105
MATEMATIKA
Kembali ke persamaan 3.1, dengan menerapkan persamaan 3.3, maka diperoleh:
x =
70.000 2
115.000 3
210.000 230.000 20.000
3 2
9 10 1
5 3
- -
= =
- -
= 20.000
y =
3 70.000
5 115.000 345.000 350.000
5.000 3
2 9 10
1 5
3 -
- =
= -
-
= 5.000
Jadi, harga ayam penyet satu porsi adalah Rp20.000,00 dan harga es jeruk satu gelas adalah Rp5.000,00.
Notasi Determinan Misalkan matriks A =
a b
c d
. Determinan dari matriks A dapat dinyatakan det A = |A| =
a b
c d
= ad – bc
3.5.2 Sifat-Sifat Determinan
Misalkan matriks A = 3
4 2
1
-
-
dan matriks B =
3 4
2 1
- -
- -
. det A = |A| =
3 4
2 1
- -
= –3 + 8 = 5 det B = |B| =
3 4
2 1
- -
- -
= 3 – 8 = –5 Jadi |A| × |B| = –25
Di unduh dari : Bukupaket.com
106
Kelas XI SMAMASMKMAK
Diketahui matriks A = 4
5 2
6
dan matriks B =
1 2
3 4
.
Tunjukkan bahwa |A.B| = |A|.|B|
Alternatif Penyelesaian:
Sebelum kita menentukan determinan A.B, mari kita tentukan terlebih dahulu matriks A.B, yaitu:
A.B = 4
5 1
2 19
28 2
6 3 4
20 28
⋅ =
. Dengan matriks A.B tersebut kita peroleh |A.B| =
19 28
20 28
= –28. Sekarang akan kita bandingkan dengan nilai |A|.|B|.
Dengan matriks A = 4
5 2
6
maka |A| = 14, dan B =
1 2
3 4
maka |B| = –2.
Nilai |A|.|B| = 14.–2 = –28 Jadi, benar bahwa |A.B| = |A|.|B| = –28.
Sifat 3.1 Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m
∈ N. Jika det A = |A| dan det B = |B|, maka |AB|= |A|.|B|
Contoh 3.8 Matriks A × B =
3 4
2 1
- -
3 4
2 1
- -
- -
= 17
16 8
9 -
-
Dengan demikian det A × B = |AB| =
17 16
8 9
- -
= –153 + 128 = –25
Di unduh dari : Bukupaket.com
107
MATEMATIKA
Matriks P ordo 2 × 2 dengan P = a
b c
d
dimana a, b, c, d
∈ R. Jika determinan P adalah
a, dengan a ∈ R, tentukanlah determinan dari matriks Q =
a b
xc sa
xd sb
- -
dengan x, y ∈ R.
Alternatif Penyelesaian:
Jika P a
b c
d =
, dan determinannya adalah α, maka berlaku
a b
c d
ad bc
= −
= α
.
Entry matriks
Q
memiliki hubungan dengan matriks
P
, yaitu:
q
21
= hasil kali skalar
x
terhadap p
21
- hasil kali skalar s terhadap
p
11
q
22
= hasil kali skalar
x
terhadap p
22
- hasil kali skalar
s
terhadap
p
12
. Tujuan kita sekarang adalah mereduksi matriks
Q
menjadi kelipatan matriks
P
. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
Q a
b xc
sa xd
sb baris
baris =
− −
→ →
1 2
Contoh 3.9
Soal Tantangan •
Selidiki apakah |A.B.C| = |A|.|B|.|C| untuk setiap matriks-matriks A, B, dan C berordo n × n.
• Jika matriks A adalah matriks persegi dan k adalah skalar, coba telusuri
nilai determinan matriks k.A.
Di unduh dari : Bukupaket.com
108
Kelas XI SMAMASMKMAK
Soal Tantangan
Misal matriks P adalah matriks berordo 3 × 3, dengan |P| = a dan
matriks Q berordo 3 × 3 dan mengikuti pola seperti contoh di atas. Tentukan determinan matriks Q.
Entry baris 1 matriks
Q =
entry baris 1 matriks
P
. Mereduksi dalam hal ini adalah mengoperasikan entry baris 2 matriks
Q
menjadi entry baris 2 matriks
P
. Jadi,
q
21
dapat dioperasikan menjadi: q s q
q
21 11
21
= +
.
,
akibatnya kita peroleh: Q
a b
xc sa
sa xd
sb sb
= −
+ −
+
Q a
b cx
dx baris
baris =
→ →
1 2
Menurut sifat determinan matriks silakan minta penjelasan lebih lanjut dari Guru Matematika, maka:
Q a
b cx
dx a dx b cx
x a d b c
x =
= −
= −
= .
. .
. .
α Jadi Q
x =
α .
Perhatikan kembali matriks A di atas dan ingat kembali menentukan transpose sebuah matriks yang sudah dipelajari,
Matriks A = 3
4 2
1
-
-
dan matriks transpose dari matriks A adalah
A
t
= 3
2 4
1 -
-
.
det A
t
= |A
t
| = 3
2 4
1 -
- = –3 + 8 = 5
Di unduh dari : Bukupaket.com
109
MATEMATIKA
Perhatikan dari hasil perhitungan det A dan det A
t
. Diperoleh det A = det A
t
.
Sifat 3.2 Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m
∈ N. Jika det A = |A| dan det A
t
= |A
t
|, maka |A| = |A
t
| Coba buktikan sifat berikut setelah kamu mempelajari invers matriks.
Sifat 3.3 Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m
∈ N. Jika det A = |A| dan det A
–1
= |A
–1
|, maka |A
–1
| = 1
A -
Masalah 3.7 Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke
negara A, perusahaan tersebut mempunyai tiga jenis pesawat yaitu Airbus 100, Airbus 200, dan Airbus 300. Setiap pesawat dilengkapi dengan kursi
penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP. Jumlah kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel berikut.
Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A seperti pada tabel berikut.
Berapa banyak pesawat yang harus dipersiapkan untuk perjalanan tersebut?
Kategori Airbus 100
Airbus 200 Airbus 300
Kelas Turis 50
75 40
Kelas Ekonomi 30
45 25
Kelas VIP 32
50 30
Kategori Jumlah Penumpang
Kelas Turis 305
Kelas Ekonomi 185
Kelas VIP 206
Di unduh dari : Bukupaket.com
110
Kelas XI SMAMASMKMAK
– – –
+ + + – – –
+ + + Alternatif Penyelesaian:
Untuk memudahkan kita menyelesaikan masalah ini, kita misalkan: x = banyaknya pesawat Airbus 100
y = banyaknya pesawat Airbus 200 z = banyaknya pesawat Airbus 300
Sistem persamaan yang terbentuk adalah:
50 75
40 305
50 75
40 305
30 45
25 185
30 45
25 185
32 50
30 206
32 50
30 206
x y
z x
x y
z y
x y
z z
+ +
=
+
+ =
↔ ⋅
=
+
+ =
Sebelum ditentukan penyelesaian masalah di atas, terlebih dahulu kita periksa apakah matriks A adalah matriks nonsingular.
Ada beberapa cara untuk menentukan det A, antara lain Metode Sarrus. Cara tersebut sebagai berikut.
Misalnya matriks A
3×3
=
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a
, maka deteminan A adalah:
11 12
13 11
12 13
11 12
21 22
23 21
22 23
21 22
31 32
33 31
32 33
31 32
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
=
= a
11
.a
22
.a
33
+ a
12
.a
23
.a
31
+ a
13
.a
21
.a
32
– a
31
.a
22
.a
13
– a
32
.a
23
.a
11
– a
33
.a
21
.a
12
Untuk matriks pada Masalah 3.7, 50
75 40
50 75
40 50 75
30 45
25 30
45 25 30
45 32
50 30
32 50
30 32 50
=
= 50 × 45 × 30 + 75 × 25 × 32 + 40 × 30 × 50 – 32 × 45 × 40 – 50 × 25 × 50 – 30 × 30 × 75
= –100.
Di unduh dari : Bukupaket.com
111
MATEMATIKA
Analog dengan persamaan 2, kita akan menggunakan determinan matriks untuk menyelesaikan persoalan di atas.
x = 305
75 40
185 45
25 206
50 30
300 50
75 40
100 30
45 25
32 50
30 -
= -
= 3 y =
50 305
40 30 185
25 32
206 30
100 50
75 40
100 30
45 25
32 50
30 -
= -
= 1
z = 50
75 305
30 45 185
32 50
206 200
50 75
40 100
30 45
25 32
50 30
- =
- = 2
Oleh karena itu, banyak pesawat Airbus 100 yang disediakan sebanyak 3 unit, banyak pesawat Airbus 200 yang disediakan sebanyak 1 unit, banyak pesawat
Airbus 300 yang disediakan sebanyak 2 unit.
3.5.3 Invers Matriks
