205
MATEMATIKA
Contoh 5.9 Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008,
diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya? Berapa jumlah penduduknya
pada tahun 2015?
Alternatif Penyelesaian:
Persentase pertumbuhan penduduk: P
n
= P 1 + i
n
4,5 = 3,25 1 + i
2013-2008
4,5 = 3,25 1 + i
5
4,53,25 = 1 + i
5
1,3846 = 1 + i
5
1,3846
15
= 1 + i i = 1,3846
15
– 1 i = 0,0673 = 6,73
Jadi, persentase pertumbuhan penduduknya 6,73. Jumlah penduduk pada tahun 2015.
P
2015
= P
2008
1 + i
2015-2008
= 3,25 1 + 6,73
7
= 3,25 1,577632= 5,13 Jadi, jumlah penduduk kota metropolitan pada tahun 2015 sebanyak 5,13 juta.
5.4.2 Peluruhan
Masalah 5.7
Suatu neutron dapat pecah mendadak menjadi suatu proton dan elektron dan ini
terjadi sedemikian sehingga jika kita memiliki 1.000.000 neutron, kira-kira 5 dari padanya
akan berubah pada akhir satu menit. Berapa neutron yang masih ada setelah n menit dan
10 menit?
Di unduh dari : Bukupaket.com
206
Kelas XI SMAMASMKMAK
Alternatif Penyelesaian:
Misalnya banyak neutron adalah M dan persentase peluruhan penyusutan sebesar p tiap menit, maka:
Banyak neutron semula = M
Banyak neutron setelah 1 menit =
100 100
1
p p
M M
M
- =
-
Banyak neutron setelah 2 menit =
2
1 1
1 100
100 100
100 p
p p
p M
M M
- -
- =
-
Banyak neutron setelah 3 menit =
2 2
3
1 1
1 100
100 100
100 p
p p
p M
M M
- -
- =
-
Banyak neutron setelah n menit =
100
1
n
p
M
-
Banyak neutron setiap menitnya membentuk barisan geometri M,
100
1
p
M
-
,
2
100
1
p
M
-
,
3
100
1
p
M
-
,…,
100
1
n
p
M
-
U
n
=
100
1
n
p
M
-
U
n
=
1
1 100
n
p U
-
-
, dengan
100
1
p
-
dinamakan faktor peluruhan
U
n
= U
1
100
1
n
p
M
-
Dalam kasus ini, M = 1.000.000
p = 5, maka
U
n
= 1.000.000
5 100
1
n
-
= 1.000.0000,95
n
, Dengan faktor peluruhannya = 0,95.
U
10
= 1.000.000 0,95
10
Log U
10
= log 1.000.000 + 10 log 0,95 = 6 + 10 0,9777 – 1 = 5,777
U
10
= 598.412 Jadi, neutron yang masih ada setelah n menit adalah 1.000.000 0,95
n
dan neutron yang masih ada setelah 10 menit adalah 598.412.
Di unduh dari : Bukupaket.com
207
MATEMATIKA
5.4.3 Bunga Majemuk
Masalah 5.8
Ovano menerima uang warisan sebesar Rp70.000.000,00 dari orang tuanya dan berniat untuk menginvestasikan dalam bentuk tabungan
di bank selama 5 tahun. Dia menjajaki dua bank yang memiliki sistem pembungaan yang berbeda. Bank BCL menggunakan bunga tunggal
sebesar 10 per tahun dan Bank PHP menggunakan majemuk sebesar 9 per tahun. Dari hasil perhitungan pihak bank ia memperoleh ilustrasi
investasi sebagai berikut.
BANK BCL BANK PHP
Tahun Bunga
Saldo Uang Bunga2
Saldo Uang2
Rp70,000,000.00 Rp70,000,000.00
1 Rp7,000,000.00
Rp77,000,000.00 Rp6,300,000.00
Rp76,300,000.00 2
Rp7,000,000.00 Rp84,000,000.00
Rp6,867,000.00 Rp83,167,000.00
3 Rp7,000,000.00
Rp91,000,000.00 Rp7,485,030.00
Rp90,652,030.00 4
Rp7,000,000.00 Rp98,000,000.00
Rp8,158,682.70 Rp98,810,712.70
5 Rp7,000,000.00
Rp105,000,000.00 Rp8,892,964.14
Rp107,703,676.84
Total investasi Rp105,000,000.00
Rp107,703,676.84
Dari ilustrasi investasi di atas diperoleh kesimpulan bahwa walaupun Bank PHP menawarkan bunga majemuk yang lebih kecil daripada bunga tunggal
Bank BCL namun hasil investasi yang dihasilkan adalah lebih besar. Untuk dapat menemukan penyebab perbedaan bunga majemuk dan tunggal
di atas, mari perhatikan masalah-masalah berikut.
Masalah 5.9
Di suatu pameran elektronik Odi mendapatkan dua brosur dari dua toko yang berbeda yang menawarkan kredit laptop berkualitas tinggi. Laptop
seharga Rp10.000.000,00 tersebut dapat diangsur selama 5 tahun. Toko OLS menawarkan suku bunga tunggal dan toko Lazadul menawarkan
suku bunga majemuk yang masing-masing sebesar 4 per tahun.
Di unduh dari : Bukupaket.com
208
Kelas XI SMAMASMKMAK
Setelah menghitung secara cermat Odi mendapatkan tabel angsuran sebagai berkut.
TOKO OLS TOKO LAZADUL
Tahun Bunga
Angsuran Bunga2
Saldo Uang2
Rp10,000,000.00 Rp10,000,000.00
1 Rp400,000.00
Rp10,400,000.00 Rp400,000.00
Rp10,400,000.00 2
Rp400,000.00 Rp10,800,000.00
Rp416,000.00 Rp10,816,000.00
3 Rp400,000.00
Rp11,200,000.00 Rp32,640.00
Rp11,248,640.00 4
Rp400,000.00 Rp11,600,000.00
Rp449,945.60 Rp11,698,585.60
5 Rp400,000.00
Rp12,000,000.00 Rp467,943.42
Rp12,166,529.02
Total investasi Rp12,000,000.00
Rp12,166,529.02
dengan hasil perhitungan di atas akhirnya Odi memilih untuk membeli laptop tersebut pada Toko OLS.
Dari kedua masalah di atas dapat kita rumuskan pola barisan bunga majemuk yakni:
Misal diberikan modal awalpokok M yang diinvestasikan dengan bunga i per periode. Besar modal pada periode ke-n Mn dapat dihitung dengan cara
berikut.
1
1 M
M M
i M
i =
+ × =
+ M
2
= M
1
1 + i = [M 1 + i]1 + i = M
1 + i
2 2
3 3
2
1 1
1 1
M M
i M
i i
M i
= + =
+ + =
+
1 1
1 1
1 1
n n
n n
M M
i M
i i
M i
- -
= + =
+ + =
+
Maka besar modal pada waktu n yang diinvestasikan menjadi:
1
n n
M M
i =
+ Contoh 5.10
Yusuf seorang pelajar SMA kelas XI senang menabung uang. Selama ini dia berhasil menabung uangnya sejumlah Rp1.000.000,- di sebuah bank dengan
bunga 10 per tahun. Berapa lama Yusuf menyimpan uang tersebut agar menjadi Rp1.464.100,-
Di unduh dari : Bukupaket.com
209
MATEMATIKA
Alternatif Penyelesaian:
Diketahui: Modal awal M = 1.000.000,- dan besar uang tabungan setelah
sekian tahun Mn = 1.464.100, besar bunga yang disediakan bank untuk satu tahun adalah 10 = 0,1.
Ditanya: Berapa tahun n Yusuf menabung agar uangnya menjadi Mn = 1.464.100.
Perhatikan pola pertambahan jumlah uang Yusuf setiap akhir tahunnya pada tabel berikut.
Tabel 5.7: Perhitungan besar suku bunga pada setiap akhir tahun t Akhir
Tahun Bunga Uang
10 × Total Uang Total = Modal +
Bunga Pola Total
Uang pada saat t
Rp1.000.000,- 1.000.0001+0,1
1 Rp100.000,-
Rp1.100.000,- 1.000.0001+0,1
1
2 Rp110.000,-
Rp1.210.000,- 1.000.0001+0,1
2
3 Rp121.000,-
Rp1.331.000,- 1.000.0001+0,1
3
4 Rp133.100,-
Rp1.464.100,- 1.000.0001+0,1
4
Dari tabel di atas, jelas kita lihat bahwa Yusuf harus menabung selama 4 tahun agar mempunyai uang sebesar Rp1.464.100,-.
5.4.4 Anuitas
