Sedangkan penduga fungsi intensitasnya adalah
1 2
, , , ,
, , ,
; jika 0 ; jika
2 ; ji
ˆ ˆ
ka ˆ
ˆ 1
c n K c n K
n K c
L n K
s s
s s
s s
s L
T
1 , ,
1 .
ˆ
L c n
l l
K
s l
s l
Ide di balik penyusunan dari penduga tipe kernel
, , c n K
s dari
c
dapat dijelaskan sebagai berikut :
Dari 3.1 dan 3.2 untuk setiap titik s dan maka
Nilai fungsi di sekitar titik s dapat ditaksir dengan nilai rataan dari
banyaknya kejadian disekitar titik s, yaitu pada interval [ ], serta dengan menggunakan 3.4 dan 3.6 dapat ditulis
, c n
s Dengan mengganti
dengan padanan stokastiknya
, persamaan 3.7 dapat ditulis :
1 ,
[ ,
] 1
2
i
L i
i n
i i
n i
j i
n c n
N s j L
s L
s h
j h
n h
[ 1,1] 1
1 1
1 I
[ ,
] 2
i
n L
i i
n i
i n
i j
i n
s j L
h s j L
h N dx
n h
1 1
1 1
i
n L
i i
i j
i n
n
x s
j L K
N dx n
h h
dengan =
. 3.8
Agar penduga lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K.
3.2 Sifat-sifat Statistik
, , c n K
s Teorema 3.1 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga
Misalkan diketahui fungsi intensitas seperti 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan
; serta
memiliki turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s, maka
1 2
2 2
, , 1
E ,
2
c c
n n
c n K
s s
h z K z dz
s o h
untuk .
Bukti :
Dari persamaan 3.5 maka
Dengan mengganti variabel, misalkan ,
sehingga persamaan 3.10 dapat ditulis menjadi
, , c n K
s
Dengan melihat bahwa
akibatnya diperoleh
Karena
c
memiliki turunan kedua pada s maka
c
kontinu pada s, mengakibatkan
c
memiliki nilai yang terbatas disekitar s. dengan formula Young kita peroleh
2 2
, 3.14
1 2
i i
i i
n
s s
y s
s y
y o h
2 2
, 1
2
i c
i c
i c
n
s s
s y
y o h
untuk .
3.15 Substitusikan 3.15 ke 3.13 sehingga diperoleh
2 2
1
1 1
. 1
2 1
1
L i
c i
i c
i i
c n
i i
n n
s s
y o
K s
y y
o h d
L y
n h
h
3.16
Dengan mengganti variabel yaitu misal:
,
n n
y dy
z dz
h h
, maka 3.16 dapat ditulis
2 2
2
1 1
2
c c
c n
n n
s s
K s
zh z h
z o h
dz o n
2 2
2
1 ,
2
c c
c n
n n
s s
K z dz s h z K z dz
h z K z dz o h
o n
3.17
untuk n .
, , c n K
s
Karena K adalah simetrik dan memenuhi kondisi K.1 dan K.3 maka 3.17 dapat ditulis
1 2
2 1
2
1 2
c c
n n
s s
h z K z dz o h
o n
2 2
1 2
2 2
1
, 2
c n
c n
n n
s h
s h
z K z dz o h o
nh untuk
. Karena
2
,
n
nh
maka ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis menjadi
1 1
2 2
2
2
c c
n n
s s
h z K z dz o h
untuk .
3.18 Dengan demikian kita peroleh persamaan 3.9. jadi Teorema 3.1 terbukti.
Teorema 3.2 Aproksimasi asimtotik bagi nilai ragam penduga
Misalkan diketahui fungsi intensitas seperti 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi kondisi K.1, K.2, K.3 dan
; , maka
, , c n K
s untuk
Bukti
1 , ,
1 1
. 3.20
i
n L
i c n
i j
i n
n K
i
x s
j L Var
Var K
N dx n
h h
s Untuk n yang cukup besar, karena
untuk , maka interval [
] dan [ ], untuk
tidak saling tumpang tindih tidak overlap. Sehingga untuk semua ,
i i
n
x s
j L K
h
dan
i i
n
x s
j L K
h
adalah bebas. Jadi varian bagi dapat ditentukan sebagai berikut
