20
Kelas XI SMAMASMKMAK
Dari pola tersebut, tentu kamu dapat menyimpulkan pola hasil bagi yang akan ditemukan, sedemikian sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa
untuk n = k, maka Pk = x
k
– y
k
= x – yx
k – 1
y + x
k – 2
y
1
+ x
k – 3
y
2
+ . . . + x
y
k – 1
. Oleh karena itu, disimpulkan bahwa Pk = x
k
– y
k
habis dibagi x – y. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa Pk – 1 = x
k – 1
– y
k – 1
juga habis dibagi x – y, kenapa?.
Untuk mempermudah dalam penulisan, kita misalkan q = x
k – 1
y + x
k – 2
y
1
+ x
k – 3
y
2
+ . . . + x y
k – 1
dan r = x – y, sehingga x
k
– y
k
= rq. Akibatnya, x
k
= rq + y
k
dan y
k
= x
k
– rq. Karena x
k
= rq + y
k
, maka x·x
k
= x
k + 1
= xrq + xy
k
, 1.a y
k
= x
k
– rq, maka y·y
k
= y
k + 1
= yx
k
– yrq 1.b Dari Persamaan 1.a dan 1.b, diperoleh,
x
k + 1
– y
k + 1
= [xrq + xy
k
] – [yx
k
– yrq] = rq[x + y] + xy
k
– yx
k
= x + yrq – [xyx
k – 1
– xyy
k – 1
] = x + yrq – xy[x
k – 1
– y
k – 1
] Oleh karena itu, x
k + 1
– y
k + 1
= x + yrq – xy[x
k – 1
– y
k – 1
]. x + yrq habis dibagi x – y karena r = x – y, dan [x
k – 1
– y
k – 1
] juga habis dibagi x – y, maka x + yrq – xy[x
k – 1
– y
k – 1
] habis dibagi x – y. Dengan demikian, Pk + 1 = x
k + 1
– y
k + 1
habis dibagi x – y. Karena Pn = x
n
– y
n
memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka terbukti bahwa Pn = x
n
– y
n
habis dibagi x – y, dengan x ≠ y dan n bilangan
asli.
1.3.3 Penerapan Induksi Matematika pada Ketidaksamaan
Ketaksamaan Pada subbab ini, kita memperluas kajian penerapan Prinsip Induksi
Matematika dalam formula yang dinyatakan dalam bentuk ketidaksamaan matematik. Untuk lebih jelasnya mari kita cermati contoh berikut ini.
Di unduh dari : Bukupaket.com
21
MATEMATIKA
Buktikan bahwa 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
3
3 n
, untuk setiap n bilangan asli.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan Pn = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
3
3 n
, n ∈ N.
Akan ditunjukkan bahwa Pn memenuhi kedua prinsip induksi matematika. a Langkah Awal
Untuk n = 3, maka P3 = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
= 14
27 3
. Terbukti bahwa P3 benar.
b Langkah Induksi Karena P3 benar, maka P4 = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ 4
2
= 30
64 3
, juga benar. Demikian seterusnya hingga dapat disimpulkan bahwa untuk n = k
Pk = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + k
2
3
3 k
adalah benar. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1, maka
Pk + 1 = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + k + 1
2
3
1 3
k +
Karena 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + k
2
3
3 k
, jika kedua ruas ditambahkan k + 1
2
, diperoleh 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + k
2
+ k + 1
2
3
3 k
+ k + 1
2
⇔ Pk + 1 = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + k
2
+ k + 1
2
3 2
3 6
3 3
k k
k +
+ +
⇔ Pk + 1 = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + k
2
+ k + 1
2
3
1 3
2 3
k k
+ +
+
Padahal
3
1 3
2 3
k k
+ +
+
=
3 3
1 3
2 1
3 3
3 k
k k
+ +
+
+ , untuk setiap k bilangan
bulat positif. Akibatnya, Pk + 1 = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + k
2
+ k + 1
2
3
1 3
k +
. Contoh 1.7
Di unduh dari : Bukupaket.com
22
Kelas XI SMAMASMKMAK
Dengan demikian terbukti bahwa, Pk + 1 = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + k
2
+ k + 1
2
3
1 3
k +
adalah benar. Karena Pn = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
3
3 n
memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka formula Pn = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
3
3 n
adalah benar, untuk setiap n bilangan asli.
Contoh 1.8 Diberikan x
1
= 1 dan x
n + 1
= 1 2
n
x +
, n bilangan asli. Buktikan bahwa x
n
4, untuk setiap n ≥ 1.
Alternatif Penyelesaian:
Dengan x
1
= 1, kita dapat menentukan nilai untuk setiap x
n
, n ≥ 1.
Akan ditunjukkan bahwa Pn = x
n
4 dengan x
n + 1
= 1 2
n
x +
, x
1
= 1, n ≥ 1
memenuhi kedua prinsip induksi matematika. a Langkah Awal
Untuk n = 1, diperoleh P2 = x
2
=
1
1 2 1 2.1
x +
= +
= 3
. Akibatnya P2 = x
2
= 3
, dan 3
16 .
Dengan demikian terbukti bahwa P2 = x
2
= 3
4. b Langkah Induksi
P3 = x x
3 2
1 2
1 2 3
1 2
9 4
4 =
+ =
+ +
= . Dengan demikian diperoleh P3 benar.
Dengan cara yang sama, karena P4 benar maka P5 benar. Demikian seterusnya hingga disimpulkan P k
x x
k k
= =
+
−
1 2
4
1
. Untuk n = k + 1, maka x
x x
k k
k +
+ +
+
= =
+
1 1
2 1
1 2.
. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa x
x
k k
+ +
= +
2 1
1 2 4
. .
Jika kita mengkaji lebih jauh hubungan antar suku-suku barisan x
i
, dapat dituliskan bahwa:
• Jika k = 3, maka
x x
4 3
1 2
1 2 3
1 2
9 4
4 =
+ =
+ +
= .
Di unduh dari : Bukupaket.com
23
MATEMATIKA
• Jika k = 4, maka x x
5 4
1 2
1 2 1
2 3 1
2 9
4 4
= +
= +
+ +
= .
• Jika k = 5, maka x x
5 4
1 2
1 2 1
2 3 1
2 9
4 4
= +
= +
+ +
= . .
•
• Jika k = m, maka x
x
m m
+
= +
+ =
1
1 2
1 2
9 4
4 , untuk setiap m
bilangan asli. • Jika k
m =
+1, maka x x
m m
+ +
+
= +
+ =
1 1
1
1 2
1 2
9 4
4 , untuk
setiap m bilangan asli. Akibatnya diperoleh bahwa P
k x
x x
k k
k
+ =
= =
+
+ +
+ +
1 1
2 4
1 1
2 1
. Jadi, terbukti P n
x
n
= 4
dengan x x
n n
+
= +
1
1 2
, x = 1, n ≥ 1 memenuhi
kedua prinsip induksi matematika, sedemikian sehingga Pn benar. Untuk pembahasan baik masalah maupun contoh yang dikaji mulai Sub
bab 1.2, ditemukan bahwa setiap formula yang diberikanada selalu terbukti kebenarannya dengan menggunakan induksi matematika. Akan tetapi, apakah
benar untuk setiap formula yang diberikan selalu memenuhi kedua prinsip induksi matematika? Mari kita cermati kasus berikut ini.
Contoh 1.9 Dengan menggunakan induksi matematika, selidiki kebenaran pernyataan,
untuk setiap bilangan asli, Pn = n
2
– n + 41 adalah bilangan prima.
Alternatif Penyelesaian:
Sebelumnya kamu sudah mengetahui konsep bilangan prima. Untuk menyelidiki kebenaran pernyataan Pn = n
2
– n + 41 adalah bilangan prima, akan dikaji apakah pernyataan tersebut memenuhi kedua prinsip induksi
matematika.
Di unduh dari : Bukupaket.com
24
Kelas XI SMAMASMKMAK
Langkah Awal Untuk menyelidiki pernyataan Pn, kita tidak cukup hanya menyelidiki untuk
n = 1, n = 2. Mari kita cermati yang disajikan pada tabel berikut.
Tabel 1.2 Pn = n
2
– n + 41, untuk n bilangan asli
n n
2
– n + 41 Prima?
1 41 Ya
2 43 Ya
3 47 Ya
4 53 Ya
5 61 Ya
Pada Tabel 1.2, penyelidikan telah dilakukan bahkan hingga n = 5, dan semuanya merupakan bilangan prima. Namun, ada n bilangan asli yang
mengakibatkan Pn bukan bilangan prima, yaitu n = 41.
Karena langkah awal dari prinsip induksi matematika tidak dipenuhi, maka disimpulkan bahwa Pn = n
2
– n + 41, untuk setiap n bilangan asli bukan merupakan formula bilangan prima.
1. Buktikan bahwa pernyataan berikut ini adalah salah. a Jika
n bilangan asli, maka terdapat paling sedikit satu bilangan prima p sedemikian sehingga n p n + 6,
b Jika a, b, c, d merupakan bilangan bulat positif sedemikian sehingga
a
2
+ b
2
= c
2
+ d
2
, maka a = c atau a = d. Sertakan alasan untuk setiap jawaban yang kamu berikan.
2. Rancang suatu formula untuk setiap pola barisan yang diberikan. a 5, 13, 21, 29, 37, 45, . . .
d –2, 1, 6, 13, 22, 33, . . .
b 6, 15, 30, 51, 78, 111, . . . e
–1, 8, 23, 44, 71, 104, . . . c 0, 6, 16, 30, 48, 70, . . .
Jelaskan alasan untuk setiap formula yang kamu peroleh.
Uji Kompetensi 1.2
Di unduh dari : Bukupaket.com
25
MATEMATIKA
3. Selidiki kebenaran setiap pernyataan matematis berikut ini. a 3
2
+ 4
2
= 5
2
3
3
+ 4
3
+ 5
3
= 6
3
b Untuk setiap n bilangan asli, Pn = n
2
+ 21n + 1 adalah bilangan prima.
4. Untuk soal nomor 2, buktikan formula yang ditemukan dengan mengguna- kan induksi matematika.
5. Diketahui n
∈ N, gunakan prinsip induksi matematika, untuk membuktikan sifat-sifat berikut.
a ab
n
= a
n
.b
n
, b
n
a b
=
n n
a b
, c Diketahui
x
1
≠ 0, x
2
≠ 0, x
3
≠ 0, . . . x
n
≠ 0, maka x
1
. x
2
. x
3
. ... .x
n –1
= x
1 –1
· x
2 –1
· x
3 –1
· . . . x
n –1
, d Diketahui
x
1
0, x
2
0, x
3
0, . . . , x
n
0, maka log x
1
.x
2
.x
3
. ... .x
n
= log x
1
+ log x
2
+ log x
3
+ . . . + log x
n
, e xy
1
+ y
2
+ y
3
+ . . . + y
n
= xy
1
+ xy
2
+ xy
3
+ ... + xy
n
. Untuk soal nomor 6 – nomor 15, gunakan induksi matematika untuk mem-
buktikan setiap formula yang diberikan.
6.
1 1
1 1
... 1.2.3
2.3.4 3.4.5
1 2
n n n
+ +
+ +
+ + =
3 4
1 2
n n n
n +
+ +
7. x
n
– 1 habis dibagi oleh x – 1, x ≠ 1, n bilangan asli.
8. Salah satu faktor dari n
3
+ 3n
2
+ 2n adalah 3, n bilangan asli. 9. Salah satu faktor dari 2
2n – 1
+ 3
2n – 1
adalah 5, n bilangan asli. 10. 41
n
– 14
n
adalah kelipatan 27. 11. 4007
n
– 1 habis dibagi 2003, n bilangan asli. 12. 2002
n+2
+ 2003
2n + 1
habis dibagi 4005. 13. Diberikan a 1, buktikan a
n
1, n bilangan asli.
Di unduh dari : Bukupaket.com
26
Kelas XI SMAMASMKMAK
14. Diketahui 0 a 1, buktikan 0 a
n
1, n bilangan bulat positif. 15. Untuk setiap n bilangan asli, buktikan bahwa 1 +
2 2
2 2
1 1
1 1
1 2
3 4
... 2
n n
+ + + + ≤ -
.
Soal Projek
Diberikan tiga tiang yang di dalamnya disusun sebanyak n piringan berlubang, dengan ukuran piringan terbesar berada paling bawah tumpukan,
kemudian disusun hingga piringan paling kecil berada paling atas. Misalnya seluruh tumpukan piringan ada pada tiang pertama dan akan dipindahkan
ke salah satu tiang, dengan aturan bahwa setiap pemidahan piringan harus tersusun dengan piringan kecil harus berada di atas piringan yang lebih
besar.
Berapa kali pemidahan n piringan tersebut sedemikian sehingga seluruh piringan berada pada satu tiang yang lain.
Selesaikan masalah di atas. Jelaskan proses yang kamu temukan di depan guru dan temanmu. Pastikan cara yang kamu peroleh merupakan
cara yang paling efektif.
Beberapa hal penting yang diperlukan dari pembelajaran Induksi Matematika adalah sebagai berikut:
1. Salah satu dasar berpikir dalam matematika ialah penalaran deduktif. Berbeda dengan penalaran deduktif, penalaran induktif bergantung pada
pengerjaan dengan kajian yang berbeda dan pembentukanperancangan suatu formula melalui indikasi-indikasi untuk setiap pengamatan.
2. Penalaran induksi merupakan penarikan kesimpulan dari berbagai kajian- kajian atau fakta yang valid.
3. Prinsip induksi matematika merupakan suatu alat yang dapat digunakan membuktikan suatu jenis pernyataan matematis. Dengan mengasumsikan
Pn sebagai pernyataan bilangan asli yang benar. 4. Pernyataan bilangan asli Pn dikatakan terbukti benar menurut prinsip
induksi matematika jika memenuhi kedua prinsip induksi matematika.
D. Penutup
