198
Kelas XI SMAMASMKMAK
a. Tentukan berapa banyak balok yang dibutuhkan pada susunan ke-10. b. Tentukan pula susunan balok yang ke-100.
10. Suatu perusahaan minuman kaleng pada bulan Januari 2012 memproduksi 40.000 minuman kaleng. Setiap bulan perusahaan tersebut menaikkan
produksinya secara tetap sebanyak 250 kaleng. Berapa banyak minuman kaleng yang diproduksi perusahaan sampai akhir bulan Juni 2013?
Proyek Himpunlah minimal tiga masalah penerapan barisan aritmetika dalam
bidang isika, teknologi informasi, dan masalah nyata di sekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan aritmetika di dalam pemecahan masalah
tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas
5.3 Menemukan Konsep Barisan Geometri
Contoh 5.6 Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, …
×2 ×2
×2
2 4
8 16
32
×2
...
Nilai perbandingan
3 2
1 2
1
... 2
n n
u u
u u
u u
-
= = =
= . Jika nilai perbandingan dua
suku berurutan dimisalkan r dan nilai suku pertama adalah a, maka susunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, …
Di unduh dari : Bukupaket.com
199
MATEMATIKA
Perhatikan gambar berikut ini
2
2
a
ar
1-1
u
1
= a 4
2×2
a×r
ar
2-1
u
2
= ar 8
2×2×2
a×r×r
ar
3-1
u
3
= ar
2
16
2×2×2×2
a×r×r×r
ar
4-1
u
4
= ar
3
32
2×2×2×2×2
a×r×r×r×r
ar
5-1
u
5
= ar
4
...
...
...
...
... ...
...
...
ar
n–1
u
n
= ar
n–1
dari pola di atas dapat disimpulkan bahwa u
n
= ar
n–1
Contoh 5.7 Perhatikan susunan bilangan
1 1 1 2 4 8
1, , , ,... 1
1 2
1 4
1 8
1 16
× 1
2 ×
1 2
× 1
2 ×
1 2
...
Nilai perbandingan
3 2
1 2
1
1 2
... .
n n
u u
u u
u u
-
= = =
= Jika nilai perbandingan dua suku
berurutan dimisalkan r dan nilai suku pertama adalah a, maka susunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan
1 1
1 1
1 1 1
2 2
2 4
2 8
2
1,1 ,
, ,
,...
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
n
Di unduh dari : Bukupaket.com
200
Kelas XI SMAMASMKMAK
Perhatikan gambar berikut
a ar
ar
2
... ar
n–1
u
1
u
2
u
3
u
...
u
n
×r ×r
×r ×r
Sehingga: • u
1
= a = 1 • u
2
= u
1
.
1 2
= 1.
1 2
↔ u
2
= u
1
.r = a.r •
2 2
3 2
3 2
1 1 1
1 2
2 2 2
. 1. .
1. .
. . .
u u
u u r
a r r a r
= =
=
↔ =
= =
•
2 3
2 3
4 3
4 3
1 1
1 1
2 2
2 2
. 1.
. 1.
. . .
. u
u u
u r a r r
a r
= =
= ↔
= =
=
•
3 4
3 4
5 4
5 4
1 1
1 1
2 2
2 2
. 1.
. 1.
. . .
. u
u u
u r a r r
a r
= =
= ↔
= =
=
Dari pola di atas, tentunya dengan mudah kamu pahami bahwa,
u
n
= u
n–1
.r = a.r
n–2
.r = a.r
n–1
Contoh 5.8 Seorang anak memiliki selembar kertas. Berikut ini disajikan satu bagian kertas.
Gambar 5.9: Selembar Kertas
Ia melipat kertas tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Kertas terbagi menjadi 2 bagian yang sama besar.
Di unduh dari : Bukupaket.com
201
MATEMATIKA
Gambar 5.10: Selembar Kertas pada Lipatan Pertama
Kertas yang sedang terlipat ini, kemudian dilipat dua kembali olehnya. Kertas terbagi menjadi 4 bagian yang sama besar.
Gambar 5.11: Selembar Kertas pada Lipatan Kedua
Ia terus melipat dua kertas yang sedang terlipat sebelumnya. Setelah melipat, ia selalu membuka hasil lipatan dan mendapatkan kertas tersebut terbagi menjadi 2
bagian sebelumnya. Sekarang, perhatikan bagian kertas tersebut yang membentuk sebuah barisan bilangan.
1 2
4 ...
u
1
u
2
u
3
u
...
Setiap dua suku berurutan dari barisan bilangan tersebut memiliki perbandingan yang sama, yaitu
3 2
1 2
1
... 2.
n n
u u
u u
u u
-
= = =
=
Barisan bilangan ini disebut barisan geometri.
Di unduh dari : Bukupaket.com
202
Kelas XI SMAMASMKMAK
Deinisi 5.2
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding rasio antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berdekatan.
Nilai r dinyatakan:
3 2
4 1
2 3
1
... .
n n
u u
u u
r u
u u
u
-
= =
= = =
Sifat 5.2 Jika u
1
, u
2
, u
3
, …, u
n
merupakan susunan suku-suku barisan geometri, dengan u
1
= a dan r: rasio, maka suku ke-n dinyatakan
u
n
= a.r
n–1
, n adalah bilangan asli
Uji Kompetensi 5.2 1. Untuk memeriksa sebuah barisan merupakan barisan geometri apakah
cukup hanya dengan menentukan rasio dua suku berturutan? Jelaskan dengan menggunakan contoh
2. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan bilangan di bawah ini a. 1, 4, 16, 24, …
b. 5, 10, 20, 40, … c. 9, 27, 81, 243, …
d.
1 25
,
1 5
, 1, 5, … e. 81, 27, 9, 3, …
3. Tentukan rasio dan suku pertama dari barisan geometri di bawah ini a. Suku ke-4 = 8 dan suku ke-6 = 729
b. Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162 c.
U
3
= 10 dan U
6
= 1,25 4. Selesaikan barisan geometri di bawah ini
a. Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 = 243, tentukan suku ke-8 b.
U
2
= 10 dan U
6
= 10, tentukan U
9
c. U
2
= 2 2
dan U
5
= 8, tentukan U
10
Di unduh dari : Bukupaket.com
203
MATEMATIKA
5. Tentukan hasil dari jumlah bilangan di bawah ini a. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … sampai 10 suku
b. 54 + 18 + 6 + 2 + … sampai 9 suku c. 5 – 15 + 45 – 135 + … sampai 8 suku
d. 1 + 1 + 3 + 2 + 9 + 4 + 27 + 8 + … sampai 19 suku e. 8 + 7 + 9 + 3 + … +
1 27
+
1 81
= … 6. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 3
dan suku kedua dikurangi 1, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 8, maka hasilnya menjadi 5 kali suku pertama.
Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut
7. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r 1. Jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang
jumlahnya 30. Tentukan hasil kali dari ketiga bilangan tersebut 8. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 8m dan memantul kembali dengan
ketinggian
3 5
kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Berapakah jarak lintasan seluruhnya ?
9. Jika barisan x
1
, x
2
, x
3
, … memenuhi x
1
+ x
2
+ x
3
+ ... + x
n
= n
3
, untuk semua n bilangan asli, maka x
100
= ... 10. Jumlah m suku pertama barisan aritmetika adalah p dan jumlah m suku
terakhir barisan aritmetika tersebut adalah q. Tentukan jumlah 4m suku pertama barisan tersebut.
Proyek Himpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret geometri
dalam bidang isika, teknologi informasi, dan masalah nyata di sekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret aritmetika di dalam
pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas
Di unduh dari : Bukupaket.com
204
Kelas XI SMAMASMKMAK
5.4 Aplikasi Barisan 5.4.1 Pertumbuhan
