Laju Kekonsistenan Penduga Teorema Laju kekonsistenan

Karena itu, untuk membuktikan teorema ini cukup ditunjukkan   , , , , c n K c n K n nh s s 2 0, normal 4.15 untuk n , jika 5 1 n nh , maka  1 2 , , 1 1 , 2 c n K n nh s s s z K z dz 4.16 untuk n ; dan jika 5 n nh , maka  , , 0, c n K n c nh s s 4.17 untuk n . Ruas kiri pernyataan 4.15 dapat ditulis     , , , , , , , , . c n K c n K c n K n c n K s s nh Var s Var s 4.18 Maka untuk membuktikan 4.15, cukup periksa    , , , , , , c n K c n K c n K s s Var s 2 0, normal , 4.19 dan  1 2 , , 1 1 1 1 L c n K n c i i nh Var s s K z dz L 4.20 jika n . Untuk membuktikan 4.19 kita perhatikan bentuk berikut. Misalkan 0,1,... i , 1 . i n i i i j i n x s j L Y K N dx h Karena n h jika n , maka untuk n yang cukup besar, interval , i i n i i n s j L h s j L h dan , i i n i i n s k L h s k L h tidak berpotongan untuk semua i i j k . Ini berimplikasi, untuk semua i i j k , peubah acak , i i j Y dan , i i k Y saling bebas. Lebih lanjut lagi , , 0,1,... i i j i Y j adalah barisan peubah acak yang i.i.d, yang mempunyai nilai harapan , 1 i n i i i j i n x s j L Y K x dx h dan ragam 2 , 2 1 i n i i j i n x s j L Var Y K x dx h yang berhingga. Karena itu, bisa kita tulis penduga  , , c n K s sebagai  , , , i i L c n K i j i j n s Y nh , yang merupakan jumlah peubah acak yang i.i.d dikalikan suatu konstanta. Selanjutnya dengan teorema limit pusat kita peroleh 4.19. Untuk membuktikan 4.20, kita ingat bahwa ruas kiri pernyataan 4.20 dapat ditulis menjadi  , , . c n K n nh Var s 4.21 Berdasarkan Teorema 3.2 kita dapatkan kuantitas 4.21 sama dengan 1 1 2 1 1 1 1 L i i c K z L s dz o = 1 1 2 1 1 1 1 L i i c K z L s dz o jika n . Sehingga kita dapatkan 4.20. Selanjutnya dibuktikan 4.16 dan 4.17. dari Teorema 3.1  , , c n K n nh s s 1 2 5 5 1 1 2 n n s z K z dz nh o nh 4.22 jika n . Dari asumsi 5 1 n nh , untuk n , kita peroleh 4.16. Juga dari asumsi 5 n nh , untuk n , kita peroleh 4.17. Dengan demikian Teorema 4.2 terbukti.

4.3 Kenormalan Asimtotik Studentization dari 

, , c n K s Teorema 4.3 Kenormalan Asimtotik Studentization bagi  , , c n K s Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3, ; , 5 1 n nh dan memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka berlaku   , , 1 , 1 2 1 , 1 1 0,1 , n d c n L i i K c n K nh s Normal s dz s K z L 4.23 jika n . Bukti : Untuk membuktikan 4.23, cukup ditunjukkan bahwa  , , 1, c n K p c s s jika n 4.24 Untuk membuktikan 4.24, cukup dibuktikan  , , 1 c n K p c s s , atau sama dengan membuktikan  , , p c n K c s s , jika n 4.25 Dalam membuktikan 4.25, telah dibuktikan pada teorema 3.1 Untuk membuktikan 4.25, berdasarkan definisi maka akan diperlihatkan untuk setiap ε 0 berlaku  , , P 0, unt . uk c n K c s s n 4.26 Ruas kiri 4.26 dapat dinyatakan sebagai berikut :  , , P c n K c s s    , , , , , , = . P E E c n K c n K c n K c s s s s 4.27 Dengan ketaksamaan segitiga maka, persamaan 4.27 menjadi       , , , , , , , , , , , , P E E P E E . 4.28 c n K c n K c n K c c n K c n K c n K c s s s s s s s s