24
diketahui sebelumnya bahwa setiap solusi yang digambarkan pada bidang fase disebut trajectory atau lintasan. Lalu akan muncul Gambar 2.2, untuk melihat
lebih jelas arah lintasannya, klik saja sebarang titik pada vektor field tersebut dan juga klik solutions menu lalu plih show nullclines. Dalam gambar tersebut
nullclines ditunjukkan sebagai garis yang berwarna kuning dan ungu. Terlihat pula kedua nullclines tersebut berpotongan tepat di titik 0,0 yang berarti titik
tersebut adalah titik tetap dari sistem seperti dugaan awal sebelumnya pada persamaan 2.3 dan 2.4. Hal yang terjadi pada Gambar 2.2 menunjukkan
benar bahwa arah lintasan atau solusi dari sistem ini adalah saddle point, artinya seiring bertambahnya waktu solusi sistem ini akan mendekati titik tetap 0,0
tetapi kemudian berbalik menjauhinya atau menuju infinity. Dapat ditarik kesimpulan bahwa setiap sistem linear pada persamaan diferensial biasa yang
dinyatakan mengunakan matriks dengan nilai eigen real berbeda tanda akan menghasilkan saddle point pada perpotongan nullclinesnya.
Gambar 2.1. Program pplane8 untuk sistem pada persamaan 2.1 dan 2.2
25
Gambar 2.2. Display window persamaan 2.1 dan 2.2
Jika matriks yang menggambarkan suatu sistem linear memiliki nilai eigen real yang sama tanda negatif maka titik tetapnya disebut nodal sink, Gambar
2.3. Jika matriks yang menggambarkan suatu sistem linear memiliki nilai eigen real yang sama tanda positif maka titik tetapnya disebut nodal source, Gambar
2.4. Untuk melihat perbedaan kedua Gambar 2.3 dan Gambar 2.4 lihatlah arah panahnya.
26
Gambar 2.3. Bidang fase untuk kestabilan nodal sink
Gambar 2.4. Bidang fase untuk kestabilan nodal source
27
Jika matriks yang menggambarkan suatu sistem linear memiliki nilai eigen kompleks dan bagian realnya bertanda negatif maka titik tetapnya disebut spiral
sink, Gambar 2.5. Jika matriks yang menggambarkan suatu sistem linear memiliki nilai eigen kompleks dan bagian realnya bertanda positif maka titik
tetapnya disebut spiral source, Gambar 2.6. Kelima jenis titik keseimbangan ini dikenal sebagai kesetimbangan generic. Ada juga lima kesetimbangan non
generic, yang paling penting disebut center. Center terjadi ketika nilai eigen dari
matriksnya adalah bilangan kompleks murni, Gambar 2.7.
Gambar 2.5. Bidang fase untuk kestabilan spiral sink
28
Gambar 2.6. Phase plane untuk kestabilan spiral source
Gambar 2.7. Bidang fase untuk kestabilan center
29
2.7 Metode Numerik
Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan
biasa. Metode berarti suatu cara dan numerik artinya angka, sehingga metode numerik berarti cara berhitung dengan menggunakan angka dan menghasilkan
solusi yang berbentuk angka pula. Metode numerik hanya mempunyai solusi yang hampirdekat dengan solusi eksak. Solusi hampiran tidak sama dengan solusi
eksak tetapi dapat dihampiri dengan ketelitian yang tinggi. Selalu ada error yang walaupun sangat kecil antara solusi hampiran dengan solusi eksak. Berikut adalah
beberapa metode numerik yang digunakan dalam penulisan ini:
2.7.1 Ekspansi Taylor
Ekspansi Taylor disebut juga deret Taylor yang merupakan dasar untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Bentuk umum deret Taylor:
kemudian deret Taylor dalam metode numerik adalah:
dengan:
: fungsi di titik : fungsi di titik
: turunan pertama, kedua,…,ke dari fungsi : jarak antara
dan : kesalahan pemotonganerror Higher Order Terms
30 : operator faktorial
2.7.2 Metode Euler
Metode Euler disebut juga metode orde pertama karena persamaannya hanya diambil sampai suku orde pertama saja. Misal
diberikan PDB orde satu: dengan nilai awal
Misalkan adalah hampiran nilai di
yang dihitung dengan metode Euler, yaitu
Metode Euler diturunkan dengan cara menguraikan di
sekitar ke dalam deret Taylor :
jika persamaan 2.6 dipotong sampai suku orde ketiga, maka diperoleh:
untuk Berdasarkan persamaan bentuk baku PDB orde satu
maka, dan
sehingga persamaan 2.7 dapat ditulis menjadi:
31
dua suku pertama persamaan 2.8 yaitu: 2.9
untuk . Atau dapat ditulis
yang merupakan metode Euler.
32
BAB III MODEL FITZHUGH-NAGUMO
Dalam bab ini akan dibahas mengenai potensial aksi yang terjadi saat sel fotoreseptor mengubah cahaya menjadi sinyal listrik yang disebut dengan model
Fitzhugh-Nagumo atau dapat disingkat dengan model FN.
3.1 Model Fitzhugh-Nagumo
Model Fitzhugh-Nagumo FN yang pertama kali diperkenalkan oleh Richard Fitzhugh 1961 dan J. Nagumo pada tahun berikutnya merupakan
perkembangan dari model Hodgkin-Huxley HH yang di perkenalkan oleh Alan Hodgkin dan Andrew Huxley. Berbeda dengan model HH yang memiliki 4
persamaan, model FN menggabungkan empat persamaan tersebut menjadi lebih sederhana yaitu 2 persamaan. Model FN mengkombinasikan dua variabel tertentu
ke dalam satu variabel yaitu v dan mengkombinasikan dua variabel tertentu lainnya ke dalam satu variabel yaitu r.
Kedua persamaan tersebut adalah sebagai berikut: 3.1
3.2
Disini adalah perubahan neuron selama potensial aksi pada saat diberi
suatu stimulus, sedangkan merupakan perubahan neuron kembali ke keadaan
istirahat setelah mengalami potensial aksi, dan t mewakili waktu, serta dan
33
adalah parameter dari model. adalah nilai besarnya suatu stimulus yang diberikan. Sedangkan konstanta
adalah nilai arus ion natrium, adalah nilai arus ion kalium dan
adalah nilai arus eksternal yang masuk ke dalam membran untuk menentukan seberapa cepat perubahan
dibandingkan . Berdasarkan penelitian Fitzhugh 1961, batasan untuk parameternya adalah
Telah diketahui bahwa sistem persamaan diferensial linear memiliki bentuk: ,
3.3 .
3.4 Dengan mempertimbangkan persamaan diferensial seperti yang terdapat di
model FN, andaikan jika diperoleh persamaan diferensial yang berbentuk seperti berikut:
, 3.5
. 3.6
Disini f dan g merupakan fungsi dari x dan y. Akan disketsakan titik keseimbangan atau perpotongan nullclines antara x dan y, dengan memberikan
nilai awal dan Jika titik keseimbangan keduanya tidak
berpotongan maka sistem tersebut tidak memiliki solusi berhingga atau dengan kata lain solusi sistem tersebut tidak ada. Jika berpotongan di satu titik maka
sistem tersebut memiliki satu solusi. Sistem linear biasanya memiliki satu solusi,
