3,...,
l L .
Tanpa mengurangi keumuman, kita dapat mengasumsikan . Sebab
dengan
. Oleh karena itu kita asumsikan
Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari kecuali
bahwa adalah periodik dengan periode yaitu persamaan
3.2
berlaku untuk setiap .
Misalkan untuk suatu kita hanya memiliki sebuah realisasi
dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang
dengan fungsi intensitas seperti 3.1 yang diamati pada interval terbatas [0, n]
. Kita asumsikan bahwa s merupakan titik Lebesque dari jadi berlaku : .
3.3 Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesque dari adalah fungsi kontinu di s.
Karena s adalah fungsi periodik dengan periode T = L diketahui maka
untuk menduga s pada
dapat direduksi menjadi masalah menduga pada
. Misalkan
merupakan fungsi bernilai real, yang disebut fungsi
kernel yang memenuhi sifat-sifat berikut :
K.1 merupakan fungsi kepekatan peluang K.2
terbatas K.3 memiliki daerah definisi [-1,1] Helmers et.al 2003, 2005.
Misalkan h
n
adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu h
n
3.4 jika
Dengan notasi di atas, kita dapat memformulasikan penduga untuk
c
pada titik sebagai berikut :
1 , ,
1 1
,
i
n L
i i
i j
i n
n c n K
x s
j L K
N dx n
h h
s
3.5
Sedangkan penduga fungsi intensitasnya adalah
1 2
, , , ,
, , ,
; jika 0 ; jika
2 ; ji
ˆ ˆ
ka ˆ
ˆ 1
c n K c n K
n K c
L n K
s s
s s
s s
s L
T
1 , ,
1 .
ˆ
L c n
l l
K
s l
s l
Ide di balik penyusunan dari penduga tipe kernel
, , c n K
s dari
c
dapat dijelaskan sebagai berikut :
Dari 3.1 dan 3.2 untuk setiap titik s dan maka
Nilai fungsi di sekitar titik s dapat ditaksir dengan nilai rataan dari
banyaknya kejadian disekitar titik s, yaitu pada interval [ ], serta dengan menggunakan 3.4 dan 3.6 dapat ditulis
, c n
s Dengan mengganti
dengan padanan stokastiknya
, persamaan 3.7 dapat ditulis :
1 ,
[ ,
] 1
2
i
L i
i n
i i
n i
j i
n c n
N s j L
s L
s h
j h
n h
[ 1,1] 1
1 1
1 I
[ ,
] 2
i
n L
i i
n i
i n
i j
i n
s j L
h s j L
h N dx
n h
1 1
1 1
i
n L
i i
i j
i n
n
x s
j L K
N dx n
h h
dengan =
. 3.8
Agar penduga lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K.
