36
di sekitar titik tetap. Sebagai contoh, spiral, dapat bergerak spiral menuju ke tak hingga atau bergerak spiral mendekati orbit lingkaran.
3.2 Sistem Nonlinear Model Fitzhugh-Nagumo
Telah diketahui sebelumnya bahwa model FN berbentuk nonlinear, model
FN juga sangat rumit jika ingin dicari penyelesaian umumnya. Oleh karena itu, dengan menggunakan metode Euler dan nilai awal tertentu akan ditunjukkan
kestabilan model ini. Berikut hasil dari penggunaan metode Euler dengan nilai awal untuk persamaan 3.1 dan 3.2 yang ditentukan sebagai berikut yaitu,
lihat Gambar 3.1.
Matlab akan memperlihatkan kestabilan model FN ini menuju ke nilai berapa untuk
, dengan melihat pada command windows seperti berikut:
Gambar 3.1. Nilai untuk v dan r saat I=0
Model FN dengan nilai awal tertentu ini stabil menuju dan
, tetapi dalam bentuk programnya model FN ini akan terlihat kestabilannya atau gambar grafik terlihat mulus menuju titik tersebut ketika
diambil nilai batas minimal dan panjang langkah , Gambar 3.2.
Diambil nilai maksimal untuk demikian agar grafik pada program terlihat
mulus, karena ingat kembali bahwa untuk metode Euler jika langkahnya semakin
37
banyak mengakibatkan nilai program akan semakin baik, asalkan metodenya konvergen.
Gambar 3.2. Metode Euler model FN saat
3.3 Linearisasi Model Fitzhugh-Nagumo
Model Fitzhugh-Nagumo FN akan dilinearisasikan lalu direpresentasikan penyelesaiannya menggunakan bidang fase, tetapi karena model ini sangat rumit
maka linearisasinya hanya terbatas untuk pendekatan pada angka tertentu saja. Penjelasan lebih lanjut adalah sebagai berikut:
Model FN yang telah diketahui sebelumnya :
38
Hal pertama yang harus dilakukan untuk melinearisasi model ini dengan mencari
dan . Misalkan
dan maka:
Substitusi dan eliminasi persamaan dan :
→ →
+
Untuk menyelesaikan persamaan 3.23 dalam bentuk umumnya sangat rumit oleh karena itu digunakan suatu pendekatan metode numeris dengan
memisalkan maka persamaan 3.23 menjadi,
3.24 Dari persamaan 3.24 tersebut dapat dicari
dan menggunakan
perintah roots pada Matlab diperoleh tiga akar tetapi karena kedua akar lainnya adalah bilangan kompleks maka tidak diperhitungkan. Sehingga diperoleh
dan . Ingat bahwa linearisasi hanya dapat
39
dilakukan dalam interval yang kecil. Dalam hal ini linearisasi dilakukan di sekitar titik equilibriumnya atau titik tetapnya yaitu di sekitar
dan .
Selanjutnya akan dicari persamaan linearnya, seperti berikut:
,
3.24
.
3.25 Saat mendekati titik tetap
akan karena
dan begitu juga
, jadi : ,
3.26 .
3.27 Substitusi persamaan 3.16 dan 3.17 ke dalam persamaan 3.26 dan
3.27 menjadi seperti berikut:
Lalu diperoleh: sehingga:
Kemudian persamaan 3.30 dan 3.31 dapat direpresentasikan dengan menggunakan matriks seperti berikut:
40
[ ] [
]| [
]
dengan nilai dan
.
[ ] [
] [ ]
[ ]
[ ]
Misalkan ,
dan
,
maka persamaan 3.33 akan menjadi :
misalkan sehingga
. Karena jadi dipilih
diperoleh, atau
akar- akarnya berupa akar kompleks.
