94
Kelas XI SMAMASMKMAK
Karena p dan q adalah skalar, ternyata dengan mengalikan p dengan q
terlebih dahulu, kemudian mengalikannya dengan matriks L, merupakan langkah lebih efektif untuk menyelesaikan p.q.L.
Sekarang, untuk matriks M berordo m × n, p dan q adalah skalar anggota himpunan bilangan real, tolong kamu tunjukkan bahwa:
p × q × L = p × q × L.
3.4.4 Operasi Perkalian Dua Matriks
Masalah 3.5 Suatu perusahaan yang bergerak pada bidang jasa akan membuka tiga
cabang besar di pulau Sumatera, yaitu cabang 1 di kota Palembang, cabang 2 di kota Padang, dan cabang 3 di kota Pekanbaru. Untuk itu, diperlukan
beberapa peralatan untuk membantu kelancaran usaha jasa tersebut, yaitu handphone, komputer, dan sepeda motor. Di sisi lain, pihak perusahaan
mempertimbangkan harga per satuan peralatan tersebut. Lengkapnya, rincian data tersebut disajikan sebagai berikut.
Perusahaan ingin mengetahui total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang.
Handphone unit
Komputer unit
Sepeda Motor
unit
Cabang 1 7
8 3
Cabang 2 5
6 2
Cabang 3 4
5 2
Harga Handphone
juta
Harga Komputer juta
Harga Sepeda Motor juta
2
5 15
Di unduh dari : Bukupaket.com
95
MATEMATIKA
Alternatif Penyelesaian:
Tidaklah sulit menyelesaikan persoalan di atas. Tentunya kamu dapat men jawabnya. Sekarang, kita akan menyelesaikan masalah tersebut dengan
menggunakan konsep matriks.
Kita misalkan matriks C
3×3
= 7
8 3
5 6
2 4
5 2
yang merepresentasikan jumlah unit setiap peralatan yang dibutuhkan di setiap cabang dan matriks D
3×1
= 2
5 15
yang merepresentasikan harga per unit setiap peralatan.
Untuk menentukan total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang, kita peroleh sebagai berikut.
• Cabang 1
Total biaya = 7 unit handphone × 2 juta + 8 unit komputer × 5 juta + 3 unit sepeda motor 15 juta.
= Rp99.000.000,00 •
Cabang 2 Total biaya = 5 unit handphone × 2 juta + 6 unit komputer × 5 juta +
2 unit sepeda motor × 15 juta = Rp70.000.000,00
• Cabang 3
Total biaya = 4 unit handphone × 2 juta + 5 unit komputer × 5 juta + 2 unit sepeda motor × 15 juta
= Rp63.000.000,00 Jadi total biaya pengadaan peralatan di setiap unit dinyatakan dalam matriks
berikut.
E
3×1
=
99.000.000, 00 70.000.000, 00
63.000.000, 00 Rp
Rp Rp
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
96
Kelas XI SMAMASMKMAK
Dapat kita cermati dari perkalian di atas, bahwa setiap entry baris pada matriks C berkorespondensi satu-satu dengan setiap entry kolom pada matriks
D. Seandainya terdapat satu saja entry baris ke-1 pada matriks C tidak memiliki pasangan dengan entry kolom ke-1 pada matriks D, maka operasi perkalian
terhadap kedua matriks itu tidak dapat dilakukan. Jadi, dapat disimpulkan operasi perkalian terhadap dua matriks dapat dilakukan jika banyak baris pada
matriks C sama dengan banyak kolom pada matriks D. Banyak perkalian akan berhenti jika setiap entry baris ke-n pada matriks C sudah dikalikan dengan
setiap entry kolom ke-n pada matriks D.
Secara matematis, kita dapat menyatakan perkalian dua matriks sebagai berikut. Misalkan matriks A
m×n
dan matriks B
n×p
, matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak baris matriks A sama dengan banyak kolom
matriks B. Hasil perkalian matriks A berordo m × n terhadap matriks B berordo n × p adalah suatu matriks berordo m × p. Proses menentukan entry-entry
hasil perkalian dua matriks dipaparkan sebagai berikut.
11 12
13 1
21 22
23 2
31 32
33 3
1 2
3
... ...
... ...
n n
m n n
m m
m mn
a a
a a
a a
a a
A a
a a
a a
a a
a
×
=
, dan
11 12
13 1
21 22
23 2
31 32
33 3
1 2
3
... ...
... ...
p p
p n p
n n
n np
b b
b b
b b
b b
b b
b b
B b
b b
b
×
=
Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks A
m×n
terhadap matriks B
n×p
dan dinotasikan C = A.B, maka • Matriks
C berordo m × p. • Entry-entry matriks C pada baris ke-i dan kolom ke-j, dinotasikan c
ij
, diperoleh dengan cara mengalikan entry baris ke-i dari matriks A terhadap
entry kolom ke-j dari matriks B, kemudian dijumlahkan. Dinotasikan c
ij
= a
i1
.b
1
j + a
i2
.b
2j
+ a
i3
.a
3j
+ . . . + a
in
.b
nj
Mari kita pelajari contoh-contoh di bawah ini, untuk memudahkan kita mengerti akan konsep di atas
Di unduh dari : Bukupaket.com
97
MATEMATIKA
Contoh 3.6
a Diketahui matriks A
3×3
=
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a
dan B
3×3
=
11 12
13 21
22 23
31 32
33
b b
b b
b b
b b
b
,
Matriks hasil perkalian matriks A dan matriks B: A.B =
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a
×
11 12
13 21
22 23
31 32
33
b b
b b
b b
b b
b
=
11 11
12 21
13 31
11. 12 12
22 13
32 11
13 12
23 13
33 21
11 22
21 23
31 21
12 22
22 23
32 21
13 22
23 23
33 31
11 32
21 33
31 31
12 32
22 33
32 31
13 32
23
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
a b +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
33 33
. a b
Sekarang, tentukan hasil perkalian matriks B terhadap matriks A. Kemudian, simpulkan apakah berlaku atau tidak sifat komutatif pada
perkalian matriks? Berikan alasanmu
b Mari kita tentukan hasil perkalian matriks 1
2 2
3 4
3 4
1 2
5 6
×
. Dengan menggunakan konsep perkalian dua matriks di atas, diperoleh:
1 2
2 3
4 3
4 1
2 5
6
×
=
1.2 2.1 1.3 2.2 1.4 2.0 3.2 4.1 3.3 4.2 3.4 4.0
5.2 6.1 5.3 6.2 5.4 6.0
+ +
+
+
+ +
+ +
+
=
4 7
4 10 17
12 16
27 20
Dengan menggunakan hasil diskusi yang kamu peroleh pada contoh a, silakan periksa apakah matriks
2 3
4 1
2
dapat dikalikan terhadap
matriks 1
2 3
4 5
6
? Berikan penjelasanmu
Di unduh dari : Bukupaket.com
98
Kelas XI SMAMASMKMAK
3.4.1 Tranpose Matriks
