18
disebut Persamaan Karakteristik untuk matriks .
Sebagai contoh misal diberikan suatu matriks , untuk
mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks menggunakan
persamaan karakteristik caranya, | | ,
atau |
| ,
atau |
| ,
atau ,
atau ,
atau � ,
diperoleh atau
nilai eigen untuk matriks adalah Mencari vektor eigen untuk
Misalkan
[ ] [
] [ ]
Penyelesaian dari sistem ini akan memberikan persamaan sehingga jika dipilih
maka , dan .
Mencari vektor eigen untuk , misalkan
maka:
19
[ ] [
] [ ]
Penyelesaian dari sistem ini akan memberikan persamaan sehingga jika dipilih
maka , dan .
2.4.3 Eigendecomposision dari Matriks
Eigendecomposision Theorem mengatakan bahwa:
Untuk suatu matriks dengan nilai eigen berbeda dan real
dapat ditulis , dimana
adalah matriks persegi yang kolom-kolomnya adalah vektor eigen dari matriks
, dan adalah matriks diagonal yang diagonal utamanya berisi nilai eigen dari matriks A.
Bukti menurut Leon 2001:
Misalkan dapat didiagonalisasi, artinya terdapat matriks diagonal
yang serupa dengan atau matriks berisi nilai-nilai eigen dari matriks maka terdapat suatu matriks taksingular dimana . Jika
adalah vektor-vektor kolom dari
,
maka �
� ,
untuk setiap , dimana
adalah elemen diagonal dari matriks diagonal
.
Jadi untuk setiap �
adalah nilai eigen dari dan
adalah vektor eigen yang dimiliki
� . Karena vektor-vektor kolom
adalah bebas linear maka memiliki vektor eigen bebas linear. Karena dapat didiagonalisasi
maka dapat difaktorkan ke dalam hasil kali
. Jadi
20
Teorema di atas dapat digunakan untuk menuliskan kembali matriks
, sebagai hasil kali dari .
Bentuk matriks yang mempunyai invers
[ ]
dan berkaitan dengan Lalu semuanya dimasukkan ke dalam teorema seperti berikut:
atau [
]
Catatan: Eigendecomposision Theorem dapat diatur kembali
sehingga memperoleh persamaan yang seringkali
juga digunakan.
2.5 Syarat Kestabilan
Kestabilan dalam suatu model berarti bahwa perubahan awal yang kecil pada model tidak membuat error menjadi sangat besar. Suatu penyelesaian
persamaan diferensial biasa dikatakan stabil jika perturbasiperubahan yang kecil pada data awal tetap bersifat kecil seiring dengan waktu. Hal yang sangat penting
dalam menentukan kestabilan suatu model adalah nilai eigen �. Seperti sudah
21
dijelaskan sebelumnya, setiap model atau persamaan harus dibentuk dalam matriks untuk memperoleh nilai eigen.
Dalam kasus persamaan diferensial tingkat homogen yang berbentuk
seperti berikut:
Substitusi Sehingga diperoleh
, jadi memiliki
buah akar yaitu Nilai eigen ada tiga macam, nilai eigen real sama, nilai eigen real beda,
nilai eigen kompleks. Berikut penjelasannya:
2.5.1 Nilai Eigen Real sama
Jika maka penyelesaian umumnya
adalah:
2.5.2 Nilai Eigen Real beda
Jika maka penyelesaian umumnya
adalah:
