Konsep Kemonotonan Fungsi Aplikasi Turunan

265 MATEMATIKA

7.3 Aplikasi Turunan

Konsep turunan digunakan untuk menentukan interval fungsi naikturun, keoptimalan fungsi, dan titik belok suatu kurva.

7.3.1 Konsep Kemonotonan Fungsi

Bangunan yang tinggi dengan lantai bertingkat selalu difasilitasi dengan eskalator atau lift. Gerakan lift dan eskalator saat naik dapat diilustrasikan sebagai fungsi naik. Demikian juga gerakan lift dan eskalator saat turun dapat diilustrasikan sebagai fungsi turun. Amatilah keempat graik fungsi di bawah ini dan coba tuliskan ciri-ciri fungsi naik dan fungsi turun sebagai ide dasar untuk mendeinisikan fungsi naik dan fungsi turun. x y fx x y fx Gambar7.5a: Kurva fungsi naik x y fx x y fx Gambar 7.5b: Kurva fungsi turun Dari contoh graik fungsi naik dan fungsi turun di atas, mari kita deinisikan fungsi naik dan turun sebagai berikut. Di unduh dari : Bukupaket.com 266 Kelas XI SMAMASMKMAK Deinisi 7.6: Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R • Fungsi f dikatakan naik jika x 1 , x 2 ∈ S, x 1 x 2 ⇒ fx 1 fx 2 • Fungsi f dikatakan turun jika x 1 , x 2 ∈ S, x 1 x 2 ⇒ fx 1 fx 2 Contoh 7.7 Tunjukkan graik fungsi fx = x 3 , x ∈ R dan x 0 adalah fungsi naik. Alternatif Penyelesaian: fx = x 3 , x ∈ R dan x 0 Ambil sebarang x 1 , x 2 ∈ R dengan 0 x 1 x 2 x = x 1 ⇒ fx 1 = x 1 3 x = x 2 ⇒ fx 2 = x 2 3 Karena 0 x 1 x 2 maka x 1 3 x 2 3 Karena x 1 3 x 2 3 maka fx 1 fx 2 Dengan demikian x ∈ S, x 1 x 2 ⇒ fx 1 fx 2 . Dapat disimpulkan f adalah fungsi naik. Latihan 7.5 Bagaimana jika fx = x 3 , x ∈ R dan x 0, apakah graik fungsi f adalah fungsi naik? Selidiki Masalah 7.3 Lumba-lumba berenang di lautan bebas. Terkadang, lumba-lumba berenang mengikuti kapal yang melaju di sekitarnya. Seorang nelayan melihat seekor lumba-lumba sedang berenang mengikuti kecepatan perahu mereka. Gerakan lumba-lumba berperiode timbul dan tenggelam di permukaan air laut. Misalkan, lumba-lumba kembali ke permukaan setiap 15 detik dan tampak di permukaan selama 3 detik. Coba kamu sketsa pergerakan lumba-lumba tersebut dalam 2 periode? Tentukan interval waktu agar lumba-lumba tersebut bergerak naik atau turun Di unduh dari : Bukupaket.com 267 MATEMATIKA Alternatif Penyelesaian: Permukaan air laut 15 p 18 33 36 y t q 7,5 16,5 25,5 34,5 Gambar 7.6: Sketsa pergerakan lumba-lumba dalam pengamatan tertentu 7,5 16,5 25,5 34,5 36 t y turun turun turun naik naik Gambar 7.7: Sketsa pergerakan naikturun lumba-lumba dalam pengamatan tertentu Berdasarkan sketsa di atas, lumba-lumba bergerak turun di interva 0 7 5 t , atau 16 5 25 5 , , t atau 34 5 36 , t dan bergerak naik di interval 7 5 16 5 , , t atau 25 5 34 5 , , t . Latihan 7.6 Coba kamu amati beberapa garis singgung yang menyinggung kurva di saat fungsi naik atau turun di bawah ini. Garis singgung 1 dan 3 menyinggung kurva pada saat fungsi naik dan garis singgung 2 dan 4 menyinggung kurva pada saat fungsi turun. Di unduh dari : Bukupaket.com 268 Kelas XI SMAMASMKMAK PGS 1 PGS 2 PGS 3 PGS 4 y = fx α 1 α 2 α 3 α 4 Gambar 7.8: Garis singgung di interval fungsi naikturun Amati dan dapatkan konsep fungsi naik dan fungsi turun dengan panduan berikut. Langkah 1 Amati sudut yang dibentuk keempat garis singgung, kemudian tentukan di kuadran berapa keempat sudut terletak. Langkah 2 Ingat, gradien garis adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif. Tentukan nilai tangen setiap sudut. Ingat konsep trigonometri Lengkapi tabel berikut. Tabel 7.1: Hubungan gradien garis singgung dengan fungsi naik dan fungsi turun PGS Sudut Kuadran Nilai tangen x f m = Menyinggung di 1 2 3 4 5 6 PGS 1 a 1 I m = tan tan 1 = a x f Fungsi Naik PGS 2 a 2 … … … Fungsi Turun PGS 3 a 3 … … … Fungsi Naik PGS 4 a 4 … … … Fungsi Turun Di unduh dari : Bukupaket.com 269 MATEMATIKA Coba kamu amati Gambar 7.8 dan Tabel 7.1 Apakah kamu melihat konsep fungsi naikturun. Berikan kesimpulanmu Sifat 7.2 Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x ∈ I maka 1. Jika f x 0 maka fungsi selalu naik pada interval I. 2. Jika f x 0 maka fungsi selalu turun pada interval I. 3. Jika f x ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I. 4. Jika f x ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I. Contoh 7.8 Tentukan interval fungsi fx = x 2 agar fungsi naik. Alternatif Penyelesaian: Berdasarkan konsep, syarat fungsi naik adalah f x 0 f x = 2x 0 sehingga x 0 Jadi, fungsi akan naik pada interval {x|x 0, x ∈ R} Contoh 7.9 Tentukan interval fungsi naik dan turun dari fungsi f x = x 4 – 2x 2 . Alternatif Penyelesaian: Pembuat nol dari f x: f x = 4x 3 – 4x ⇔ 4x 3 – 4x = 0 ⇔ 4xx – 1x + 1 = 0 ⇔ x = 0 atau x = 1 atau x = –1 Dengan menggunakan interval. 1 1 − Interval Turun Interval Turun Interval Naik Interval Naik _ + _ + Di unduh dari : Bukupaket.com 270 Kelas XI SMAMASMKMAK Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval –1 x 0, atau x 1 tetapi turun pada interval x –1 atau 0 x 1. Perhatikan sketsa kurva fx = x 4 – 2x 2 berikut. Gambar 7.9: Fungsi naikturun kurva fx = x 4 – 2x 2 Contoh 7.10 Tentukan interval fungsi naik x x x f - = 2 . Alternatif Penyelesaian: Masih ingatkah kamu syarat numerus x P adalah Px ≥ 0. Jadi, syarat numerus x x x f - = 2 adalah x 2 – x ≥ 0. Ingatlah kembali cara-cara me- nyelesai kan pertidaksamaan. x 2 – x ≥ 0 ⇔ xx – 1 ≥ 0 ⇔ x = 0 atau x = 1 Dengan menggunakan interval. Jadi, syarat numerus bentuk akar di atas adalah x ≤ 0 atau x ≥ 1 Berdasarkan konsep, sebuah fungsi akan naik jika f x 0 sehingga: 2 1 2 2 - - = x x x x f ⇔ 2x – 1 0 karena 2 - x x dan x ≠ 0, x ≠ 1 ⇔ 2 1 x Di unduh dari : Bukupaket.com 271 MATEMATIKA Dengan menggunakan interval. Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval x 1. Perhatikanlah graik fungsi x x x f - = 2 berikut Gambar 7.10: Fungsi naik dan fungsi turun fungsi x x x f - = 2

7.3.2 Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi