Menemukan Konsep Barisan Aritmetika

191 MATEMATIKA Masalah 5.2

5.2 Menemukan Konsep Barisan Aritmetika

Pada subbab di atas, kita telah membicarakan masalah pola dari barisan bilangan secara umum. Berikutnya, kita akan belajar menemukan konsep barisan aritmetika. Perhatikan gambar tumpukan jeruk di samping ini Bagaimana cara menentukan atau menduga banyak jeruk dalam satu tumpukan? Gambar 5.3: Tumpukan Buah Jeruk Alternatif Penyelesaian: Jika diperhatikan gambar di atas, maka diperoleh susunan dari beberapa jeruk. Jeruk itu dapat disusun membentuk sebuah piramida. Gambar 5.4: Susunan piramida jeruk Jumlah jeruk pada bagian bawah tumpukan akan lebih banyak dibandingkan pada susunan paling atas. Misalkan susunan jeruk tersebut disederhanakan menjadi sebuah susunan segitiga, seperti gambar di bawah ini. Gambar 5.5: Susunan bulatan bentuk segitiga Di unduh dari : Bukupaket.com 192 Kelas XI SMAMASMKMAK Masalah 5.3 • Mengapa harus dengan susunan segitiga, coba lakukan dengan susunan segi empat. Apa yang kamu temukan? Banyaknya bulatan yang tersusun dari setiap kelompok dapat dituliskan dengan bilangan, yaitu 1, 3, 6, 10, 15. Bilangan tersebut membentuk barisan. Perhatikan polanya pada Gambar 5.4: 1 3 6 10 15 +2 +3 +4 +5 Gambar 5.5: Pola susunan jumlah jeruk dalam tumpukan Ternyata beda antara setiap dua bilangan yang berdekatan membentuk barisan yang baru yaitu 2, 3, 4, 5,... Perhatikan skema berikut. 1 3 +1 +1 +1 6 10 15 +2 +3 +4 +5 Gambar 5.7: Pola turunan jumlah jeruk dalam tumpukan Beda setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan 2, 3, 4, 5,... adalah tetap yaitu 1. Dengan demikian barisan 2, 3, 4, 5,... disebut ”Barisan Aritmetika” dan barisan 1, 3, 6, 10, 15, ... disebut ”Barisan Aritmetika Tingkat Dua”. • Coba kamu bentuk sebuah barisan aritmetika tingkat tiga? Perhatikan masalah disamping Jika tinggi satu anak tangga adalah 20 cm, berapakah tinggi tangga jika terdapat 15 anak tangga? Tentukanlah pola barisannya Gambar 5.8: Tangga Di unduh dari : Bukupaket.com 193 MATEMATIKA Masalah 5.4 Alternatif Penyelesaian Untuk menentukan tinggi tangga maka permasalahan di atas diurutkan menjadi: u 1 = a 20 20 + 20 = 40 20 + 20 + 20 = 60 20 + 20 + 20 + 20 = 80 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100 20 + 20 + 20 + ... + 20 ... u 2 u 3 u 4 u 5 ... u 15 + + + + + + + + + + + + Dari uraian di atas, ditemukan susunan bilangan 20, 40, 60, 80,… u n : suku ke-n u 1 = 20 = 1 × 20 u 2 = 40 = 2 × 20 u 3 = 60 = 3 × 20 u 4 = 80 = 4 × 20 u 5 = 100 = 5 × 20 ... u n = n × 20 = 20n Cermati pola bilangan u n =20n, sehingga u 15 =15 × 20 = 300. Berarti tinggi tangga tersebut sampai anak tangga yang ke-15 adalah 300 cm. Lani, seorang perajin batik di Gunung Kidul. Ia dapat menyelesaikan 6 helai kain batik berukuran 2,4 m × 1,5 m selama 1 bulan. Permintaan kain batik terus bertambah sehingga Lani harus menyediakan 9 helai kain batik pada bulan kedua, dan 12 helai pada bulan ketiga. Dia menduga, jumlah kain batik untuk bulan berikutnya akan 3 lebih banyak dari bulan sebelumnya. Dengan pola kerja tersebut, pada bulan berapakah Lani menyelesaikan 63 helai kain batik? Di unduh dari : Bukupaket.com 194 Kelas XI SMAMASMKMAK Deinisi 5.1 Alternatif Penyelesaian Dari masalah di atas, dapat dituliskan jumlah kain batik sejak bulan pertama seperti di bawah ini. Bulan I : u 1 = a = 6 Bulan II : u 2 = 6 + 1.3 = 9 Bulan III : u 3 = 6 + 2.3 = 12 Bulan IV : u 4 = 6 + 3.3 = 15 Demikian seterusnya bertambah 3 helai kain batik untuk bulan-bulan berikutnya sehingga bulan ke-n : u n = 6 + n – 1.3 n merupakan bilangan asli. Sesuai dengan pola di atas, 63 helai kain batik selesai dikerjakan pada bulan ke-n. Untuk menentukan n, dapat diperoleh dari, 63 = 6 + n–1.3 63 = 3 + 3n n = 20. Jadi, pada bulan ke-20, Lani mampu menyelesaikan 63 helai kain batik. Jika beda antara dua bilangan berdekatan dinotasikan ”b”, maka pola susunan bilangan 6, 9, 12, 15, …, dapat dituliskan u n = a + n – 1.b Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama. Beda, dinotasikan “b” memenuhi pola berikut. b = u 2 – u 1 = u 3 – u 2 = u 4 – u 3 = ... = u n – u n–1 n: bilangan asli sebagai nomor suku, u n adalah suku ke-n. Berdasarkan deinisi di atas diperoleh bentuk umum barisan aritmetika sebagai berikut. u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , …, u n Setiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, maka diperoleh u 1 = a u 2 = u 1 + 1. b u 3 = u 2 + b = u 1 + 2.b u 4 = u 3 + b = u 1 + 3.b Di unduh dari : Bukupaket.com 195 MATEMATIKA Masalah 5.5 u 5 = u 4 + b = u 1 + 4.b … u n = u 1 + n – 1b Sifat 5.1 Jika u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , …, u n merupakan suku-suku barisan aritmetika. Suku ke-n barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut. u n = a + n – 1b a = u 1 = suku pertama barisan aritmetika, b = beda barisan aritmetika. Setiap hari Siti menabungkan sisa uang jajannya. Uang yang ditabung setiap hari selama enam hari mengikuti pola barisan aritmetika dengan suku pertama a = 500 dan beda b = 500. Bagaimana cara mengetahui banyaknya uang Siti yang ditabung pada hari ke-6? Alternatif Penyelesaian: Penyelesaian Masalah 5.5 dapat dilakukan dengan membuat barisan aritmetika dari uang yang ditabung Siti kemudian menentukan suku terakhirnya. u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 + + + + + + + + + + u 6 500 u 1 + 500 u 2 + 500 u 3 + 500 u 4 + 500 u 5 + 500 Karena u n = a + n – 1b maka u 6 = a + 5b = 500 + 5500 = 500 + 2.500 = 3.000 Berarti tabungan Siti pada hari ke-6 adalah Rp3.000,00. Di unduh dari : Bukupaket.com 196 Kelas XI SMAMASMKMAK Contoh 5.5 1. Tentukan suku ke-n barisan di bawah ini a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, … tentukan suku ke-15 b. 4, 1, – 2, – 5, – 8, … tentukan suku ke-18 Alternatif Penyelesaian: a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Dari barisan bilangan tersebut, diketahui bahwa u 1 = a = 1, u 2 = 2, u 3 = 3, …. b = u 2 – u 1 = u 3 – u 2 = 1. Karena u n = a + n – 1b, maka u 15 = a + 15 – 1b. u 15 = 1 + 15 – 1.1 = 15 b. 4, 1, –2, –5, –8, … Diketahui: u 1 = a = 4, u 2 = 1, u 3 = –2, u 4 = –5, …. b = u 2 – u 1 = u 3 – u 2 = u 4 – u 3 = –3. Karena u n = a + n – 1b, maka u 18 = a + 18 – 1b. u 18 = 4 + 18 – 1.–3 = –47 2. Suku ke-4 barisan aritmetika adalah 19 dan suku ke-7 adalah 31. Tentukan suku ke-50. Alternatif Penyelesaian: u n = a + n – 1b u 4 = 19 = a + 3b u 7 = 31 = a + 6b – –3b = –12 b = 4 a + 3b = 19 a + 34 = 19 a = 7 u 50 = a + 49b = 7 + 49 4 = 203 Di unduh dari : Bukupaket.com 197 MATEMATIKA Uji Kompetensi 5.1 1. Suatu barisan dengan rumus suku ke-n adalah U n = 2n 2 – 2. a. Tentukan lima suku pertama barisan tersebut. b. Tentukan n jika barisan tersebut yang bernilai 510. 2. Bila a, b, c merupakan suku berurutan yang membentuk barisan aritmetika, buktikan bahwa ketiga suku berurutan berikut ini juga membentuk barisan aritmetika 1 1 1 , , bc ca ab 3. Semua bilangan genap positif dikelompokkan sebagai berikut. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, . . . tentukan bilangan yang terletak di tengah pada kelompok ke 15. 4. Tentukan banyak bilangan asli yang kurang dari 999 yang tidak habis dibagi 3 atau 5 adalah . . . . 5. Diketahui a + a + 1 + a + 2 + . . . + 50 = 1.139 Jika a bilangan bulat positif maka tentukan nilai a. 6. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 … Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2004? bilangan ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2. 7. Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD... berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 2 6 3 4 ? 8. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 … Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke-2013? bilangan ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2 9. Perhatikan susunan balok berikut. u 1 = 1 u 2 = 3 u 3 = 6 u 4 = 10 u 5 = 15 u 6 = 21 u n = ... dan seterusnya Di unduh dari : Bukupaket.com 198 Kelas XI SMAMASMKMAK a. Tentukan berapa banyak balok yang dibutuhkan pada susunan ke-10. b. Tentukan pula susunan balok yang ke-100. 10. Suatu perusahaan minuman kaleng pada bulan Januari 2012 memproduksi 40.000 minuman kaleng. Setiap bulan perusahaan tersebut menaikkan produksinya secara tetap sebanyak 250 kaleng. Berapa banyak minuman kaleng yang diproduksi perusahaan sampai akhir bulan Juni 2013? Proyek Himpunlah minimal tiga masalah penerapan barisan aritmetika dalam bidang isika, teknologi informasi, dan masalah nyata di sekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan aritmetika di dalam pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas

5.3 Menemukan Konsep Barisan Geometri