118
Kelas XI SMAMASMKMAK
Hasil yang diperoleh dengan menerapkan cara determinan dan cara invers, diperoleh hasil yang sama, yaitu; biaya sewa hotel tiap malam adalah
Rp400.000,00; biaya transportasi adalah Rp60.000,00; dan biaya makan adalah Rp50.000,00.
3.5.4 Sifat-Sifat Invers Matriks
Misalkan matriks A = 2
3 1
2 -
-
detA = 2–2 – 1–3 = –1
A
–1
1 1
det 1
2 3
2 3
1 2 1
2
A
adj A
-
- -
=
= =
-
-
A
–1 –1
=
1
1
1 1
1 det
2 3
2 3
1 2 1
2
A
adj A
-
-
-
-
= =
-
-
= A Perhatikan uraian di atas diperoleh bahwa A
–1 –1
= A.
Sifat 3.4 Misalkan matriks A berordo n × n dengan n
∈ N, detA ≠ 0. Jika A
–1
adalah invers matriks A, maka A
–1 –1
= A. Perhatikan pertanyaan, apakah AB
–1
= B
–1
× A
–1
Misalkan matriks A = 2
3 1
2 -
-
dan B =
2 3
1 0 -
-
.
detA = 2–2 – 1–3 = –1 A
–1
1 1
det 1
2 3
2 3
1 2 1
2
A
adj A
-
- -
=
= =
-
-
detB = 0–2 – 3–1 = 3 B
–1
1 1
1 2
det 3
3 3
1 3
1 2
adj B B
=
-
-
=
=
- -
Di unduh dari : Bukupaket.com
119
MATEMATIKA
A × B = 2
3 2
3 1
2 1 0
- -
×
-
-
= 1 6
3 -
det AB = –3 – 0 = –3 AB
–1
=
1 1
1 det
3 3
1 2 3
6 1
AB
Adj AB
-
-
-
=
=
-
AB
–1
= 1 2
1 3
-
B
–1
A
–1
=
1 2
1 3
3 3
1 1 2
2 3
1 2
- -
-
=
- -
Dari perhitungan di atas diperoleh AB
B A =
− −
− 1
1 1
.
Sifat 3.5 Misalkan matriks A dan B berordo n × n dengan n
∈ N, det A ≠ 0 dan det
B ≠ 0. Jika A
–1
dan B
–1
adalah invers matriks A dan B, maka AB
–1
= B
–1
A
–1.
• Coba kamu diskusikan dengan temanmu satu kelompok, apakah AB
–1
= A
–1
B
–1
. Jika tidak, beri alasannya
Di unduh dari : Bukupaket.com
120
Kelas XI SMAMASMKMAK
Uji Kompetensi 3.2 1. Tentukan determinan matriks berikut ini.
a. 5
6 8
4 -
c. 2
3 5
1 2
4 3
2 3
b. 4
2 3
7 x
x -
d. 4
3 5
1 4
2 3
2 4
2. Selidiki bahwa det.K
n
= det K
n
, untuk setiap: a A =
2 3
1 4
-
dengan n = 2
b A = 2
1 3 1
2 4
5 3 6
-
-
dengan n = 3
3. Tentukanlah z yang memenuhi persamaan berikut
5 7
1 6
2 1
z z
z +
- = 0
4. Tentukanlah z yang memenuhi persamaan berikut:
z z
z 5
7 1
6 2
1 +
− =
5. Jika P =
1 3
1 z
z -
- dan Q =
1 3
2 6
1 3
5 z
z -
- -
maka tentukan nilai z sehingga determinan
P sama dengan determinan Q.
Di unduh dari : Bukupaket.com
121
MATEMATIKA
6. Selidiki bahwa det C + D = det C + det D, untuk setiap matriks C dan D merupakan matriks persegi.
7. Entry baris ke-1 suatu matriks persegi adalah semuanya nol. Tentukanlah determinan matriks tersebut
8. Periksalah kebenaran setiap pernyataan berikut ini. Berikanlah contoh penyangkal untuk setiap pernyataan yang tidak berlaku
a det 2A = 2.det A b |A| = |A|
2
c det I + A = 1 + det A
Untuk matriks A merupakan matriks persegi. 9. Matriks-matriks P dan Q adalah matriks berordo n × n dengan
PQ ≠ QP. Apakah det PQ = det QP? Jelaskan
10. Diketahui matriks R adalah matriks berordo n × n dengan entry kolom ke-1 semuanya nol. Tentukanlah determinan matriks tersebut. Berikan
juga contohnya 11. Diberikan suatu sistem persamaan linear dua variabel.
x + y = 3 2x – y = 0
Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi sistem tersebut dengan menggunakan konsep matriks.
12. Sebuah toko penjual cat eceran memiliki persediaan tiga jenis cat eksterior yaitu reguler, deluxe, dan commercial. Cat-cat tersebut tersedia
dalam empat pilihan warna yaitu: biru, hitam, kuning, dan coklat. Banyak penjualan cat dalam galon selama satu minggu dicatat dalam matriks R,
sedangkan inventaris toko pada awal minggu dalam matriks S berikut ini.
Biru Hitam Kuning Cokelat
5 2
4 1
3 1
8 6
6 3
5 7
Regular R
Deluxe Commercial
=
Di unduh dari : Bukupaket.com
122
Kelas XI SMAMASMKMAK
Biru Hitam Kuning Cokelat
3 1
2 1
2 4
5 1
3 2
Regular S
Deluxe Commercial
=
a. Tentukan inventaris toko pada akhir minggu b. Jika toko menerima kiriman stok baru yang dicatat dalam matriks T,
tentukan inventaris toko yang baru. 13. Tunjukkan bahwa ABCD
–1
= D
–1
, C
–1
, B
–1
, A
–1
14. Adakah suatu matriks yang inversnya adalah diri sendiri? 15. Tentukanlah determinan dari matriks:
M =
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 2
1 2
3 2
3 4
n n
n n
n n
n n
n
+
+
+
+ +
+ +
+
D. Penutup
Setelah telah selesai membahas materi matriks di atas, ada beberapa hal penting sebagai kesimpulan yang dijadikan pegangan dalam mendalami dan
membahas materi lebih lanjut, antara lain: 1. Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom.
2. Sebuah matriks A ditransposekan menghasilkan matriks A
t
dengan entry baris matriks A berubah menjadi entry kolom matriks A
t
. Dengan demikian matriks A
t
ditransposekan kembali, hasilnya menjadi matriks A atau A
t t
= A.
3. Penjumlahan sebarang matriks dengan matriks identitas penjumlahan hasilnya matriks itu sendiri. Matriks identitas penjumlahan adalah matriks
nol. 4. Hasil kali sebuah matriks dengan suatu skalar atau suatu bilangan real k
akan menghasilkan sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki entry-entry k kali entry-entry matriks semula.
Di unduh dari : Bukupaket.com
