18
Kelas XI SMAMASMKMAK
Karena formula Pn = u
n
=
1 2
n
2
+
1 2
n + 2 memenuhi kedua prinsip induksi matemati, maka formula tersebut adalah benar, untuk setiap n bilangan asli.
Dengan ditemukan u
1.999
=
1 2
1.999
2
+
1 2
1.999 + 2 pastikan kamu tidak menggunakan alat bantu hitung untuk menentukan.
1.3.2 Penerapan Induksi Matematika pada Keterbagian
Sebelum kita mengkaji lebih jauh tentang penerapan induksi matematika, perlu ditegaskan makna keterbagian dalam hal ini, yaitu habis dibagi bukan
hanya dapat dibagi. Tentu kamu dapat membedakan dapat dibagi dan habis dibagi. Misalnya, 36 habis dibagi 3, tetapi 36 tidak habis dibagi oleh 7.
Pada subbab ini, kita akan mengkaji bagaimana penerapan prinsip induksi matematika pada konsep keterbagian suatu formula bilangan asli.
Mari kita cermati masalah berikut ini.
Contoh 1.5 Dengan induksi matematika, tunjukkan bahwa 11
n
– 6 habis dibagi 5, untuk n bilangan asli.
Alternatif Penyelesaian:
Kita misalkan Pn = 11
n
– 6, dengan n bilangan asli. Pada contoh ini kita harus menunjukkan bahwa 11
n
– 6 dapat dituliskan sebagai bilangan kelipatan 5. Akan ditunjukkan bahwa Pn memenuhi kedua prinsip
induksi matematika. a Langkah Awal
Kita dapat memilih n = 3, sedemikian sehingga, 11
3
– 6 = 1.325 dan 1.325 habis dibagi 5, yaitu 1.325 = 5265.
Dengan demikian P3 habis dibagi 5. b Langakah Induksi
Karena P3 benar, maka P4 benar, sedemikian sehingga disimpulkan Pk = 11
k
– 6 benar, untuk k bilangan asli. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jika Pk = 11
k
– 6 habis dibagi 5, maka Pk + 1 = 11
k + 1
– 6 habis dibagi 5.
Di unduh dari : Bukupaket.com
19
MATEMATIKA
Karena 11
k
– 6 habis dibagi 5, maka dapat kita misalkan 11
k
– 6 = 5m, untuk m bilangan bulat positif. Akibatnya, 11
k
= 5m + 6. Bentuk 11
k + 1
– 6 = 11
k
11 – 6, = 5m + 611 – 6 karena 11
k
= 5m + 6 = 55m + 60
= 511m + 12. Dengan demikian Pk + 1 = 11
k + 1
– 6 dapat dinyatakan sebagai kelipatan 5, yaitu 511m + 12.
Jadi benar bahwa Pk + 1 = 11
k + 1
– 6 habis dibagi 5. Karena Pn = 11
n
– 6 memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka terbukti Pn = 11
n
– 6 habis dibagi 5, untuk n bilangan asli. Contoh 1.6
Untuk n bilangan asli, x ≠ y, buktikan dengan induksi matematika bahwa
x
n
– y
n
habis dibagi x – y.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan Pn = x
n
– y
n
. Untuk membuktikan Pn = x
n
– y
n
habis dibagi x – y, artinya Pn dapat dituliskan sebagai kelipatan x – y. Oleh karena itu, akan ditunjukkan Pn
= x
n
– y
n
memenuhi kedua prinsip induksi matematika. a Langkah Awal
Untuk n = 1, sangat jelas bahwa x – y = x – y × 1. Demikian halnya untuk n = 2 diperoleh bahwa x
2
– y
2
= x – yx + y. Artinya jelas bahwa P2 = x
2
– y
2
habis dibagi x – y. b Langkah Induksi
Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P2 benar. Karena P2 benar, maka P3 juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi
yang diperoleh untuk n ≥ 3.
• Untuk n = 3, maka x
3
– y
3
= x – yx
2
+ xy + y
2
. • Untuk
n = 4, maka x
4
– y
4
= x – yx
3
+ x
2
y + xy
2
+ y
3
. • Untuk
n = 5, maka x
5
– y
5
= x – yx
4
+ x
3
y + x
2
y
2
+ xy
3
+ y
4
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
20
Kelas XI SMAMASMKMAK
Dari pola tersebut, tentu kamu dapat menyimpulkan pola hasil bagi yang akan ditemukan, sedemikian sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa
untuk n = k, maka Pk = x
k
– y
k
= x – yx
k – 1
y + x
k – 2
y
1
+ x
k – 3
y
2
+ . . . + x
y
k – 1
. Oleh karena itu, disimpulkan bahwa Pk = x
k
– y
k
habis dibagi x – y. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa Pk – 1 = x
k – 1
– y
k – 1
juga habis dibagi x – y, kenapa?.
Untuk mempermudah dalam penulisan, kita misalkan q = x
k – 1
y + x
k – 2
y
1
+ x
k – 3
y
2
+ . . . + x y
k – 1
dan r = x – y, sehingga x
k
– y
k
= rq. Akibatnya, x
k
= rq + y
k
dan y
k
= x
k
– rq. Karena x
k
= rq + y
k
, maka x·x
k
= x
k + 1
= xrq + xy
k
, 1.a y
k
= x
k
– rq, maka y·y
k
= y
k + 1
= yx
k
– yrq 1.b Dari Persamaan 1.a dan 1.b, diperoleh,
x
k + 1
– y
k + 1
= [xrq + xy
k
] – [yx
k
– yrq] = rq[x + y] + xy
k
– yx
k
= x + yrq – [xyx
k – 1
– xyy
k – 1
] = x + yrq – xy[x
k – 1
– y
k – 1
] Oleh karena itu, x
k + 1
– y
k + 1
= x + yrq – xy[x
k – 1
– y
k – 1
]. x + yrq habis dibagi x – y karena r = x – y, dan [x
k – 1
– y
k – 1
] juga habis dibagi x – y, maka x + yrq – xy[x
k – 1
– y
k – 1
] habis dibagi x – y. Dengan demikian, Pk + 1 = x
k + 1
– y
k + 1
habis dibagi x – y. Karena Pn = x
n
– y
n
memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka terbukti bahwa Pn = x
n
– y
n
habis dibagi x – y, dengan x ≠ y dan n bilangan
asli.
1.3.3 Penerapan Induksi Matematika pada Ketidaksamaan
