98
Kelas XI SMAMASMKMAK
3.4.1 Tranpose Matriks
Misalkan ada perubahan pada posisi entry-entry matriks seperti entry baris ke-1 pada matriks B menjadi entry kolom ke-1 pada matriks B
t
, setiap entry baris ke-2 pada matriks menjadi entry kolom ke-2 pada matriks B
t
, demikian seterusnya, hingga semua entry baris pada matriks B menjadi entry
kolom pada matriks B
t
. Hal inilah yang menjadi aturan menentukan transpose matriks suatu matriks.
Transpose dari matriks A berordo m × n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar entry baris menjadi entry kolom dan sebaliknya,
sehingga berordo n × m. Notasi transpose matriks A
m×n
adalah A
t m×n
. Contoh 3.7
a Jika A =
15 5
30 25
, maka A
t
= 15 30
5 25
b Jika S =
10 20 14
18 12
8 22
6 17
,
maka transpose matriks S, adalah S
t
= 10 18
22 20 12
6 14
8 17
.
c Jika C =
1 5
3 14
9 4
2 2
5 8
6 3
7 12 4
, maka C
t
= 1 14
2 3
9 5
7 5
4 8 12
3 2
6 4
.
Dari pembahasan contoh di atas, dapat kita pahami perubahan ordo matriks. Misalnya, jika matriks awal berordo m × n, maka transpose matriks berordo
n × m.
Di unduh dari : Bukupaket.com
99
MATEMATIKA
1. Diberikan matriks A = 8
12 14 18
16 8
22 6
17
.
Sebutkan entry matriks yang terletak pada: a. baris ke-2;
b. kolom ke-3; c. baris ke-3 dan kolom ke-1;
d. baris ke-1 dan kolom ke-3.
2. Berikan sistem persamaan linear berikut: a. 3x + 4y – 3z = 12
b. –4 = 6x + 13y –2x + 7y – 6z = 9
–5 = 15x + 2y 5x + 8y – z = –10
d. 5x = 15 c. –3 = 9x + 6y – 7z
–y – 4 = 6 –5 = 12x + 4y – 8z
y = 0 Nyatakanlah:
i. matriks koeisien sistem persamaan linear tersebut; ii. ordo matriks yang terbentuk.
3. Buatlah matriks yang terdiri atas 5 baris dan 3 kolom dengan entrynya adalah 15 bilangan prima yang pertama.
Coba kamu pikirkan. •
Mungkinkah suatu matriks sama dengan transpose matriksnya sendiri? Berikan alasanmu
• Periksa apakah A
t
+ B
t
= A + B
t
untuk setiap matriks A dan B berordo m × n?
Uji Kompetensi 3.1
Di unduh dari : Bukupaket.com
100
Kelas XI SMAMASMKMAK
4. Untuk matriks-matriks berikut tentukan pasangan-pasangan matriks yang sama.
2 1
2 3
, 2 ,
, 1
2 4
3 4
t
a b
c p
q r
A B
C D
d e
f s
t u
= =
= =
5. Misalkan matriks A = 2
2 3
5 p
+
dan B =
6 6
3 p
q
+
. Bila 3A = B, tentukan nilai p dan q
6. Diketahui 16
2 3
2 4
14 12 p q
q r
s r
p s
- +
=
+
-
. Tentukan nilai p, q, r, dan s.
7. Jika diketahui matriks 2
2 3
5 p
+
+
6 6
3 p
q
+
= 4 8
9 5
, tentukan nilai p dan q
8. Diketahui matriks-matriks A = [2 3 5], B =
2 4
6
, C = 2
1 0 3
2 1
- -
, D = 2 3
5 4
1 2
t
, dan F = [2 4 6]
t
.
Dari semua matriks di atas, pasangan matriks manakah yang dapat dijumlahkan dan dikurangkan. Kemudian selesaikanlah
9. Jika A =
3 2
3 2
4 6
, B = 3
5 7
4 10 9
-
, dan X suatu matriks berordo
2 × 3 serta memenuhi persamaan A + X = B, tentukan matriks X 10. Tentukanlah hasil perkalian matriks-matriks berikut
a 2
3 1
4 15 5
-
-
- ⋅
Di unduh dari : Bukupaket.com
101
MATEMATIKA
b 1
4 2
6 6
8 8 10
2 -
⋅
⋅
c 3 0
2 1
4 2
1 1
1 2
1 -
⋅
-
d 1
1 2
3 1
3 5 6
1 1
3 2
⋅
11. Diketahui matriks G = 1
2 3
2 4
6
dan lima matriks yang dapat dipilih
untuk dikalikan terhadap matriks G, yaitu: H = [1 0 1], I =
1 3
2 4
5 1
0 , 0 ,
4 4
2 1
1 J
K
=
=
, dan L = G
t
. Matriks yang manakah dapat dikalikan terhadap matriks G? Kemudian
tentukan hasilnya
12. Diketahui transpose matriks A = 2
4 6
7 9
11 12 14 16
. Tentukanlah: a. matriks A
b. nilai x dan y jika x = a
23
+ 4a
33
– 6 dan y = a
23 2
+ 4a
33 2
. 13. Diketahui matriks-matriks T =
3 2
2 2
3 a
a b
b c d
c e
d e
f -
-
+
+
-
-
2
3 dan R =
8 4
2 10 1
-
.
a Tentukan transpose dari matriks T b Jika
R
t
= T, tentukanlah nilai a, b, c, d, e, dan f
Di unduh dari : Bukupaket.com
102
Kelas XI SMAMASMKMAK
14. Diketahui matriks-matriks berikut. K
x y
z a
L x
y z
a M
= +
+ −
+
=
+
=
2 1
2 2
3 4
2 1 3
12 6
20 2
, ,
. Jika
M L
K −
= 2
3
,
tentukan nilai-nilai x, y, z dan
α
. 15.
Diketahui matriks A
a b
c d
e f
=
dan matriks X r
s t
u v
w =
.
Syarat apakah yang harus dipenuhi supaya matriks
A
sama dengan matriks
X
? Jelaskan.
Di unduh dari : Bukupaket.com
103
MATEMATIKA
Soal Proyek
Temukan contoh penerapan matriks dalam Ilmu Komputer, bidang Ilmu Fisika, Kimia, dan Teknologi Farmasi. Selanjutnya
coba terapkan berbagai konsep dan aturan matriks dalam menyusun buku teks di sebuah perpustakaan. Pikirkan bagaimana susunan buku
teks, seperti: buku Matematika, Fisika, Biologi, Kimia, dan IPS dari berbagai jenisnya misalnya jenis buku Matematika tersedia buku
Aljabar, Geometri, Statistika, dan lain-lain tampak pada susunan baris dan kolom suatu matriks. Kamu dapat membuat pengkodean
dari buku-buku tersebut agar para pembaca dan yang mencari buku tertentu mudah untuk menemukannya.
Masalah 3.6 Siti dan teman-temannya makan di kantin sekolah. Mereka memesan 3
ayam penyet dan 2 gelas es jeruk di kantin sekolahnya. Tak lama kemudian, Beni dan teman-temannya datang memesan 5 porsi ayam penyet dan 3
gelas es jeruk. Siti menantang Amir menentukan harga satu porsi ayam penyet dan harga es jeruk per gelas, jika Siti harus membayar Rp70.000,00
untuk semua pesanannya dan Beni harus membayar Rp115.000,00 untuk semua pesanannya.
Alternatif Penyelesaian: Cara I
Petunjuk: Ingat kembali materi sistem persamaan linear yang sudah kamu pelajari. Buatlah sistem persamaan linear dari masalah tersebut, lalu selesaikan
dengan matriks. Misalkan x = harga ayam penyet per porsi
y = harga es jeruk per gelas Buat laporan hasil kerja kelompokmu dan hasilnya disajikan di depan
kelas.
3.5 Determinan dan Invers Matriks 3.5.1 Determinan Matriks
Kategori