228
Kelas XI SMAMASMKMAK
Tabel 6.4: Nilai y = ft pada saat t mendekati 1.
t 0,7
0,8 0,9
0,99 0,999
. . . 1
. . . 1,001 1,01
1,1 1,2 1,3
f t 4,55
4,80 4,95 4,9995
5 . . .
5 . . .
5 5
5 5
5
Tabel 6.5: Nilai y = ft pada saat t mendekati 2.
t 1,7
1,8 1,9
1,99 1,999
. . . 2
. . . 2,001 2,01
2,1 2,2 2,3
f t 5
5 5
5 5
. . . 5
. . . 4,995 4,95
4,5 4
3,5
Dari pengamatan pada tabel, dapat dilihat bahwa y mendekati 5 pada saat t mendekati 1 dan y mendekati 5 pada saat t mendekati 2. Dengan perhitungan
limit fungsi diperoleh:
I. Untuk t mendekati 1
1
lim
t
-
→
–5t
2
+ 10t = 5 makna t → 1
–
adalah nilai t yang mendekati 1 dari kiri
1
lim
t
+
→
5 = 5 makna t
→ 1
+
adalah nilai t yang mendekati 1 dari kanan
Diperoleh,
1
lim
t
-
→
–5t
2
+ 10t = 5 =
1
lim
t
+
→
5. Dengan demikian, fungsi lintasan lebah mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 1.
II. Untuk t mendekati 2
2
lim
t
-
→
= 5 makna t
→ 2
–
adalah nilai t yang mendekati 2 dari kiri
2
lim
t
+
→
–5t + 15 = 5
makna t → 2
+
adalah nilai t yang mendekati 2 dari kanan
Diperoleh,
2
lim
t
-
→
5 = 5 =
2
lim
t
+
→
–5t + 15. Dengan demikian, fungsi lintasan
lebah mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 2.
6.2 Sifat-Sifat Limit Fungsi
Berdasarkan uraian ilustrasi, masalah, dan contoh di atas, secara induktif di- peroleh sifat berikut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
229
MATEMATIKA
Misalkan f sebuah fungsi f : R → R dan misalkan L, c bilangan real.
lim
x c
f x
→
= L jika dan hanya jika lim
x c
f x
-
→
= L = lim
x c
f x
-
→
Kita akan merumuskan sifat-sifat limit fungsi aljabar.
Jika fx = k dengan k bilangan real maka tentukan nilai fx pada saat x mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan y = fx sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut. Tabel 6.6: Nilai fx = k pada saat x mendekati 1
x 0,2
0,5 0,9
0,99 0,999 . . . 1
. . . 1,001
1,01 1,1 1,5 1,8
2 y
k k
k k
k k
. . . ?
. . . k
k k
K k
k
Jika x mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai y akan mendekati k. Secara matematika, ditulis
1
lim
x
-
→
k = k =
1
lim
x
+
→
k atau
1
lim
x →
k = k berdasarkan Sifat 6.1.
Misalkan fx = k adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real, maka
lim
x c
→
k = k
Jika fx = x maka tentukan nilai fx pada saat x mendekati 1. Contoh 6.2
Sifat 6.1
Contoh 6.3 Sifat 6.2
Di unduh dari : Bukupaket.com
230
Kelas XI SMAMASMKMAK
Sifat 6.3
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan y = fx = x sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut. Tabel 6.7: Nilai pendekatan fx = x, pada saat x mendekati 1
x 0,2
0,5 0,9
0,99 0,999 . . . 1
. . . 1,001
1,01 1,1 1,5 1,8
2 y
0,2 0,5
0,9 0,99 0,999 . . .
? . . .
1,001 1,01 1,1 1,5
1,8 2
Jika x mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai y akan mendekati 2. Secara matematika, ditulis
1
lim
x
-
→
x = 1 =
1
lim
x
+
→
x atau
1
lim
x →
x = 1 berdasarkan Sifat 6.1.
Misalkan fx = x, adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka
lim
x c
→
x = c
Jika fx= kx dengan k adalah konstan maka nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan y = fx = kx sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut. Tabel 6.8: Nilai pendekatan fx = kx, pada saat x mendekati 1
x 0,5
0,9 0,99
0,999 . . . 1 . . .
1,001 1,01
1,1 1,5
2 1,8
2 y
0 0,5k 0,9k 0,99k 0,999k . . . ? . . . 1,001k
1,01k 1,1k 1,5k 2k 1,8
2
Kita dapat amati
1
lim
x
-
→
kx = k =
1
lim
x
+
→
kx atau
1
lim
x →
kx = k Jika diuraikan maka:
1
lim
x →
kx = k
1
lim
x →
x = k.1 = k dimana
1
lim
x →
x = 1. Contoh 6.4
Di unduh dari : Bukupaket.com
231
MATEMATIKA
Sifat 6.4 Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c,
dengan c adalah bilangan real, maka maka lim
x c
→
[kfx] = k[ lim
x c
→
fx]
Jika fx = kx
2
dengan k adalah konstan maka nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan y = fx = kx
2
sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.
Tabel 6.9: Nilai pendekatan fx = kx
2
dengan k adalah konstan pada saat x mendekati 1
x 0 0,2
0,5 0,9
0,99 0,999
. . . 1 . . . 1,001
1,01 1,1
1,5 1,8
2 y 0 0,01k 0,25k 0,81k 0,9801k 0,998001k . . . ? . . . 1,002001k 1,0201k 1,21k 2,25k 3,24k 4k
Kita dapat amati
1
lim
x
-
→
kx
2
= k =
1
lim
x
+
→
kx
2
atau
1
lim
x →
kx
2
= k. Bila diuraikan prosesnya maka,
1
lim
x →
2x
2
=
1
lim
x →
2 x x =
1
lim
x →
2
1
lim
x →
x
1
lim
x →
x = 2.1.1 = 2 atau
1
lim
x →
2x
2
=
1
lim
x →
2 x
2
=
1
lim
x →
2
1
lim
x →
x
2
= 2.1
2
= 2 atau
1
lim
x →
2x
2
=
1
lim
x →
2x x =
1
lim
x →
2x
1
lim
x →
x= 2.1 = 2. Contoh 6.5
Di unduh dari : Bukupaket.com
232
Kelas XI SMAMASMKMAK
Sifat 6.5 Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c,
lim
x c
→
[fxgx] = [ lim
x c
→
fx] [ lim
x c
→
gx]
1. Jika fx = x
2
– 4x maka tentukan nilai pendekatan fx pada saat x mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan y = fx = x
2
– 4x sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.
Tabel 6.10: Nilai fx = x
2
– 4x pada saat x mendekati 1
x 0,5
0,9 0,99 0,999 . . .
1 . . . 1,001
1,01 1,1
1,5 2
y 0 –1,75 –2,79 –2,98 –2,998 . . .
? . . . –3,002 –3,02 –3,19 –3,75
–4
Kita dapat amati
1
lim
x
-
→
[x
2
– 4x] = –3 =
1
lim
x
+
→
[x
2
– 4x] atau
1
lim
x →
[x
2
– 4x] = –3. Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan
1
lim
x →
x
2
= 1 dan
1
lim
x →
4x = 4
maka,
1
lim
x →
[x
2
– 4x] =
1
lim
x →
[x
2
– 4x] =
1
lim
x →
x
2
–
1
lim
x →
4x = 1 – 4
= –3. 2. Jika
fx =x
2
+ 4x maka tentukan nilai fx pada saat x mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian: Tabel 6.11: Nilai fx =x
2
+ 4x pada saat x mendekati 1
x 0,5
0,9 0,99 0,999 . . .
1 . . . 1,001
1,01 1,1
1,5 2
y 2,25
4,41 4,94
4,99 . . .
? . . .
5,01 5,06
5,61 8,25
12
Contoh 6.6
Di unduh dari : Bukupaket.com
233
MATEMATIKA
Kita dapat amati
1
lim
x
-
→
[x
2
+ 4x] = 5 =
1
lim
x
+
→
[x
2
+ 4x] atau
1
lim
x →
[x
2
+ 4x] = 5. Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan
1
lim
x →
x
2
= 1 dan
1
lim
x →
4x = 4
maka,
1
lim
x →
[x
2
+ 4x] =
1
lim
x →
[x
2
+ 4x] =
1
lim
x →
x
2
+
1
lim
x →
4x = 1 + 4
= 5.
Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, lim
x c
→
[fx ± gx] = [ lim
x c
→
fx] ± [ lim
x c
→
gx]
Jika fx =
2 2
4 2
x x
x x
+ +
maka tentukan nilai fx pada saat x mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan y = fx=
2 2
4 2
x x
x x
+ +
sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.
Tabel 6.12: Nilai fx = fx =
2 2
4 2
x x
x x
+ +
pada saat x mendekati 1
x 0,1
0,7 0,9
0,99 0,999 . . . 1
. . . 1,001 1,01
1,1 1,5
1,7 y
3,42 1,96
1,75 1,67
1,67 . . .
? . . .
1,67 1,66
1,59 1,38
1,30
Sifat 6.6
Contoh 6.7
Di unduh dari : Bukupaket.com
234
Kelas XI SMAMASMKMAK
Kita dapat amati
1
lim
x
-
→
2 2
4 2
x x
x x
+ +
= 1,67 =
1
lim
x
+
→
2 2
4 2
x x
x x
+ +
atau
1
lim
x →
2 2
4 2
x x
x x
+ +
= 1,67. Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan
1
lim
x →
[x
2
+ 4x] = 5 dan
1
lim
x →
[2x
2
+ x] = 3 maka,
1
lim
x
-
→
2 2
4 2
x x
x x
+ +
=
1 1
2 2
lim 4
lim2
x x
x x
x x
→ →
+ +
= 5
3 atau 1,67.
Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka
lim
x c
→
f x g x
= lim
lim
x c
x c
f x g x
→ →
= lim
x c
→
gx ≠ 0
Jika fx = 8x
3
maka tentukan nilai fx pada saat x mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan y = fx = 8x
3
sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.
Tabel 6.13: Nilai fx = 8x
3
pada saat x mendekati 1
x 0,1
0,7 0,9
0,99 0,999 . . . 1
. . . 1,001 1,01
1,1 1,5
1,7 y
0,08 2,74
5,83 7,76
7,98 . . .
? . . .
8,02 8,24
10,65 27
39,30
Kita dapat amati
1
lim
x
-
→
8x
3
= 8 =
1
lim
x
+
→
8x
3
atau
1
lim
x →
8x
3
= 8. Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan
1
lim
x →
2x = 2 maka, Contoh 6.8
Sifat 6.7
Di unduh dari : Bukupaket.com
235
MATEMATIKA
1
lim
x →
8x
3
=
1
lim
x →
2x
3
=
1
lim
x →
2x2x2x =
1
lim
x →
2x
1
lim
x →
2x
1
lim
x →
2x =
1
lim
x →
2x
3
= 2
3
= 8.
Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real dan n adalah bilangan positif.
lim
x c
→
[fx]
n
= [ lim
x c
→
fx]
n
Tunjukkan dengan pendekatan nilai
2
lim
x →
x =
3 3
2
lim
x
x
→
Latihan 6.2
Uji Kompetensi 6.1 1. Tunjukkan dengan pendekatan nilai pada limit fungsi berikut:
a.
2 2
2
3 2
lim6 lim2 lim3
x x
x
x x
x
→ →
→
=
b.
2 2
2 2
2
2 2
lim lim4
4 lim
2 lim2
lim
x x
x x
x
x x
x x
→ →
→ →
→
=
+ +
+ c.
lim lim
lim
x x
x
x x
→ →
→
+ =
+
2 2
2 2
2
2 5
2 5 .
Sifat 6.8
Di unduh dari : Bukupaket.com
236
Kelas XI SMAMASMKMAK
2. Tunjukkan dengan gambar dan pendekatan nilai fungsi pada saat pendekatan ke 2 dari kiri dan kanan:
a.
2
lim
x →
x = 2 d.
2
lim
x →
6x
2
= 24 b.
2
lim
x →
6x = 12 e.
2
lim
x →
6 x
= 3. c.
2
lim
x →
6 + x = 8 3. Tunjukkan pada gambar berikut, fungsi y = fx mempunyai nilai limit
atau tidak pada saat x mendekati c Berikan alasan a.
d.
b. e.
c. f.
Di unduh dari : Bukupaket.com
237
MATEMATIKA
Deinisi 2.2
4. Jika L, K adalah bilangan real dan
lim
x c
→
fx = L, lim
x c
→
gx = K maka tentukan:
a.
2
2 lim
2
x
f x f x
→
+ -
b.
2
2 2
2 2
lim
x
f x
L f
x L
→
- +
c.
2
2
lim
x
f x g x
f x g x
→
- +
. 5. Tunjukkan dengan gambar, nilai pendekatan dari fungsi-fungsi berikut:
a.
2
lim
x →
x + 2 b.
2
2
4 lim
2
x
x x
→
- -
c.
2
lim
x
x x
→
d. Jika fx =
x + 2 jika x ≤ 1
4 – x jika x ≥ 1
123
maka tunjukkan
1
lim
x →
fx e. Jika
fx = x + 1
jika x 1 x
2
+ 1 jika x ≥ 1
123
maka tunjukkan
1
lim
x →
fx. 6. Tuliskan dan tunjukkan sifat-sifat limit yang mana saja dapat digunakan
untuk menyelesaikan limit fungsi berikut? a.
1
lim
x →
3x
2
– 4 b.
1
lim
x →
4 4
x x
- +
c.
1
lim
x →
2x – 1
4
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
238
Kelas XI SMAMASMKMAK
6.3 Menentukan Nilai Limit Fungsi
